时间序列方法之卡尔曼滤波

1第十三章卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的根本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算GaussARMA模型确实切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。§13.1动态系统的状态空间表示我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法，下面我们在以前的假设根底上，继续分析动态系统的表示方法。13.1.1继续使用的假设切假设千表示匙时刻潮观测允到的毙n训维随熟机向恳量，挨一类式非常简丰富腿的描谨述待动态衣性的罪模型专可以愧利用馅一些旬可能历无法锡观测喊的被绘称为铁状态碗向量加(s允ta混te娱v彻ec绵to芬r)拴的还r问维向泡量捐表示念，因虾此表京示盈动态悠性的仗状态沸空间形表示裤(s光ta技te财-s岁pa世ce甲r忠ep趴re吨se简nt质at桨io糖n)核由下呼列方苍程系诉统给进出：恰状态廊方程土(s炼ta既te神m深od坊el总)慌究编晓赠巨岂胜昨赔(1拢3.西1)膜量测显方程友(o侍bs诵er中va性ti仆on壤m鄙od丛el破)误免与用龙句(同13跪.2杯)厅这耗里特，期和翁分别葛是阶歼数为报，挥和醒的参熔数矩企阵，质是颠的外围生或侵者前晓定变饱量。肉方内程(护13阅.1叔)被馒称为昌状拐态方窜程(仅st特at伶e醒mo乓de亏l)狱，方茎程(衣13浊.2德)被阶称为估量测六方程匙(o木bs计er绍va往ti涨on城m喷od种el删)，雪维向垮量独和勿维向鸣量渠都是尖向量粘白噪馋声，内满足究：幻黑念筑三坟港存咏竭匹败铺讨卫骂所悬追天板晓寇矮丸脸(冶13勉.3津)双桑炕袜脂荷泥腊剧抖渠功坐绍团仆使香倘哥袜雹类教倚惑(拖13获.4萄)减这里惠和培是斥和辫阶矩赴阵。沸假设惹扰动邪项两和矩对于喇所有绵阶滞酸后都妄是不赴相关阅的，浓即对撤所有促和防，有脸：真(1离3.淘5)弯是外剩生或维者前政定变狂量的欺假定曲意味钓着，鹊在除荡了包颤含在系内的翼信息纷以外预，汤没有众为饿和掀(奏)提馆供任撞何新阻的信斩息。别例如眯，府可以湾包括语的滞寺后值服，也漂可以锈包括缎与序和飘(任乒意粗)不爷相关零的变狐量。校方程稍系统织中方俯程(基13刘.1低)至旗方程翠(1洪3.勤5)慰可以饭表示额有限盐观测洋值的灯序列瞎，这骗时需菊要状挠态向贪量初洗始值燃。假梳设朱与塑和完的任肥何实妈现都始不相站关：袄，对染任意辉输鹿夏安将后么造清勺秘阁快蜂旷响小代(1织3.秋6)东，对面任意悠历茫(估13慈.7椒)味状态惯方程球(1萄3.宋1)雀说明鞋，绩可以作表示撑成为践的线衔性函垦数：嘱，赏赛桶匹保容乐蜡(英13雁.8絮)加因此庆，方挑程(像13旱.6祸)和殿方程击(1筐3.乡3)威意味恰着巴与所捎有骗的滞紫后值声都是议不相妨关的舅：疯，堤肿傅萍训遍促界富胡版穗与棒魂从熟户膏炮稳议(精13字.9椅)此类似每地，嫌可以字得到勤：桶，色(1捧3.绸10岗)氧，香斥弯榨住(君13三.1和1)央，难税垃刃晒塞略吗清剧河或既版代万杯撒泥闹迟浊(1业3.锈12否)毯上述裁系统欠是相拜当灵性活的沸，它唱的一杠些结绕论也攻可以搞推广近到响与投相关凡的系逗统中贪，而钓且系多数矩唇阵腿也可宽以是御时间拘的函另数陪。姑如果努我们猛仅仅塘关注贿到上涌述系朝统的崇根本剃形式散，那么拘下面晓的论原述将锹是十两分清交晰富的。涛13唇.1究.负2肆状态突空间叼表示腹的例梦子产考虑身一元肾过程领：喝这个弯过程严可以驳表示搭成为康下面坝的状劫态空悼间模瓶型形泛式：桌状态侮方程识(昏)怪浊腊仗爽阳骗仓条(毙13伶.1卫3)焰量测脂方程悠：池宴末凳彼(1醋3.俊14恢)耍对应侮地，口我们武指定卵：年，闷，货，且这里再变量周和参损数矩梅阵对娱应怒为：宽，趣，代，苦，坝，碰注意盛到这愚里的捕状态题方程航只是扎一个荷一阶啦向量凑自回鼓归方躬程，典量测雕方程各只是寺一个短简单现的等抢式。仰因此刑，我疾们已笼经看霞到，放状态去空间焦表示嘱只是蹲总结夏过程棉的另干外一幼种方塌式欠。将竟过程弦表示油成为赵这种订方式无的原粘因在篮于，剥这样销可以抵获得馆归纳齿过程仆动态嘱性的者适宜布方式昆，这浊是我娇们对榜任何毒系统词状态篮空间剂表示域感兴公趣的拐根本堆原因单。案另外测一个田例子德是，猛我们沉考虑具一元怪过程辆：绝对应阿地，晒它可共以表溉示成蓄为状俯态空杰间模暴型形奥式为蜘：同状态重方程复(术)：辣量怜测方稠程(文)：皮这里农：弓，奴，粪，厅，楼，梁，诚，搜，因将给屋定系疏统表两示麦成为磁状态巡方程喇的成方式振有多慰种痛。例雁如，自可以镇将物过程惹表示中成为爽下面梅类型垫的状白态空乔间模帅型：晚状态乎方程退(事)：奶量测买方程蚕(漏)：甚显然脱上面傲的凤过程敢、两喂种状愤态空拨间模圆型表曲示都汉是具凳有相圆同特杜征的雄过程浸表示痛，这技三种器表示跟都具穿有相蓄同的汪预测炊和相喜同的南似然奖函数饮值，奶也就量无须蛙讨论舱哪一省种方吃式更姿为包适宜融。伙更一极般地位，一漆元欣模型甩可以苦通过黎定义甩进行扩状态河空间肌模型被表示肃：涂疤前宫沉纲表(1判3.覆1础5书)沸这里柔的参索数约袋束是戚：当犁时，挂；当棍时，字。羡考虑给以下晨状态铸空间赌模型扶表示扣为：全状态班方程狮(溜)：叔害底笑施纷辣寇浙迈置延衬俭趁斑扶(斯13自.1供6键)肆量测仇方程番(眼)：博文网本呈吧迈生槽瘦律案倡集揪贤稿屯股虽祸(1荷3.池15厦)闪为了旬验证律方程稍(1而3.衰1葵6蛛)和盐方程泰(1住3.略1砖7出)表墓示了萝系统台与方燃程(词13刘.1嫂5援)一漂致，渐假设池表示壶向量隶的第蜡j老个元屋素，庆因此牌状态辟方程召的第弟2行忍表示吹：谷第烈3洲行表忆明遭：羽更一矿般地琴，昌第号j粘行表顺示：结因此浩状态术方程携的第腿1行饲意味蚁着：各或者挥：挺逼师顶雕(租13姨.1收8涛)谈量测替方程连说明货：鼻悉慧休刊朝微河仔罗酸缩它友式设嫂(1股3.绪1巩9鲜)扁在方吐程其(1钓3.铸1堆9丛)两提端乘厚以算智子多毒项式半，并肥利用摔方程补(1紧3.色1沉8糖)，激可以蒜得到希：案这就剪是原仁来的补模型扮，即彼方口程岗(1蔑3.舅1听5浆)帐。葬状态间空间写形式揉是描榨述随叮机过执程的虾和，稼或者竖测量明误差邻结果滨的模密型的埋非常核适宜尺的方骨式。蛋例如韵，鞋Fa饶m普a肥和晶Gi鹅bb驳on梢s德(饿19夏82仗)开眠始着辞手研窜究事墓前实议际利宿率(仪ex附a洽nt糊e批re泛al跌i沾nt炼er嫁es刮t使ra根te克)让行为头(佳事前倾实际尖利率坝是名逆义利乞率肿减去涌预期挣通货多膨胀随率伟)。难由于组经济宾计量察学家嘱通过畜证券符市场赖推断霸的拐预期厌通货颠膨胀唤率的势数据傍，因梯此这肾个变泥量不短是可斩以观呀测的饮。因青此在侵这种蛛应用扒中状郊态变锋量是爷一个活标量没，即态：伸，这单里馅表示顷平均唉事前假实际椅利率夜。耻Fa肾ma径和培Gi寺bb翠on闲s舞(傲19贺82论)假廊设事姿前实女际利绑率服泪从葡过程役：辛井解芳埋贴屑吉凑假设燃叹沃施检罢误离飞聋查泥牺悠虑陷泊醉(疲13女.很20钞)耀经济株计量且学家纺可以活观测响到事要后低实际么利率撑(名悄义利羊率传减去煌真实亦通货汉膨胀隙率粘)，鱼这可研以表章示为神：配然乖立嗽这庭(汪13各.叙2萌1)陪这里么是人煎们预督测通泳货膨信胀率侵时的距误差绩。钻如果连人们钢以最姻优的脸方式村形成谨通货即膨胀主率预集测，世那么易与自厦身的晶滞后秃值和脾事前抬实际胡利率贡是无踏关的从。因既此方桶程(嫩13荷.械20仗)和木方程泳(1必3.棉2剧1)景是鲜状态服空间奔模型夏，这随里锄，吩，怒，篇，摧，机。源状原态空悟间模答型框猜架的含另外获一个次有趣披例子尤是S锐to象ck筛和W狭as盲to拖n到(1狸99该1)蹄的研论究，抛他们啄假设迁存在欺表示婚经济炒周期洗状态滥的不坐可观倚测变己量那么。假售设耳是凭个可阴以观妖测的斧宏观率经济肺变量居，每奶个都加受到棵经济咐周期震的影酷响，震并且银具有员与弟中移蜜动不相相关胡的奇五异成颜分(塘表示吉为民)。山如果颜经济哨周期挎和每尘个奇原异成禾分可趁以利姓用一虏元少过程党描述榜，那么岸维状细态向料量是旷：苏解泄脆株寻将询筑澡(1祥3.算2妖2痕)笋该状默态变遣量具踢有的惧状态拣方程波为：德秋冤柏拐孕贷稿车存醋售漏(栗13弄.2届3辟)磨量测盆方程牧为：蔬众聪贯躬(交13早.2倡4攀)竞因此饿，参凝数弹描述粪第个i罚个序瞎列对你经济滤周期欠反响影的敏师感性染。为紫了出怪现和疤描述奶p阶阶动掀态性拍，S浑to奴ck菌和W唤as宣to宵n倘(1泻99肝1)设将方场程(妹13冲.2楚2英)中仓的音和枯替换秤为狱阶向怪量拌和简，这斯时逼是脏维向午量。促这时第方程兰(1乌3.并2椅3搜)中很的标膛量太需要床利用汽阶矩健阵替躁换，季该矩速阵结棕构与鲁方程清(1裁3.埋13完)类西似。射还需伙要在命量测轻方程斥(1仇3.帅24偿)中锦的列就中加闲入阶笋数为朝的零鹊子块磨。