自动控制理论基础课件5根轨迹

第五章线性系统的根轨迹法2021年6月28日2时17分1根轨迹的基本概念根轨迹的绘制规则广义根轨迹零度根轨迹系统性能分析本章重点2021年6月28日2时17分2根轨迹的概念、幅值条件、相角条件根轨迹的基本绘制规则等效传递函数的概念根轨迹的简单应用一、一个例子5.1根轨迹的基本概念一单位负反馈系统的开环传递函数为：kkgG

(s)=s(s

+

2)试分析该系统的特征方程的根随系统参数k

g的变化在S平面上的分布情况。例5-1系统的闭环特征方程：s2

+

2s

+

k

=

0g特征方程的根是：

s1,2

=

-1

–

1

-

k

g变化范围是〔0,∞﹚设k的g解2021年6月28日2时17分3当kg

=0

时,s1

=

0,

s2

=

-2当

0

<

kg

<

1

时,

s1与s2为不相等的两个负实根；当

kg

=

1时，

s1

=

s2

=

-1

为等实根；统参数k从0变到∞时，在S平面上变化的轨迹如图所示。1P2Pgk

=

0kg

=

0gk

=1Kg

fi

¥K

g

fi

¥jwsS

]当kg

>1

时，s1,2

=-1

–j该系统特征方程的根，随开环系2021年6月28日2时17分4kg

-1

共轭复根。性能二、根轨迹与系统性能2021年6月28日2时17分5稳定性当增益Kg由0→∞，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益。稳态性能

开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统,因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。动态性能当0

<kg

<1

时,所有闭环极点均位于实轴上,系统为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非振荡过程。当k

g

=1

时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非振荡过程。>1

时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统，当kg单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随Kg值的增加而加大，但调节时间不会有显著变化。设系统的开环传递函数为:kg为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)三、根轨迹的概念(

)gkk N

(s)GD(s)s

=其中:nj

=1N

(s)

=

(s

+

z

j

),nj

=1D(s)

=

(s

+

pj

)可得到系统的闭环特征方程式为:(

)(

)kgN

sD(s)1+G

s

=

0

1+

k=

0ning即：

N

(s)i

=1j

=1(s

+

z

)D(s)

=

k-

1

=(s

+

pj

)开环的零点开环的极点-zi-

pi2021年6月28日2时17分6根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：幅值条件:12021年6月28日2时17分7nnngkj

=1(s

+

zi

)(s

+

zi

)=

i

=1

=

i

=1

n(s

+

pj

)j

=1(s

+

pj

)相角条件:m

n—(s

+

zi

)-

—(s

+

pi

)

=

–(1+

2k)p,

k

=

0,1,

2,

3....i=1

j=1我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成:

凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程的根——即闭环极点。注：因为K

g

从0

fi

¥

变化，因此不论什么s值,总有一个

Kg存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条件可确定此时系统对应的Kg值。2021年6月28日2时17分85.2

根轨迹的绘制规则由根轨迹的幅值条件可知：12021年6月28日2时17分9mngkj

=1i=1s

+

z

j=s

+

pi当

kg

=

0

,必有

s

=

-pi

(i

=1,

2,,

n)此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，开环极点为根轨迹的起点。通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为普通根轨迹（或180°根轨迹），简称根轨迹。规则一 根轨迹的起点规则二 根轨迹的终点由根轨迹的幅值条件可知：零点(kg

fi

¥

)

。12021年6月28日2时17分10mngkj

=1i

=1s

+

z

j=s

+

pi此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），所以开环零点为根轨迹的终点。结论：根轨迹起始于开环极点(kg

=

0)

，终止于开环s

=

-z

j

(

j

=1,

2,,

m)当

kg

=¥

时，必有如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处。规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。由例5-1

看出，系统开环根轨迹增益k（g

实变量）与复变量

s有一一对应的关系。当kg

由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。2021年6月28日2时17分11规则四 实轴上的根轨迹2021年6月28日2时17分12即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分别为：

