等腰三角形的性质

等腰三角形本课内容本节内容2.3义务教育教科书八年级上册湖南教育出版社第1课时等腰（边）三角形的性质等腰三角形情境引入定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰底边顶角底角底角思考：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?等腰三角形除了具有这些一般三角形的性质外，还有哪些特殊的性质呢？提出问题探究剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？ABCAB=AC等腰三角形折一折：△ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角

ACBDAB与AC

BD与CD

AD与AD∠B

与∠C.∠BAD

与∠CAD∠ADB与∠ADC等腰三角形是轴对称图形.

猜一猜：

由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？结论由此得到等腰三角形的性质定理：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.

等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).

几何语言：在△ABC中，∵

AB=AC

∴__________∠B=C结论

等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).（1）∵在△ABC中，

AB=AC,AD是角平分线，∴

⊥

，____=_____

（2）∵在△ABC中，

AB=AC,AD是中线，∴

⊥

，∴∠

=∠____（3）∵在△ABC中，AB=AC

,AD⊥BC，∴∠_____=∠______，_____=______

BAD

CADBAD

CADADBCADBCBDCDBD

CD(三线合一)(三线合一)(三线合一)1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形.

4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.XXXX√√判一判动脑筋因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而∠C=∠A=∠B.由三角形内角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.结论ABCABC问题

等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对称轴三条对称轴例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

在边BC上，且AD=AE.

求证：BD=CE.举例证明

作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．

如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？议一议在△

ABC中∵AB=AC,BD=CD∴AD⊥

BC（三线合一）∵AD

⊥

BC又A点在铅锤线上而铅锤线与水平线垂直∴BC处于水平位置练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度数.答：∠DPC=20°.小结与复习

本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?等边对等角：

。三线合一：

。等腰三角形的三个特殊性质：对称性：

。等边三角形的性质：

。作业：P66A2、3（2）设∠A=x,请把△ABC的内角和用含x的式子表示出来.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x

例1

如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°,ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.【变式题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.设∠C=x，则∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x.在△ABC中，根据三角形内角和定理得2x+x+26°+x=180°，解得x=38.5°.∴∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.例2

等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的底角的度数.解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．例3

如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB