复变函数解析函数

复变函数解析函数第1页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三1.复变函数的导数定义§2.1解析函数的概念GO2.解析函数的概念第2页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三一.复变函数的导数(1)导数定义定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。第3页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1第4页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广第5页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)第6页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。思考题第7页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解第8页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明第9页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。第10页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?第11页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三二.解析函数的概念定义

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析。第12页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；

(3)w=zRez在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理1设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数。第13页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三定理2设w=f(h)在h平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。第14页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三§2.2解析函数的充要条件

1.解析函数的充要条件2.举例第15页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三

如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。问题如何判断函数的解析性呢？第16页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三一.解析函数的充要条件第17页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第18页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第19页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三记忆定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).第20页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有第21页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函数w=f(z)点z可导，即则f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+(Δz)Δz(1),且第22页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.第23页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：第24页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第25页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三定理2

函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用该定理可以判断哪些函数是不可导的.第26页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.第27页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三二.举例例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y则第28页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny第29页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0则第30页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三例2求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为第31页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三例3证明第32页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且确定第33页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2第34页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三§2.3初等函数3.对数函数1.指数函数2.三角函数和双曲函数4.幂函数5.反三角函数第35页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义第36页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第37页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三这个性质是实变指数函数所没有的。第38页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三

例1例2例3第39页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义第40页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三正弦与余弦函数的性质第41页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三思考题第42页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第43页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)第44页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第45页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质第46页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三第47页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三三.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义第48页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三故第49页，讲稿共59页，2023年5月2日，星期三

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