付§1货3.置2忍港卡尔勤曼丑滤波昆的推较导领卡尔新曼滤蚁波是圈估计疏状态崖空间浙模型存的重胡要方山法，良也是东应用尝广泛日的参坡数估举计方饿法。亏下面厕我们怜介绍就卡尔瓜曼滤雁波的搂有关史公式闯。激13稠.骄2责.1乎卡尔欧曼滤谜波的骨回忆较O涌ve禁rv哄ie耳w熟of裁t六he优K誓al礼ma据n钉Fi划lt拨er活考虑会上述记讨论戚的状燃态空合间模爱型的送一般玩形式仗，为迎了方侮便，知我们新将使启用的侍一些板关键征方程悉在这淘里重摸复表猾示如艳下：，订假设妈我们责已经静得到万了观旷测值先，冤；一岔个最伯终目完标是剂基于睬这些汗观测恭值估同计系牵统的街所有赴未知底参数拐。但伍是，复目前耽我们曾暂时轿假设帮参数娱矩阵绍的特行定数我值都想是确勒定性乒拴的。似如何恭估计肤这些图参数仪在后声面的计内容畏中讨原论。替卡尔塑曼滤蹲波具埋有多穷种应判用。兵它的样根本驶动因磁是作祖为一烛种计就算状鹿态向拢量基匆于时瞎刻柜t饼观测住到的忍数据廊进行咸最小肠二乘草预测刻的算幼法。观半证伴蜻(配13讲.2姿5)燥这里嚼：林这里玩表示叉基于暮和常躁数的悔线性粪投影测。卡走尔曼帽滤波萄是采怖用叠舞代算丙法计惠算这懂些预耗测的言，按蜂顺序让分别湿产生喊，透，锯……赢，柿。与毙这些幸预测遮有关橡的是伙均方枝误差劝矩阵易，可蝇以由犹一个治阶矩丈阵表退示：织魂贴括挎犹辽遥乖妙继径遮臣轿寻焰慧尊(医13杠.2算6)研13熔.段2育.商2鸣叠代部的开烘始鸽叠代祝首先寨从自开始碧，扩表示纺在没虽有最和胃观测原值的列根底俱上对挣的预站测。跨这就嫌是厘的无迟条件楼均值龙：种与此哈相关痛的M换SE映为：将例如墓，对谁系统烫的状副态空细间表形示，览状态顾向量桂为：裕这时欣有：，淘更一晶般地俯，如芒果矩街阵廉的特眼征根波都落默在单公位圆穷内，性那么状辨态方哄程表沟示的眠过程族是协兔方差怒平稳豆的。就因丽此，假设对状合态方症程两侧端取廉无条妨件数循学期装望，览可以义得到歪：腐由于岔过程海是协煤方差占平稳算的，堂那么有扒：浴由于级矩阵窜没有捞单位呢根，孙因此险矩阵惯是非脉奇异牙的，兽因此棵这个蛾方程勇存在鉴唯一恼零解刃，也撒就是割有：奉。那么胸的无测条件绩方差矩也可派以类诱似地狮得到姻，取三矩阵晃的转泻置并瑞取数隶学期偏望，仓可以楚得到谨(由芬于存但在正疑交性余，下师面的异交叉径项的极数学伴期望怪为零摇)议：态假设娃矩阵腐表示冤的协里方差分矩阵浴，那么级有：贸这个宰方程倡的解添可以够表示碰为：波因此霸，一忆般情凡况下坏，如拢果矩贼阵软的特虚征根辉都落悔在单承位圆蜂内，怒因此烛卡尔摩曼滤污波的环叠代士可以困从白和征开始议，这病里的裙表示矩成为翼列向购量可违以从玩下式们得到醉：穷如果取矩阵决的部款分特需征根煮落在游单位鼓圆上竞或者玉单位移圆外卖，或负者钻无法轨从状远态方卷程中川获得旷，这毅时讯可以桂利用港分析床者对陷初始婚的最蓬优猜秤测来君替代证，而生是归棍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