初中中考冲刺数学总复习《几何综合问题》（基础、提高）巩固练习、知识讲解

中考冲刺：几何综合问题一巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2016•天水）如图，边长为2的等边4ABC和边长为1的等边AA'B'C',它们的边B'C,BC位

于同一条直线1上，开始时，点C'与B重合，△ABC固定不动，然后把AA'B'C'自左向右沿直线1

平移，移出aABC外（点B'与C重合）停止，设AA'B'C'平移的距离为x,两个三角形重合部分的

面积为y，则y关于x的函数图象是（）

2.如图，将直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移到4DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）.直

角边DE交BC于点G.如果BG=4,EF=12,ZXBEG的面积等于4,那么梯形ABGD的面积是（）

A.16B.20C.24D.28

二、填空题

3.（2016•海淀区二模）据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔

影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图所示，木杆EF

的长为2m,它的影长FD为3m,测得0A为201m,则金字塔的高度B0为m.

4.如图，线段AB=8cm,点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧

作等腰直角三角形（△AMC和△CNB）,则当BC=cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小.

三、解答题

5.有一根直尺的短边长2cm,长边长10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm.如

图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合；将直尺沿AB方向平

移（如图②），设平移的长度为xcm（OWxWO）,直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的

面积为Scm2.

（1）当x=0时（如图①），S=._；

（2）当0<xW4时（如图②），求S关于x的函数关系式；

（3）当4Vx<6时，求S关于x的函数关系式；

（4）直接写出S的最大值.

6.问题情境：如图①，在AABD与4CAE中，BD=AE,ZDBA=ZEAC,AB=AC,易证：ZsABD04CAE.（不

需要证明）

特例探究：如图②，在等边AABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:

△ABD^ACAE.

归纳证明：如图③，在等边AABC中，点D、E分别在边CB、BA的延长线上，且BD=AE.aABD与4CAE

是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由.

拓展应用：如图④，在等腰三角形中，AB=AC,点0是AB边的垂直平分线与AC的交点，点D、E分别在

OB、BA的延长线上.若BD=AE,ZBAC=50°,ZAEC=32°，求/BAD的度数.

7.如图正三角形ABC的边长为6cm,00的半径为rem,当圆心0从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动,

回到点A时，。。随着点0的运动而移动.

⑴若r=gcm,求。0首次与BC边相切时，A0的长；

⑵在。0移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况？写出不同情况下r的取值范围及

相应的切点的个数；

⑶设。0在整个移动过程中，在AABC内部，。。未经过的部分面积为S,在S>0时，求关于r的函数

解析式，并写出自变量r的取值范围.

8.(2015•德州)(1)问题：如图1,在四边形ABCD中，点P为AB上一点,ZDPC=ZA=ZB=90",

求证：AD・BC=AP・BP.

(2)探究：如图2,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当NDPC=NA=NB=。时，上述结论是否

依然成立？说明理由.

(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3,在AABD中，AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向

点B运动，且满足NDPC=NA,设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB

相切时，求t的值.

9.如图，直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AB=12cm,BC=9cm,DC=13cm,点P是线段AB上一

个动点.设BP为xcm,APCD的面积为ycm2.

(1)求AD的长；

(2)求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

(3)在线段AB上是否存在点P,使得4PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理

由.

A0

10.如图，平行四边形ABCD中，AB=10,AD=6,NA=60°,点P从点A出发沿边线AB—BC以每秒1个单

位长的速度向点C运动，当P与C重合时停下运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q.设P运动时

间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S.求S关于t的函数解析式.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B.A

【解析】如图1所示：当0<xWl时，过点D作DE_LBC'.A

,z

V△ABC>fflAAB'C均为等边三角形，A</\

为等边三角形.?\/\

.百，百/木________\

..DE=-^-BC=­x.B’BECC

2幺图］

如图2所示：1<XW2时，过点A'作A'E_LB'C,垂足为E.

1,,,1月百

Vy=-BzC'・A'E=-XIX—=—.

2224

...函数图象是一条平行与x轴的线段.

如图3所示：2<xW3时，过点D作DEJ_B'C,垂足为E.

1出图3

y=—B'C*DE=---(x-3)2,

24

函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上.

故选：B.

2.【答案】B.