Nz

,

Npm

ni

=1

j=1则:

ai

-

bj

=Nzp

+Npp

=–(1

+2k)p规则五 渐近线n

m2021年6月28日2时17分13j

=1当开环极点数n大于开环零点数m时,系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条,且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置s

和与实轴正方向的交角j分别为:

pi

-

z

js

=

i

=1n

-

mn

-

m–

(2k

+

1)pj

=

,

(k

=

0,1,

2,,

n

-

m

-

1)kkg

(s

+

2)G

(s)=s2

(s

+1)(s

+

4)例5-2

已知系统的开环传递函数,试画出该系统根轨迹的渐近线。σ

=

-1

-

4

+

2

=

-1解1渐近线：系统有n=4,m=1,n-m=3三条渐近线与实轴交点位置为：实轴正方向的交角分别是3π

=

60 (k

=

0)5π

=

-60 (k

=

2)3π

=

180 (k

=

1)渐近线如图所示。-4-30ss-2

-13000B1800600C3jwA6002021年6月28日2时17分142021年6月28日2时17分15规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为:gF

(s)

=

kg

N

(s)

+

D(s)

=

(s

+

sd

)

(s

+

s

1

)(s

+

s

2

)(s

+

sn-g

)

=

0如果令)]dF

(s)ds

dsgd

1

2

n-g=

(s

+s

)

d

[(s

+s

)(s

+s

)(s

+sg-1+g(s

+sd

) [(s

+s1

)(s

+s2

)(s

+sn-g

)]

=

0即可求得dsdF

(s)

=

0K1

=¥K1

=

0K1

=¥K1

=

0K1

=¥K1

=¥会合点K1

=

02021年6月28日2时17分16K1

=

0故在重根处有:ggdF

(s)dsd

(k N

(s)

+

D(s))==

k N

'(s)

+

D

'(s)

=

0因为：gkN

(s)=-

D(s)dsD(s)N

(s)所以：

-N

'(s)

+

D

'(s)

=

0即：dkgdsN

2

(s)=-

D

'(s)

N

(s)

-

D(s)

N

'(s)分离点/会合点:和dsdF

(s)

=

0dkg2021年6月28日2时17分17ds=

0以上分析没有考虑kg

‡0

(且为实数)的约束条件，所以只有满足kg

‡0

的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。事实上，分离点还可由下式确定因为即其中即所以-1

1mni

j=s

+

zs

+

pi=1j

=1N

(s)

D(s)N

¢(s)

=

D¢(s)d

[ln

N

(s)]

=

d

[ln

D(s)]ds

dsN

(s)

=

(s

+

z1

)(s

+

z2

)(s

+

zm

)D(s)

=

(s

+

p1

)(s

+

p2

)(s

+

pn

)dsdsd

[ln

N

(s)]

=+1s

+

zmd

[ln

D(s)]

=+1

1s

+

z1

s

+

z21

1s

+

p1

s

+

p21s

+

pn+

++

+12021年6月28日2时17分181=i=1

s

+

zij

=1

s

+

pjmnD¢(s)N

(s)

-

D(s)N

¢(s)

=

0例5-3kkg绘制开环系统传函数为

G

(s)

=s(s

+

1)(s

+

2)的单位负反馈系统的(180°)根轨迹。

1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为：p1

=

0

p2

=

-1

p3

=

-22）渐近线：根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当

k

g

=

0分别从开环极点

p1、p2、p3出发，kg

fi

¥

时趋向无穷远处，其渐解渐近线与实轴的交点为00–

(2k

+

1)p近线夹角为：j

==

–60

,180n-

m(k

=

0,1,

2,,

n-

m-

1)n

m2021年6月28日2时17分19ijP

-

Zj

=1s

=

i

=1=

-1n

-

m由上式可求分离点必位于0至-1之间的线段上，故s1

=

-0.423

为分离点d的坐标。上式的根为

s1

=

-0.423s2

=

-1.577dkgds=

-(3s2

+

6s

+

2)求分离点：kg=

-(s3

+

3s2

+

2sjwsS0-1-

22021年6月28日2时17分202021年6月28日2时17分21规则七、根轨迹的出射角和入射角由相角条件可直接得到m

ni

=1j

=1

ai

-

b

j

=

–(1

+

2k

)pmnbj出射角:

b

=

p

+

ai

-i=1j=1,

j

„kmnijb入射角：a

=p

-a

+i=1,i„kj

=1ReIm0s1-

p1*-

p2-

p3-

p2b1b3bAa1-z1b22021年6月28日2时17分22规则八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用

s

=

jω代入特征方程可得kg

N

(s)

+

D(s)

|s=

jw

=

0令此方程中虚部为零，即可求得根轨迹与虚轴的交点处的频率为w

。用w

代入实部方程，即可求出系统开环根轨迹临界值kc。利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。2021年6月28日2时17分23规则九、根轨迹的走向当n-m≥2满足时，随着Kg增加，一些根轨迹分支向左方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。开环传递函数：特征方程：G(s)H

(s)

=2021年6月28日2时17分24kg

(s

-

z1

)(s

-

zm

)(s

-

p1

)(s

-

pn

)m

mmgi

mnnnjjz

sm

-1n-1j

=1j

=1k

(s

-=

i

=1

i

=1

s

-

p

s-

-

z

)-

-

pnnjj

=11

+

G(s)H

(s)

=

sn

-

p

sn-1

-

-

pjj

=1mmmggigmz

sm-1i

=1

i

=1-k

s

-

k-

-

k

zn当满足n-m≥2时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通常把

pi

/

n

称为极点的“重心”。j

=1当Kg变化时，极点的重心保持不变。所以，为了平衡“重心”的位置，当一部分根轨迹随着的增加向左方移动时，另一部分根轨迹将向右方移动。例K

*G(s)H

(s)

=s(s

-

p2

)(s

-

p3

)(s

-

p4

)ReIm0p1p2p3p42021年6月28日2时17分25规则十、根轨迹上kg值的计算根轨迹上任一点S1处的kg可由幅值条件来确定。即=1g1

1

1

mk

=s1

-

p1

s1

-

pn=G1

(s1

)H

(s1

)

s

-

z

s

-

zG1

(s1

)H(s1

)零点至s1所引向量长度的乘积2021年6月28日2时17分26G1

(s1

)H(s1

)极点至s1所引向量长度的乘积绘制根轨迹图的法则序号内

容规

则1起点终点起始于开环极点（含无限极点），终止于开环零点（含无限零点）。2分支数、对称性、连续性分支数等于开环传递函数的极点数n（n‡m），或开环传递函数的零点数m（m>n）。对称于实轴且具有连续性。3渐近线n

–

m条渐近线相交于实轴上的同一点：

(2k

+1)p坐标为：

p

倾角为：

ja

=n

mi

-

z

j

n

-

ms

=-

i=1

j

=1

k

=

0,1,

2,,

n

-

m

-1a

n

-

m4实轴上的分布实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数2021年6月28日2时17分27序号内容规

则5分离（会回合）点实轴上的分离（会合）点

d[G

(s)H

(s)]

dkg——（必要条件）

ds

=

0或

ds

=

0

1

1

6出射角入射角复极点处的出射角： 复零点处的入射角：m

n

n

mq

=180

(2k

+1)

+j

-

q

j

=180

(2k

+1)

+

q

-

ja

i

j

b

j

ii=1

j

=1

j

=1

i=1j

„a

i„b7虚轴交点满足特征方程

1+

G(

jw

)H

(

jw的)

=

0值；

jw由劳斯阵列求得（及kg相应的值）；8走向当

n

-

m

‡

2,

kg时fi

，¥

一些轨迹向右，则另一些将向左。9kg计算根轨迹上任一点处的kg：k

=

1

＝开环极点至向量s长度的乘积g

G

(s

)H

(s

)

开环零点至向量s长度的乘积1

1

1

12021年6月28日2时17分28解：开环极点：0、-3、-1+j、-1-j开环零点：-2，3个无限零点(1)渐近线：应有n-m=4-1=3条渐近线，渐近线的倾角：Kg

(s

+2)系统开环传递函数为

G(s)H(s)

=试绘制根轨迹图s(s

+3)(s2

+2s

+2)j

==–180

(2k

+1)n

-m–180

(2k

+1)3=

–60

,180渐近线与实轴的交点：s

=(p1

+p2

+p3

+p4)-z1

=0-3+(-1+

j)+(-1-

j)+2

=-1n-m

3(2)

实轴上的根轨迹：[0

-2]，[-∞

-3]例5-42021年6月28日2时17分29特征方程：所以q3

=180

-(135

+26.6

+90

)

+45

=-26.6同理不难求得极点-p4处的出射角：q4

=26.6(4)根轨迹与虚轴的交点：方法一：由特征方程求：s4

+

5s3

+8s2

+

6s

+

K

(s

+

2)

=

0gs

=

jw(w

4

-

8w

2

+

2K

)

+

j(-5w

3

+

(6

+

K

)w

)

=

0g

g(3)极点-p3的出射角q3：不难求得极点-p1、-p2、-p4到-p3的幅角分别

26.6

、135

、90

,有限零点-z1到－p3的幅角为

452021年6月28日2时17分30实部方程：解得：方法二：由劳斯阵列求：列出劳斯阵列令s1行为零，即得Kg=7，再根据行s2得辅助方程：w

4

-8w

2

+

2K

=

0g虚部方程：

-5w

3

+(6

+

k

)w

=

0gw3

=

-1.61w1

=

0(舍去)

w

2

=1.61Kg

=

7415ggggs8

2Kg2Ks3s2s1s02K6+K(34-K

)/5(204-22K

-K2)/(34-K

)g

g

g22021年6月28日2时17分31534

-

Kgs

+

2Kg

=

0w

=

–1.61g

g(204-22K

-K2

)

=0[S]0jωσ-32021年6月28日2时17分32-2-1-1+j-1-jM-filenum1=[1,2];

den1=[1,5,8,6,0];sys1=tf(num1,den1);

rlocus(sys1)Matlab绘制系统的根轨迹：2021年6月28日2时17分33解的根轨迹，确定:例5-6kg为何值系统非振荡稳定,振荡稳定,不稳定?求使系统具有cos

b

=0.707时的kg值。在该系统中增加一个怎样的环节,可使系统不论

kg怎样变化都稳定。为使系统对速度输入的稳态误差为零,加怎样的环节可使系统稳定。kkg绘制

G

(s)

=s(s

+

1)(s

+

5)(1)①分离点:dkgds=

3s2

+12s

+

5

=

03s

=-2

–7

=-0.48,-3.52

(舍)32021年6月28日2时17分34(2k

+1)p

1②渐近线:j

==

–

p,

-p,s

=

-2n

-

m③与虚轴交点:(

jw)3

+6(

jw)2

+5

jw

+k

=0gw

=

–

5kg

=

30④分离点处kg的值kg=

s(s

+1)(s

+

5)

|s=-0.48

=1.1281.128<kg

<30

振荡稳定由此可见:

0

<

kg

<1.128无振荡稳定

kgkg=30

临界稳定>30

不稳定(2)在解得:s=-0.45+j0.45,b

=0.707时,极点为:s

=

-s

+

js代入闭环特征方程:

s3

+

6s2

+

5s

+

k

|

=

0g s=-s

+

jskg

»

2.072021年6月28日2时17分35(一般a>0,d>0为好,是最小相位系统)(4)如果使系统速度输入误差为零,则系统应是II型的,那么从开环零,极点分布图上可见:应该附加两个零点,系统才可能完全稳定下来。渐近线:s

<

0,

a

+

d

<

6(3)增加一零点(s+a)有可能使系统完全稳定,此时渐近线:j

=

(2k

+1)p

=

–

1

ap

s

<

0a

£

6n

-

m

2否则,在

a

‡

6

时,根轨迹有可能与纵轴相交。jwSs-5

-

2

-1

036jwsS0-1-

2-52021年6月28日2时17分开环传递函数为：例5-7gkk

(s

+

a)G

(s)

