天津大港区实验中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析

天津大港区实验中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，已知摸出球的颜色不全相同，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】摸出球的颜色不全相同，基本事件总数，摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数m==18，由此能求出摸出白球个数多于黑球个数的概率．【详解】一个袋子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，从中一次摸出3个球，摸出球的颜色不全相同，基本事件总数，摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数m==18，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为．故选：B．2.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为．直径为4的球的体积为，则（

）A. B.

C.

D.参考答案：Ｂ

略3.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为()A.＝1.23x＋4 B.＝1.23x＋5C.＝1.23x＋0.08 D.＝0.08x＋1.23参考答案：C略4.数学家发现的“猜想”是指：任取一个自然数，如果它是欧式，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n=20，则输出的结果为（

）A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：C5.定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，函数g（x）=（2x﹣x2）ex+m，若?x1∈[﹣4，﹣2]，?x2∈[﹣1，2]，使得不等式f（x1）﹣g（x2）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，+2] C．[+2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，可得f（x）在[0，2]的最小值即为f（x）在[﹣4，﹣2]的最小值，运用二次函数和指数函数的单调性，求得f（x）的最小值；对g（x），求得导数，求得单调区间和极值，最值，可得g（x）的最小值，由题意可得f（x）min≥g（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由f（x+2）=f（x），可得周期T=2，可得f（x）在[0，2]的最小值即为f（x）在[﹣4，﹣2]的最小值，当0≤x＜1时，f（x）=﹣2x2＞f（1）=﹣2=﹣，当1≤x＜2时，f（x）=，f（x）在[1，）递减，在[，2）递增，可得f（x）在x=处取得最小值，且为﹣2；由﹣2＜﹣，可得f（x）在[0，2]的最小值为﹣2；对于g（x）=（2x﹣x2）ex+m，g′（x）=（2﹣x2）ex，当x∈[﹣1，]时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x∈[，2]时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得x=处g（x）取得极大值，也为最大值；g（﹣1）=﹣3e﹣1+m＜g（2）=m，可得g（x）的最小值为g（﹣1）．由题意可得f（x）min≥g（x）min，即为﹣2≥﹣3e﹣1+m，即m≤﹣2．故选：D．【点评】本题考查了函数的性质和运用，考查周期性和单调性的运用，注意运用最大值、最小值来解决恒成立和存在性问题，属于中档题．6.函数（其中A＞＜）的图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位参考答案：A略7.已知i是虚数单位．复数，则复数z在复平面上对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A8.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A.

B.

C.

D.参考答案：A在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6)共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)1个.因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是.故选A.9.已知分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：10.设偶函数对任意都有，且当时，，则（）A．10B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第1层），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．试问第层的点数为___________个；如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有___________层．参考答案：(1)

(2)略12.设正三棱锥P-ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径，则＝_______．参考答案：【分析】取线段的中点，设在底面的射影为，连接。设出底面边长和斜高，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出此棱锥的内切球的半径，由此得到的值，故可求出和，以及的值。【详解】取线段的中点，设在底面的射影为，连接（图略），设则，设，则正三棱锥的表面积为，又正三棱锥的体积，则，又【点睛】本题主要通过正三棱锥的结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。

13.已知向量⊥，||=3，则?=

．参考答案：9【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得?=0，即?（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．14.用一个平面去截正方体，有可能截得的是以下平面图形中的

.（写出满足条件的图形序号）（1）正三角形

（2）梯形

（3）直角三角形

（4）矩形参考答案：（1）（2）（4）考点：立体几何截面图。15.已知数列{an}的前n项和Sn，若，则_________．参考答案：420解：由an+1+(?1)nan=n可得：当n=2k时,有a2k+1+a2k=2k，①当n=2k?1时有a2k?a2k?1=2k?1，②当n=2k+1时,有a2k+2?a2k+1=2k+1，③①?②得：a2k+1+a2k?1=1，①+③得：a2k+2+a2k=4k+1，∴a2k?1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2.∴S40=4×(1+3+…+19)+20=420.16.若x，y满足，则x﹣2y的最大值为．参考答案：﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：画出可行域（如图），设z=x﹣2y?y=x﹣z，由图可知，当直线l经过点A（0，1）时，z最大，且最大值为zmax=0﹣2×1=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．17.已知，则

参考答案：对等式两边求导得．继续对此等式两边求导，得．令得）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．参考答案：【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，∴PD⊥平面PEF，∵=，即，∴在△PDH中，RG∥PD，∴GR⊥平面PEF．解：（Ⅱ）正方形ABCD边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S△PDF=2，S△DEF=S△DPE=4，=6，设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．19.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）.试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为90°，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.试题解析：（1）由题设可得，，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.20.（理）已知函数．（Ⅰ）若曲线在点处的切线为轴，求实数的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）证明：．参考答案：（理）解：（Ⅰ）

依题意有f’(0)=0，即1-k=0，得k=1（Ⅱ）

……………3分①当时,,所以f(x)在上为增函数,f(x)无极值；②当时，由f’(x)=0得,当x变化时，f’(x)与f(x)变化情况如下表：xf’(x)+0f(x)极大值由上表可知函数f(x)的极大值为，无极小值

综上所述，当时，函数f(x)无极值；当时，函数f(x)的极大值为，无极小值…7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上为减函数，所以，当时，，即，

……………9分

即

……………12分21.如图，在三棱柱中，，，为的中点，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：解：（Ⅰ）取中点为，连结，．因为，所以．又，，所以平面，因为平面，所以．…3分由已知，，又，所以，因为，所以平面．又平面，所以平面平面．

………………6分（Ⅱ）三棱锥的体积=三棱锥的体积由（Ⅰ）知，平面平面,平面平面,,

平面所以,即,即点到的距离,

…………9分

…………11分所以

…………12分略22.设数列的各项都是正数，为数列的前项和，且对任意，都有,,,(常数，是以为底数的自然对数