垂直与弦的直径

关于垂直与弦的直径第1页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三垂径定理

定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.第2页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三

根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。①经过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。●OABCDM└第3页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三垂径定理及推论●OABCDM└条件结论命题①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.第4页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)第5页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦第6页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三填空：1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_____________________________________________________，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O到AB的距离是___________cm，AB=_________cm.。OAEDCB。OAB第1题图第2题图AB⊥CD（或AC=AD，或BC=BD）24H第7页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三选择：如图：在⊙O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）AB⊥CD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0。OCDBAA第8页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三1.平分已知弧AB.你会四等分弧AB吗?AB第9页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三问题2(1)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB与半径OA的夹角为30°,求弦AB的长.OAOCABM(2)如图,已知⊙O的半径为6cm,弦AB与半径OC互相平分,交点为M,求弦AB的长.630°EB第10页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三例1、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDEF┗第11页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，桥拱的跨度AB=16米，则拱高为

米。AB·CD4O第12页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三练习：半径为５的圆中，有两条平行弦AB和CD，并且AB=６,CD=８，求AB和CD间的距离..EF.EFDABCO(2)ABDC(1)O做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.第13页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三挑战自我1.如图，⊙O

与矩形ABCD交于E,F,G,H，AH=4,HG=6,BE=2.求EF的长.·ABCD0EFGHMN462第14页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三船能过拱桥吗?例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？第15页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此货船能顺利通过这座拱桥.第16页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm第17页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．ＡＢＣＯＤＥ第18页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600CD知识延伸第19页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DCED┌

600CD第20页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三E小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO第21页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三再见第22页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度.实际问题1、已知：⊙O的半径为6厘米，弦AB与半径OA的夹角为30°.求：弦AB的长.第23页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三试一试驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√√第24页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三练习:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长.OABCDEF第25页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三1．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为

．2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，求MN的长．2或14．ACOMNB提高练习:第26页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三3.在⊙

O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求⊙

O的半径.

ABCDEO第27页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8㎝,那么⊙o的半径是2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那么C到AB的距离等于3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝,那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,且OM=2,0N=3,则AB=,AC=,OA=.BAMCON5㎝1㎝或9㎝64Cm练习第28页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三OCDAB2.如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦AC=8，D是AC的中点，连结CD，求CD的长.E⌒第29页，讲稿共33页，2023年5月2日，星期三3.如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长.

4.一条排水管的截面如图所示已知排水管的半径OB=10，