二、填空题

3.【答案】134.

4.【答案】4.

三、解答题

5.【答案与解析】

(1)由题意可知：

当x=0时，

VAABC是等腰直角三角形，

.•.AE=EF=2,

则阴影部分的面积为：S=-X2X2=2；

2

故答案为：2；

(2)在RtZXADG中，ZA=45°,

：.DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,

・S-1

••O悌形DEFG----------(x+x+2)X2=2x+2.

2

・=S=2x+2；

GD二AD二x,EF二EB=12-(x+2)=10-x,

则S/SADG二一AD•DG——Xi

22

—

SABEF=一(10X),

2

而SAABC=-X12X6=36,

2

SABEI'~—(10—X),

2

.,.S=36--x2--(10-x)2=-X、10XT4,

22

S=-X2+10X-14=-(X-5)2+ll,

.•.当x=5,(4<x<6)时，S城大值=11.

(4)Sa*e=l1.

6.【答案与解析】

特例探究：

证明：:△ABC是等边三角形，

.,.AB=AC,ZDBA=ZEAC=60",

在AABD与4CAE中，

AB=CA

<NDBA=ZEAC,

BD=AE

.,.△ABD^ACAE(SAS)；

归纳证明：AABD与4CAE全等.理由如下：

♦.,在等边AABC中，AB=AC,ZABC=ZBAC=60°,

/.ZDBA=ZEAC=120°.

在aABD与4CAE中，

AB=CA

<NDBA=ZEAC,

BD=AE

/.△ABD^ACAE(SAS)；

拓展应用：••,点0在AB的垂直平分线上，

，OA=OB,

AZ0BA=ZBAC=50°,

二ZEAC=ZDBC.

AB=CA

在4ABD与ACAE中，<NDBA=NEAC,

BD=AE

AAABD^ACAE(SAS),

/.ZBDA=ZAEC=32°,

AZBAD=Z0BA-ZBDA=18°.

7.【答案与解析】

(1).设。0首次与BC相切于点D,则有0D1BC.

且0D=r=6.

在直角三角形BDO中，

VZ0BD=60°,

6

sin60°

.•.A0=AB-0B=6-2=4(厘米)；

(2)由正三角形的边长为6厘米.可得出它的一边上的高为3G厘米.

①当00的半径厂36厘米时，。。在移动中与AABC的边共相切三次，即切点个数为3；

②当0<r<3G时，在移动中与AABC的边相切六次，即切点个数为6；

③当r>3G时，。。与aABC不能相切，即切点个数为0.

(3)如图，易知在S>0时，。。在移动中，在aABC内部为经过的部分为正三角形.

记作AA'B'C',这个正三角形的三边分别于原正三角形三边平行，且平行线间的距离等于r.

连接AA',并延长AA',分别交B'C',BC于E,F两点.

则AFLBC,A'EJ_B'C,且EF=r.

又过点A'作A'G_LAB于G,则A'G=r.

VZGAAZ=30°,

・・・AA'=2x.

••.△A'B'C'的高A'E=AF-3r=9-3r,

2G

B'C'=

3

A'E=2百(3-r).

.'.△A'B'C'的面积S=LB'C*A'E=3A/3

2

(3-r)2.

，所求的解析式为S=36(3-r)2(0<r<3).

8.【答案与解析】

解：(1)如图1,

图1

•••ZDPC=NA=NB=90",

ZADP+ZAPD=90°,

ZBPC+ZAPD=90°,

.1.ZADP=ZBPC,

AADPSABPC,

.AD=AP,

'BPBe)

AD«BC=AP«BP：

(2)结论AD・BC=AP・BP仍然成立.

理由：如图2,

图2

•••ZBPD=ZDPC+ZBPC,ZBPD=ZA+ZADP,

ZDPC+ZBPC=ZA+ZADP.

ZDPC=NA=ZB=6,

ZBPC=ZADP,

ADP-ABPC,

.AD=AP

"BPBC,

AD«BC=AP«BP：

(3)如图3,

过点D作DELAB于点E.

AD=BD=5»AB=6,

AE=BE=3.

由勾股定理可得DEM.

以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切,

DC=DE=4,

BC=5-4=1.

又AD=BD,

ZA=ZB,

.1.ZDPC=ZA=ZB.

由(1)、(2)的经验可知AD・BC=AP・BP,

5x1=t(6-t),

解得：ti=l,t2=5,

的值为1秒或5秒.

9.【答案与解析】

图］

据题意知，四边形ABED是矩形，AB=DE,AD=BE.

在RtZ\DEC中，ZDEC=90°,DE=12,CD=13,

，EC=5..\AD=BE=BC-EC=4.

⑵若BP为x,则AP=12-x.

SABPC=-1BP•BC=-x.SAAPO=—AP,AD=24-2x.

222

.95

••SAPCD=S梯形ABCD-SABI>C-SAAPD=78-—x-24+2x=-—x+54.

22

即y=--x+54,0<xW12.

2

当x=0时,y取得最大值为54cm2.

(3)若△PCD是直角三角形，VZBCP<90°,AZPCD^90°

・・.分两种情况讨论，如图2.

B

图2

①当NDPC=90。时

・.・NAPD+NBPC=90°,ZBPC+ZPCB=900,

JNAPD=NPCB.JAAPD^ABCP.

.APBC即12-X9版徂A

ADBP4x

ZAPD=ZBPC=45°的情况不存在，不考虑.

②当NPDC=90°时，

在RtZ\PBC中，Pd=BP『+BC2=x2+92,

SRtAP.AD中，P!D2=PIA2+AD2=(12-X)2+42,

VZPiDC=90°,CD2+P,D2=P,C2.

31

即132+(12-X)2+42=X2+92.解得x=-.

3

综上，当x=6或工=二31，APCD是直角三角形.

3

io.【答案与解析】

当Q点与D点重合时，AQ=AD=6,此时，AP=」AQ=3=t

2

当P与B点重合时，t=10,

当P点运动到C时,t=16,

.•.分三类情况讨论

/.S=-AP•PQ=Rlt2

22

(2)当3<tW10时，示意图:

过D作DH_LAB于H,AD=t,

贝ijDH=ADsinA=6•走=36AH=ADcosA=3

2

/.DQ=PH=AP-AH=t-3

.*.S=-(AP+DQ)-DH

2

=A(t+t-3)•.有

22

AB+BP=t

CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t

.\CQ=lcP=8-i

22

QP=^-CQ=8后一包t

S=SaABCD-SACIiQ

=AB•h-1-CQ-PQ

2

=30层造(64-8t+£l)

24

8

J3

犷a(。士53)

9

综上，S=^3-j3t--43(3<x<10)

2+4同一2/(10<：<16)

中考冲刺：几何综合问题一巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015春♦江阴市校级期中）在平面直角坐标系中，直角梯形AOBC的位置如图所示，N0AC=90°,AC〃OB,

0A=4,AC=5,0B=6.M、N分别在线段AC、线段BC上运动，当AMON的面积达到最大时，存在一种使得

△MON周长最小的情况，则此时点M的坐标为（）

A.(0,4)B.(3,4)C.(24)D.(痣3)

2

2.如图，aABC和ADEF是等腰直角三角形，ZC=ZF=90°,AB=2,DE=4.点B与点D重合，点A,B（D）,

E在同一条直线上，将aABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止.设点B,D之间的距离为x,△

ABC与4DEF重叠部分的面积为y,则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）

二、填空题

3.（2016•绥化）如图,在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E,ZDAB=ZCDB=90°,ZABD=45°,

（提示：可过点A作BD的垂线）

4.如图，一块直角三角形木板AABC,将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动

到AA"B"C"的位置，若BC=lcm,AC=J^cm,则顶点A运动到A"时，点A所经过的路径是

cm.

三、解答题

5.(2017•莒县模拟)在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M,AE

或其延长线与DC或其延长线相交于点F,G是EF的中点，连结CG.

(1)如图1,当点E在BC边上时.求证：①AABMg△0»1；②CGJ_CM.

(2)如图2,当点E在BC的延长线上时，(1)中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明.

(3)试问当点E运动到什么位置时，^MCE是等腰三角形？请说明理由.

6.如图，等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=6,动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度

按顺时针方向沿aABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为I秒，点P运

动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S关于t的函数解析式.

7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，ABFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与4BEA重合.

(1)如图1,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=G，求证：AE〃BF；

(2)如图2,若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1,BC=2,求BF的长.

图1图2

8.将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF.

DF

(1)如图2,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°,连DF、CG相交于M,则——=,

CG

ZDMC=；

DF

(2)如图3,将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,试探究——与

CG

ZDMC的值，并证明你的结论；

(3)若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转B(0°<0<90°),则一=

CG

ZDMC=.请画出图形，并直接写出你的结论(不用证明).

9,已知AABC丝Z\ADE,ZBAC=ZDAE=90°.

(1)如图(1)当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD,判断CE和BD位置关系，填空：CEBD.

（2）如图（2）把4ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结

论，并说明理由.

（3）如图（3）在图2的基础上，将4ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的AAC'E'的位置，连接

BE'、DC',过点A作ANJ_BE'于点N,反向延长AN交DC'于点M.求丝•的值.

10.将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使1）点在CF边上，M为AE中点，

（1）连接MD、MF,则容易发现MD、MF间的关系是

（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG>BC）,

取线段AE的中点M,探究线段MD、MF的关系，并加以说明；

（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3）,其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接

写出猜想，不需要证明.

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B.

【解析】如图，过点M作MP〃OA,交ON于点P,过点N作NQ〃OB,分别交OA、MP于两点Q、G,则

SAMON=SAW+SAW=1MP-QG+1MP-NG=J：MP-QN,

222

•.,MPWOA,QNWOB,

二当点N与点B重合，QN取得最大值0B时，的面积最大值二%A・OB,

设0关于AC的对称点D,连接DB,交AC于M,

此时aMON的面积最大，周长最短，

••ALLAHg,i4,AM

OD0M86

，AM=3,

AM(3,4).

故选B.

2.【答案】B.

二、填空题

3.【答案】2.

【解析】过A作AFLBD,交BD于点F,

VAD=AB,ZDAB=90°,

；.AF为BD边上的中线，

/.AF=JLBD,

2_

：AB=AD=&,

根据勾股定理得：BD=V6+6=2V3>

•,.AF=6，

在RtZ\AFE中，ZEAF=ZDCA=30°,

.,.EF=1AE,

2

设EF=x,则有AE=2x,

根据勾股定理得：X2+3=4X2,

解得：x=l,

则AE=2.

故答案为：2

田、8+3\/3

4.【答案】----71.

6

三、解答题

5.【答案与解析】

(1)证明：①•••四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABM=ZCBM,

'AB=CB

在AABM和ACBM中，，NAM=NCBM，

BI=BI

/.△ABM^ACBM(SAS).

②;△ABM且Z\CBM

ZBAM=ZBCM,

又；NECF=90°,G是EF的中点，；.GC=LEF=GF,

2

.,.ZGCF=ZGFC,

XVAB/7DF,

ZBAM=ZGFC,

:.ZBCM=ZGCF,

•••NBCM+NGCE=NGCF+NGCE=90°,

・・・GC_LCM；

(2)解：成立；理由如下:

•・,四边形ABCD是正方形，

JAB=BC,NABM=NCBM,

'ABXB

在AABM和中，,/ABM=NCBM，

BM=BM

.,.△ABM^ACBM(SAS)

JZBAM=ZBCM,

又・・・NECF=90°,G是EF的中点,

AGC=GF,

JZGCF=ZGFC,

XVAB/7DF,

JZBAM=ZGFC,

JNBCM=NGCF,

ZGCF+ZMCF=ZBCM+MCFE=90°,

・・・GCJ_CM；

(3)解：分两种情况：①当点E在BC边上时，

VZMEC>90°,要使4MCE是等腰三角形,必须EM=EC,

，NEMC=NECM,

JZAEB=2ZBCM=2ZBAE,

・・・2NBAE+NBAE=90°,

ZBAE=30°,

JBE二1AB二逅；

33_

②当点E在BC的延长线上时，同①知BE二小京

综上①②，当BE="■或BE=«时，^MCE是等腰三角形.

3

6.【答案与解析】

当P运动到C点时：t=6

当Q运动到A点：t=6我’

，分两种情况讨论

(1)当0WtW6时，如图：

作PHLAB于H,则△APH为等腰直角三角形

此时AP=t,BQ=t,则AQ=66-1

PH=APsin45°

2

SiAQp=—AQ,PH

2

=5.(6应二•冬

42

=_立t2+3t

4

⑵当6VtW6板时,如图:

C

过P过PHJ_AB于H,此时△PBH为等腰直角三角形

AC+CP=t,BQ=l

JBP=AC+CB-(AC+CP)=12-t

；.PH=BPsin45°=走(12-t)

2

・・S四边形AQPC=S^ABC-SdUJPQ

=-AC•BC-ABQ•PH

22

=—,6,6~—,t•(12~t)

222

"3阴+退/

4

=—t2-3j2t+18-

4

-立八次

(0WY6)

综上，S=>4

—?-3721+18(0<146圾)

、4

7.【答案与解析】

(1)证明：,••△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与4BEA重合

，BE=BF=1,ZEBF=ZABC=90°,NAEB=NBFC

在ABFC中，

VBF2+FC2=12+(A/3)2=4,

BC2=22=4

.,.BF+FC^BC2

AZBFC=90°…(3分)

.•.ZAEB+ZEBF=180°

，AE〃BF…(4分)

(2)解：：RtZ\ABC中，AB=BC=2,由勾股定理，得

AC=>/AB2+BC2=272.

VAF：FC=3：1,

.3〃3a1V2

・・AF=-AC=------，FC=-AC=------

4242

「△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与4BEA重合

V2

/.ZEAB=ZFCB,BE=BF,AE=CF=—,

2

•.•四边形ABCD是正方形

，ZABC=90°

AZBAC+ZACB=90°

二/EAB+NBAC=90°

即/EAF=90°

在RtaEAF中，EF=^AE2+AF2=>/5,

在Rt/XEBF中，EF^BE^BF2

VBE=BF

V2Vio

/.BF=-----EF--------・

22

8.【答案与解析】

(1)如图2,连接B如

♦.•四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,

/.ZFBC=ZCBD=45°,

AZCBD=ZGBC=90°,

而BF=&BG,BD=A/2BC,

.".△BFD^ABGC,

BF

，NBCG=NBDF,

CG~BG

而/DMC=180°-ZBCG-ZBCD-ZCDF=180°-ZBDF-ZBCD-ZCDF=180-45°-90°=45°

DFr

：.——=J2,ZDMC=45°；

CG

(2)如图3,

♦.•将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°,DF的延长线交CG于M,

.♦.B、E、D三点在同一条直线上，

而四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,

/.ZCBD=ZGBC=45°,BF=V2BG,BD=V2BC,

.,.△BFD^ABGC,

DF/-

二——=，2,ZBCG=ZBDF

CG

而NDMC=180°-ZBCG-ZBCD-ZCDF

=180°-ZBDF-ZBCD-ZCDF=180-450-90°

=45°,

BPZDMC=45°；

DFr-

(3)——=J2,/DMC=45°,图略.

CG

9.【答案与解析］⑴CE±BD.

(2)延长CE交BD于M,设AB与EM交于点F.

VZBAC=ZDAE=90",

，ZCAE=ZBAD.

XVAABC^AADE,

.*.AC=AE,AB=AD,

180°-NCAE180°-NBA。

ZACE=，ZABD=

22

，ZACE=ZABD.

又•.•/AFC=/BFM,ZAFC+ZACE=90°,

ZABD+ZBFM=90°,

AZBMC=90°,

ACEIBD.

(3)过C'作C'GLAM于G,过D作DHLAM交延长线于点H.

VZZEZNA=NAGC'=90°,

AZNE,A+NNAE'=90°,NNAE'+ZCAG=90°,AZNE,A=/C'AG,

VAE,=AC'

.♦.△ANE'丝Z\C'GA(AAS),

，AN=C'G.

同理可证4BNA丝ZSAHD,AN=DH.

：.CG=DH.

在△€：'GM与△DHM中，

NC'GM=NDHM=90°,NC'MG=NDMH,CG=DH,

.♦.△C'GM也△DHM,

.*.C,M=DM,

.DM1

••----=一.

DC2

10.【答案与解析】

如图1,延长DM交FE于N,

•••正方形ABCD、CGEF,

・・・CF=EF,AD=DC,ZCFE=90°,AD/7FE,

AZ1=Z2,

又〈MA=ME,Z3=Z4,

AAAMD^AEMN,

・・・MD=MN,AD=EN.

