2-1 二元一次方程（组）（知识讲解）-（浙教版）

专题2.1二元一次方程（组）（知识讲解）【学习目标】1.认识二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的定义；2.会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．特别说明：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．特别说明：(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.特别说明：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如也是二元一次方程组.要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.特别说明：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程1．方程是二元一次方程，求，．【答案】，．【分析】只含有两个未知数，且未知数项的系数都是1的方程叫二元一次方程.所以，，，可再求得答案.解:根据二元一次方程的定义，，，解得，．【点拨】本题考核知识点：二元一次方程的定义.解题关键点：理解二元一次方程的定义.举一反三：【变式1】已知方程mxm－1＋yn－8＝5是关于x，y的二元一次方程．求m2－2mn＋n2的值．【答案】49【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，可得m、n的值，再根据代数式求值，可得答案．解：由方程＋＝5是关于x，y的二元一次方程，得：m－1＝1，n－8＝1，解得m＝2，n＝9，当m＝2，n＝9时，m2－2mn＋n2＝(m－n)2＝(2－9)2＝49.【点拨】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【变式2】是关于x、y的二元一次方程，求的值．【答案】0分析：二元一次方程满足的条件是：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．详解：根据题意得：，解得：．则．【点拨】：本题主要考查了二元一次方程的定义，关键在于根据二元一次方程的定义列出式子.类型二、二元一次方程的解2．判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1）（2）【答案】（1）不是方程组的解；（2）不是方程组的解【分析】根据二元一次方程的解，将二元一次方程的解代入方程计算即可．解：（1）把代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以是方程①的解．把x＝3，y＝-5代入方程②中，左边＝，右边＝，左边≠右边，所以不是方程②的解．所以不是方程组的解．（2）把代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以不是方程①的解，再把代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解．举一反三：【变式1】下面4组数值中，哪些是二元一次方程的解？（1）（2）（3）（4）【答案】（2）；（4）【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．解：（1）、把代入方程得：左边=4+6=2，右边=10，∵左边≠右边，∴不是方程的解；（2）、把代入方程得：左边=6+4=10，右边=10，∵左边=右边，∴是方程的解；（3）、把代入方程得：左边=8+3=11，右边=10，∵左边≠右边，∴不是方程的解；（4）、把代入方程得：左边=12-2=10，右边=10，∵左边=右边，∴是方程的解；综合上述，（2）、（4）是二元一次方程的解．【点拨】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2】已知方程2x-y+m-3=0的一个解是，求m的值．【答案】3【分析】将代入方程2x-y+m-3=0中进行求解即可得．解：将代入方程2x-y+m-3=0得解得，则m的值为3．【点拨】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将方程的解代入到方程中去．类型三、二元一次方程组3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断．解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组；（2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组；（3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组；（4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组；（5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组．【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．举一反三：【变式1】已知方程组是二元一次方程组，求m的值．【答案】m=5解：依题意，得：|m-2|-2=1，且m-3≠0，且m+1≠0，

解得：m=5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．【变式2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案．解：A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误；C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误；D、x2是二次的，故本选项错误．故选：A．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键.类型四、二元一次方程组的解4．判断是否是二元一次方程组的解.【答案】不是【分析】将x和y的值带入到二元一次方程组中看是否正确即可得出本题答案.解：将分别代入方程①和方程②中,得4x＋2y＝2成立,x＋y＝－1不成立,所以不是方程组的解.【点拨】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.举一反三：【变式1】已知下列五对数值:

①④(1)哪几对数值是方程x-y=6的解?(2)哪几对数值是方程2x+31y=-11的解?(3)指出方程组的解.【答案】（1）①②③（2）③④⑤（3）③【解析】【分析】(1)把每组数据代入方程进行判断即可；(2)把每组数据代入方程进行判断即可；(3)在①②中的公共解就是方程组的解．解：(1)只有①②③满足方程x－y＝6,所以①②③是方程x－y＝6的解.(2)只有③④⑤满足方程2x＋31y＝－11,所以③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解.(3)③是方程组的解.【点拨】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.【变式2】已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．【答案】本题答案不唯一，如方程组.分析：先检验是否是方程的一个解，若是，则再构造一个有一个解为的方程，并与已知方程组成一个方程组即可.解：把代入方程得：左边=右边，∴是方程的一个解，∵也是方程的一个解，∴方程组的解是，∴本题答案不唯一，方程组是其中一个符合要求的方程组.【点拨】：本题答案不唯一，理解“二元一次方程的解的定义”和“二元一次方程组的解的定义”是正确解题的关键.类型五、已知二元一次方程（组）求参数5．（1）若在方程2x-y=的解中，x，y互为相反数，求xy的值．（2）已知是方程组2x+(m−1)y=2nx+y=1的解，求m+n的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据互为相反数把解代入方程得2x+x=，解一元一次方程，解得x=，再求xy的值．（2）把解代入方程组求出二元一次方程组的解再求m+n即可．解：（1）∵x，y互为相反数，∴y=-x，将y=-x代入方程2x-y=中，得2x+x=，解得x=，∴y=．∴xy=．（2）∵是方程组的解，∴2×2+(m−1)×1=22×n+1=1解得∴m+n=-1．【点拨】本题考查互为相反数，二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式的值，掌握互为相反数，二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式的值是解题关键．举一反三：【变式1】已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程．（1）k为何值时，方程为一元一次方程？（2）k为何值时，方程为二元一次方程？【答案】（1）k=-2或k=6；（2）k≠-2且k≠6时【分析】（1）根据一元次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程可得k+2=0k−6≠0或k+2≠0（2）根据方程是二元一次方程方程的定义含有两个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程可得k+2≠0k−6≠0解：∵方程是一元一次方程，∴k+2=0k−6≠0或k+2≠0∴解得k=-2或k=6．∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程．【小题2】解：∵方程是二元一次方程，∴k+2≠0∴解得k≠-2且k≠6．∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程．【点拨】本题考查一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义，掌握一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义是解题关键．【变式2】（1）若等式的x，y满足方程组．求的值．（2）求二元一次方程的正整数解．【答案】（1）；（2