=s(s

+

p)tg(

(s

+

jw

)

+

(s

+

p

+

jw

))

=

tg(1800

+

(s

+

a

+

jw

))绘制根轨迹,并证明有一段根轨迹为圆（a,p为实数)。解

根据相角条件可知：(—

s

+

—

(s

+

p))

=

1800

+

—

(s

+

a)令

s

=

s

+

jw

两边取正切变换：w

ww

+

ws

s

+

p

=

w

s

+

a1-s

s

+

p(s

+

a)2

+w

2

=

a2

-aps

2

+w

2

+

2s

a

+

ap

=

0a

22021年6月28日2时17分37-

ap圆心(-a，,0)半径下面验证半径是零点到分离点或汇合点的距离：分离点：由dkgds=0，得s2

+

2as

+

ap

=

02s1,2

=

-a

–

a

-

ap1(s

-(-a))2

=

a2

-

apjwsS0-1-

2例：a

=2，p

=12021年6月28日2时17分38例5-5kkg

(3s

+5G

(s)

=s(s

+3)(Ts

+1),绘制以T为参数的根轨迹。kg

=1设某系统的开环传递函数为：5.3广义根轨迹前面介绍的根轨迹绘制法则,只适用于以放大系数kg为参量的情况,如果变化参数为其它参数情况将如何处理？解2021年6月28日2时17分39根据根轨迹的定义,根轨迹是闭环极点随某个参量变化在s平面上留下的轨迹,故根轨迹上的点满足闭环特征方程： 3s

+

5

+1

=

0s(s

+

3)(Ts

+1)Ts2

(s

+

3)Gk

'(s)

=

s2

+

6s

+

5kg

(3s

+

5)Gk

(s)

=

s(s

+

3)(Ts

+1)具有相同的闭环特征方程,则随t从0

fi

¥

变化,其根轨迹是一样的,我们将具有相同闭环特征方程的开环传递函数称为相互等效的开环传递函数（简称为等效传递函数）。总有一种等效开环传递函数,可将变化参数位于放大系数的位置.这时就可利用前面的规则了。kgnum1=[1,3,0,0];den1=[1,6,5];sys1=tf(num1,den1);

rlocus(sys1)2021年6月28日2时17分40如果系统的开环传递函数的放大系数

k

为负,5.4

零度根轨迹前面讨论的根轨迹均是满足m

ni

=1

j

=1

—

(s

+

z

j

)-

—

(s

+

pj

)=

–(1

+

2k)p的相角条件,此根轨迹称为

180

根轨迹。设开环传递函数为：knjg

ii=1j

=1mk

(s

+

z

)G

(s)

=(s

+

p

)g其闭环特征方程为:minjkgi=1j

=1(s

+

z

)-

1

=(s

+

p

)对应的即是零度(0 )

根轨迹。相角条件为:m

ni=1

j

=1=

–2kp

(s

+

z

j

-

—

(s

+

p

j2021年6月28日2时17分41在绘制

0根轨迹时，只需在180

根轨迹的画法规则中，与相角条件有关的规则作相应的修改。规则四 实轴上的根轨迹实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为偶数，则此线段为根轨迹的一部分。规则五 渐近线渐近线与实轴的交点位置别为：n

m2021年6月28日2时17分42j

=1

pi

-

z

js

=

i=1n

-

mn-

mj

=

2kp

,

(k

=

0,1,

2,,

n-

m-1)s

和与实轴正方向的交角j分入射角：2021年6月28日2时17分43规则七、根轨迹的出射角和入射角由相角条件可直接得到:m

ni=1

j

=1ai

-

bj

=

2kp出射角:mnbjbk

=

ai

-i=1,j

=1,

j

„km

ni=1,i„kj

=1ak

=

-

ai

+

bj由修改后的规则四知，实轴上的根轨迹是由0至+∞线段和由-1至-2线段。由修改后的规则五知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是:0°(k=0)、120°(k=1)、-120°(k=2)。渐近线与实轴的交点为-1。已知正反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。s(s

+1)(s

+

2)G(s)H

(s)

=Kr例5-8解20