VAD=DC,

ADC=NE.

XVFC=FE,

AFD=FN.

XVZDFN=90",

AFM1MD,MF=MD；

(2)MD=MF,MD±MF.

如图2,延长DM交CE于N,连接FD、FN.:正方形ABCD,

；・AD〃BE,AD=DC,

AZ1=Z2.

又YAM=EM,Z3=Z4,

AAADM^AENM,

・・・AD=EN,MD=MN.

VAD=DC,

・・・DC=NE.

又・・,正方形CGEF,

AZFCE=ZNEF=45°,FOFE,ZCFE=90°.

又•正方形ABCD,

AZBCD=90°,

AZDCF=ZNEF=45°,

.'.△FDC^AFNE,

，FD=FN,Z5=Z6,ZDFN=Z5+ZCFN=Z6+ZCFN=90°,

•••△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，

・・・MD=MF,MD1MF；

(3)FM±MD,MF=MD.

如图3,过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN.

AZADC=ZH,AD/7EH,

AZ3=Z4.

VAM=ME,Z1=Z2,

AAAMD^AEMN,

ADM=NM,AD=EN.

・••正方形ABCD、CGEF,

・・・AD=DC,FC=FE,ZADC=ZFCG=ZCFE=90°.

AZH=90°,N5=NNEF,DONE.

.,.ZDCF+Z7=Z5+Z7=90°,

ZDCF=Z5=ZNEF.

VFC=FE,

AADCF^ANEF.

・・・FD=FN,NDFC二NNFE.

VZCFE=90°,

AZDFN=90°.

AFM±MD,MF=MD.

中考冲刺：几何综合问题一知识讲解（基础）

责编：常春芳

【中考展望】

几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要

考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选

择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题，还有更注重考查学生分析问题和解决问

题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，

题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.

几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有

实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能

力.

以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：

1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；

2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；

3、几何计算问题；

4、动态几何问题等.

【方法点拨】

一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：

1、与三角形有关的知识；

2、等腰三角形，等腰梯形的性质；

3、直角三角形的性质与三角函数：

4、平行四边形的性质；

5、全等三角形，相似三角形的性质；

6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；

7、弧长公式与扇形面积公式.

二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下儿个方面：

1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过

添加辅助线补全或构造基本图形；

2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经

验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；

3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用

数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.

【典型例题】

类型一、动态几何型问题

1.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；

点Q沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0

WtW6）,那么：

⑴当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

⑵求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；

⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似？

DC

Q

AB

【思路点拨】(D中应由4QAP为等腰直角三角形这一结论，需补充条件AQ=AP,由AQ=6-t,AP=2t,可

求出t的值；

⑵中四边形QAPC是一个不规则图形，其面积可由矩形面积减去△DQC与APBC的面积求出；

⑶中由于题目中未给出三角形的相似对应方式，因此需分类讨论.

【答案与解析】

解：(1)对于任何时刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.

当QA=AP时，Z\QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t,解得：t=2(s),

所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形.

(2)在AQAC中,QA=6-t,QA边上的高DC=12,

SAQAC=-QA•DC=—(6—t)•12=36—6t.

22

在Z\APC中,AP=2t,BC=6,

/.SAAIXF-AP«BC=-•2f6=6t.

22

.'♦S四边彩QAPC=SAMC+SAAPC=(36-6t)+6t=36(cm').

由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变.(也可提出：P、

Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)

(3)根据题意，可分为两种情况，在矩形ABCD中：

①当空="时，△QAPS/\ABC,则有：

ABBC

解得t=1.2(s),

126

即当t=l.2s时，△QAPs^ABC；

nAAp

②当义一=——时，△PAQS/^ABC,则有:

BCAB

6T2t

解得t=3(s),

即当t=3s时，APAQ^AABC；

所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与aABC相似.

【总结升华】本题是动态几何题，同时也是一道探究题.要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力，

这就要求我们通过计算分析，抓住其本质，揭示出变中不变的规律.四边形QAPC的面积也可由△QAC与

△CAP的面积求出，；⑶中考查了分类讨论的数学思想，结论具有一定的开放性.

^^2.(永春县校级月考)如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,AD=3,CD=5,BC=10,梯形的高为4,

动点M从点B出发沿线段BC以每秒2个单位长度向终点C运动；动点N同时从点C出发沿线段CD

以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒

(1)直接写出梯形ABCD的中位线长；

(2)当MNIIAB时，求t的值；

(3)试探究：t为何值时，使得MC=MN.

【思路点拨】（1）直接利用梯形中位线的定理求出即可；

（2）平移梯形的一腰，根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解；

（3）利用MC=MN时，结合路程=速度x时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三

角形的知识求解.

【答案与解析】

解：⑴AD=3,BC=10,

梯形ABCD的中位线长为:（3+10）+2=6.5；

（2）如图1,过D作DGIIAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形.

MNIIAB,

•.MNIIDG,

•.BG=AD=3.

GC=1O-3=7.

由题意知，当M、N运动到t秒时，CN=t,CM=10-2t.

•••DGIIMN,

△MNC-△GDC.

•.•—CN―_CM,

CDCG

即上二10-2t,

57

解得，t=旦；

17

(3)当MC=MN时，如图2,过M作MF_LCN于F点，FC=」NC=2t.

22

ZC=ZC,ZMFC=ZDHC=90°,

:&MFO△DHC,

.FC=MC(

.瓦记

1

即11=10-2t,

35

解得：t=口.

17

综上所述，1=型时，MC=MN.

17

【总结升华】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系

求解，但是对于大多数题目来说，都有一个由动转静的拐点.

3.（2016秋•泗阳县期末）（1）已知：如图1,AABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点

D不与B、C重合)，以AD为边作等边AADE,连接CE.求证：①BD=CE,②AC=CE+CD；聪明的小明做完

上题后进行了进一步变式探究.

(2)如图2,在△ABC中，ZBAC=90°,AC=AB,点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD

为边作等腰Rt^ADE,ZDAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE,类比题(1),请你猜

想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；

(3)如图3,在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰RlZXADE,ZDAE=90°

(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.

①题(2)的结论还成立吗？请说明理由；

②连结BE,若BE=10,BC=6,求AE的长.

【思路点拨】(1)①根据等边三角形的性质就可以得出/BAC=NDAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE,进而

就可以得出AABDZ4ACE,即可得出结论；②由△/'!»岭Z\ACE,以及等边三角形的性质，就可以得出

AC=DC+CE；

(2)先判定aABD丝ZXACE(SAS),得出/B=NACE=45°,BD=CE,在RtADCE中，根据勾股定理得出

CE2+CD=DE2,即可得到BD2+CD2=DE2；

(3)①运用(2)中的方法得出BDUCDJDE2；②根据Rt^BCE中，BE=10,BC=6,求得CE=JlO?-6?=8,

进而得出CD=8-6=2,在RtaDCE中，求得DE=&+8?=疝,最后根据AADE是等腰直角三角形，即

可得出AE的长.

【答案与解析】

解：(1)①如图1,「△ABC和AADE是等边三角形，

/.ZBAC=ZDAE=60°,AB=BC=AC,AD=DE=AE,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

.\ZBAD=ZEAC.

在△ABD和△ACE中，

'AB=AC

-ZBAD=ZEAC>

AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS),

/.BD=CE；

②：BD=CE,AC=BC,

又；BC=BD+CD,

/.AC=CE+CD；

(2)BD2+CD2=DE2.

证明：如图2,VZBAC=ZDAE=90o,

/.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即NBAD=NCAE,

在AABD与4ACE中，

'AB=AC

</BAD=NCAE，

AD=AE

/.△ABD^AACE(SAS),

/.ZB=ZACE=45°,BD=CE,

ZB+ZACB=ZACE+ZACB=90°,

/.ZBCE=90",

.♦.RtZXDCE中，CE2+CD2=DE2,

/.BD2+CD2=DE2；

(3)①(2)中的结论还成立.

理由：如图3,VZBAC=ZDAE=90",

ZBAC+ZDAC=ZDAE+ZDAC,

即/BAD=NCAE,

在aABD与4ACE中，

'AB=AC

<NBAD=NCAE，

AD=AE

/.△ABD^AACE(SAS),

.,.ZABC-ZACE=45°,BD=CE,

?.ZABC+ZACB=ZACE+ZACB=90°,