中考数学三角函数在实际中的应用九年级下期复习用带答案

/专题3三角函数在实际中的应用自我诊断1.某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量.眼睛与地面的距离〔AB是1.7米.看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量.眼睛与地面的距离〔CD是0.7米.看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧〔点B、D、F在同一直线上．〔1求小敏到旗杆的距离DF．〔结果保留根号〔2求旗杆EF的高度．〔结果保留整数.参考数据：≈1.4.≈1.7自我诊断2.如图所示.某古代文物被探明埋于地下的A处.由于点A上方有一些管道.考古人员不能垂直向下挖掘.他们被允许从B处或C处挖掘.从B处挖掘时.最短路线BA与地面所成的锐角是56°.从C处挖掘时.最短路线CA与地面所成的锐角是30°.且BC=20m.若考古人员最终从B处挖掘.求挖掘的最短距离．〔参考数据：sin56°=0.83.tan56°≈1.48.≈1.73.结果保留整数年4月207.0废墟下方探测到点C处有生命迹象.已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米.探测线与地面的夹角分别为30°和60°.如图所示.试确定生命所在点C的深度〔结果精确到0.1米.参考数据2.一电线杆PQ立在山坡上.从地面的点A看.测得杆顶端点A的仰角为45°.向前走6m到达点B.又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°.〔1求∠BPQ的度数；〔2求该电线杆PQ的高度．〔结果精确到1m3.如图.为了开发利用海洋资源.某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离.飞机以距海平面垂直同一高度飞行.在点C处测得端点A的俯角为60°.然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米.在点D测得端点B的俯角为45°.已知岛屿两端A、B的距离541.91米.求飞机飞行的高度．〔结果精确到1米.参考数据：≈1.73.≈1.414．如图.某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB.且点A.B.C在同一条直线上.小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°.观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m.EC=21m.求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度〔结果保留小数后一位．参考数据：tan47°≈1.07.tan42°≈0.90．5．如图.为了测出某塔CD的高度.在塔前的平地上选择一点A.用测角仪测得塔顶D的仰角为30°.在A、C之间选择一点B〔A、B、C三点在同一直线上．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°.且AB间的距离为40m．〔1求点B到AD的距离；〔2求塔高CD〔结果用根号表示．6．如图.一楼房AB后有一假山.其斜坡CD坡比为1：.山坡坡面上点E处有一休息亭.测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=6米.与亭子距离CE=20米.小丽从楼房顶测得点E的俯角为45°．〔1求点E距水平面BC的高度；〔2求楼房AB的高．〔结果精确到0.1米.参考数据≈1.414.≈1.7327．如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性.工人师傅欲减小传送带与地面的夹角.使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．〔1求新传送带AC的长度．〔2如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道.试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走.并说明理由．参考数据：．8．如图.小岛在港口P的北偏西60°方向.距港口56海里的A处.货船从港口P出发.沿北偏东45°方向匀速驶离港口P.4小时后货船在小岛的正东方向．求货船的航行速度．〔精确到0.1海里/时.参考数据：≈1.41.≈1.73自我诊断答案考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:〔1过点A作AM⊥EF于点M.过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x.分别表示出EM、AM的长度.然后在Rt△AEM中.根据tan∠EAM=.代入求解即可；〔2根据〔1求得的结果.可得EF=DF+CD.代入求解．解：〔1过点A作AM⊥EF于点M.过点C作CN⊥EF于点N.设CN=x.在Rt△ECN中.∵∠ECN=45°.∴EN=CN=x.∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1.∵BD=5.∴AM=BF=5+x.在Rt△AEM中.∵∠EAM=30°∴=.∴x﹣1=〔x+5.解得：x=4+3.即DF=〔4+3〔米；〔2由〔1得：EF=x+0.7=4++0.7≈4+3×1.7+0.7≈9.8≈10〔米．答：旗杆的高度约为10米．点评:本题考查了解直角三角形的应用.解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形.利用三角函数的知识求解．考点:解直角三角形的应用．分析:作AD⊥BC交CB延长线于点D.线段AD即为文物在地面下的深度．设AD=x．通过解直角△ABD求得BD=；通过解直角△ACD求得CD=x.由此列出关于x的方程.通过方程求得AD的长度．最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可．解：作AD⊥BC交CB延长线于点D.线段AD即为文物在地面下的深度．根据题意得∠CAD=30°.∠ABD=56°．设AD=x．在直角△ABD中.∵∠ABD=56°.∴BD==．在直角△ACD中.∵∠ACB=30°.∴CD=AD=x.∴x=+20．解得x≈18.97.∴AB=≈≈23．答：从B处挖掘的最短距离为23米．点评:此题考查了解直角三角形的应用.主要是正切、余弦概念及运算.关键把实际问题转化为数学问题加以计算．跟踪训练答案考点：解直角三角形的应用．C作交AB于点BD.在中.AD=CD.然后根据AB=AD﹣BD=4.即可得到CD的方程.解方程即可．解：如图.过点C作交AB于点D．30°和60°.在中.tan60°=.=.在中.tan30°=.=.=2≈3.5米．答：生命所在点C的深度大约为3.5米．三角形.也考查了把实际问题转化为数学问题的能力．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:〔1作PQ⊥AB交AB的延长线于H.根据三角形的外角的性质计算；〔2设PQ=xm.根据正、余弦的定义表示出QH、BH.根据等腰直角三角形的性质列式计算即可．解：〔1作PQ⊥AB交AB的延长线于H.由题意得.∠QBH=30°.∠PBH=60°.∴∠BQH=60°.∠PBQ=30°.∴∠BPQ=∠BQH﹣∠PBQ=30°；〔2设PQ=xm.∵∠BPQ=∠PBQ.∴BQ=PQ=xm.∵∠QBH=30°.∴QH=BQ=x.BH=x.∵∠A=45°.∴6+x=xx.解得x=2+6≈9．答：该电线杆PQ的高度约为9m．点评:本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:过点A作AE⊥CD于点E.过点B作BF⊥CD于点F.设高度为x米.在Rt△AEC中可得CE==.在Rt△BFD中有DF==x.根据AB=EF=CD+DF﹣CE列出方程.解方程可求得x的值．解：过点A作AE⊥CD于点E.过点B作BF⊥CD于点F.设高度为x米∵AB∥CD.∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°.∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF.AE=BF．由题意可知：AE=BF=x米.CD=500米．在Rt△AEC中.∠C=60°.∴CE==〔米．在Rt△BFD中.∠BDF=45°.∴DF==x〔米．∴AB=EF=CD+DF﹣CE.即500+x﹣x=541.91解得：x=99答：飞机行飞行的高度是99米．点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.注意数形结合思想的应用．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度.进而求得BC的高度．解：根据题意得DE=1.56.EC=21.∠ACE=90°.∠DEC=90°．过点D作DF⊥AC于点F．则∠DFC=90°∠ADF=47°.∠BDF=42°．∵四边形DECF是矩形．∴DF=EC=21.FC=DE=1.56.在直角△DFA中.tan∠ADF=.∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47〔m．在直角△DFB中.tan∠BDF=.∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90〔m.则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6〔m．BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5〔m．答：旗杆AB的高度约是3.6m.建筑物BC的高度约是20.5米．点评:此题考查的知识点是解直角三角形的应用.解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题.先得到等腰直角三角形.再根据三角函数求解．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:〔1过点B作BE⊥AD于点E.然后根据AB=40m.∠A=30°.可求得点B到AD的距离；〔2先求出∠EBD的度数.然后求出AD的长度.然后根据∠A=30°即可求出CD的高度．解：〔1过点B作BE⊥AD于点E.∵AB=40m.∠A=30°.∴BE=AB=20m.AE==20m.即点B到AD的距离为20m；〔2在Rt△ABE中.∵∠A=30°.∴∠ABE=60°.∵∠DBC=75°.∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°.∴DE=EB=20m.则AD=AE+EB=20+20=20〔+1〔m.在Rt△ADC中.∠A=30°.∴DC==〔10+10m．答：塔高CD为〔10+10m．点评:本题考查了解直角三角形的应用.难度适中.解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形并解直角三角形．考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析:〔1过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中.求出CF=EF.然后根据勾股定理解答；〔2过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中.∠HAE=45°.结合〔1中结论得到CF的值.再根据AB=AH+BH.求出AB的值．解：〔1过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中.CE=20..∴EF2+〔EF2=202.∵EF＞0.∴EF=10．答：点E距水平面BC的高度为10米．〔2过点E作EH⊥AB于点H．则HE=BF.BH=EF．在Rt△AHE中.∠HAE=45°.∴AH=HE.由〔1得CF=EF=10〔米又∵BC=6米.∴HE=6+10米.∴AB=AH+BH=6+10+10=16+10≈33.3〔米．答：楼房AB的高约是33.3米．考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析:〔1在构建的直角三角形中.首先求出两个直角三角形的公共直角边.进而在Rt△ACD中.求出AC的长．〔2通过解直角三角形.可求出BD、CD的长.进而可求出BC、PC的长．然后判断PC的值是否大于2米即可．解：〔1如图.在Rt△ABD中.AD=ABsin45°=4×=4．在Rt△ACD中.∵∠ACD=30°∴AC=2AD=8．即新传送带AC的长度约为8米；〔2结论：货物MNQP不用挪走．解：在Rt△ABD中.BD=ABcos45°=4×=4．在Rt△ACD中.CD=ACcos30°=2．∴CB=CD﹣BD=2﹣4≈0.9．∵PC=PB﹣CB≈4﹣0.9=3.1＞2.∴货物MNQP不应挪走．点评:考查了坡度坡脚问题.应用问题尽管题型千变万化.但关键是设法化归为解直角三角形问题.必要时应添加辅助线.构造出直角三角形．在两个直角三角形有公共直角边时.先求出公共边的长是解答此类题的基本思路．考点:解直角三角形的应用-方向角问题．分析:由已知可