函数的单调性和最大小值

关于函数的单调性和最大小值第1页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三一、引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随x的增大，y的值有什么变化？x1-11y-1-1第2页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x)=x①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．2．f(x)=-2x+1①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．上升（-∞，+∞）增大下降（-∞，+∞）减小第3页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三3．f(x)=x2①在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．②在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．x…-4-3-2-101234…f(x)…16941014916…(-∞,0]减小（0，+∞）增大第4页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三y246810O-2x84121620246210141822D第5页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)图象在区间D逐渐上升？OxDy区间D内随着x的增大，y也增大x1x2f(x1)f(x2)MN第6页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升第7页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三对区间D内x1，x2

，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)xx1x2都yf(x1)f(x2)O设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.如果对于区间D上的任意当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<定义MN任意两个自变量的值x1,x2，D称为f(x)的单调增区间.

那么就说f(x)在区间D上是单调增函数，区间D内随着x的增大，y也增大图象在区间D逐渐上升D第8页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三

那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，D称为f(x)的单调减区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，设函数y=f(x)的定义域为I,区间DI.

如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，

那么就说在f(x)这个区间上是单调增

函数，D称为f(x)的单调区间.增当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1<x2时，都有f(x1)f(x2)，<>单调区间第9页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；③函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。第10页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三下列说法是否正确？请画图说明理由。（3）如果对于区间（0，+∞）上的任意x有f(x)>f(0),则函数在区间（0，+∞）上单调递增。（1）对于区间（a,b）上得某3个自变量的x1,x2,x3,当a<x1<x2<x3<b时，有f(a)<f(x1)<f(x2)<f(x3)<f(b),则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。（2）对于区间（a,b）上有无数个自变量的x1,x2,x3,…,xn,当a<x1<x2<…<xn<b时，有f(a)<f(x1)<f(x2)<…<f(xn)<f(b),则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。第11页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2．单调性与单调区间

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：(1)这个单调区间可以是整个定义域

如y=x在定义域上是增函数,y=-x是减函数(2)这个单调区间也可以是定义域的真子集

如y=x2在定义域上没有单调性,但在(-∞,0]是减函数,在[0,+∞)是增函数.(3)有的函数没有单调性区间第12页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三-5Ox

y12345-1-2-3-4123-1-2[例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,y＝f(x)是增函数还是减函数.（二）典型例题第13页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。单调区间之间必须用“，”隔开，或者用“和”连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，“且”连接。第14页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例2.指出下列函数的单调区间：

解：无单调减区间

无单调增区间归纳：函数的单调性单调增区间单调减区间k>0k<0yox22o4yx第15页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三归纳：函数的单调性_______;_______.例2.指出下列函数的单调区间：xyy=-x2+21-1122-1-2-2O思考2：函数的单调区间呢？

思考1：函数的单调区间呢？解：第16页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三单调增区间单调减区间

a>0

a<0的对称轴为第17页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三练习：判断函数的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递减区间：第18页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三成果运用若二次函数

在区间

上单调递增，求a的取值范围。

oxy1xy1o解：二次函数的对称轴为,由图象可知只要，即即可.

第19页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三若二次函数的单调增区间是,则a的取值情况是（）

变式1变式2请你说出一个单调减区间是的二次函数变式3请你说出一个在上单调递减的函数A.B.C.D.

第20页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三讨论函数在(-2,2)内的单调性.变式4解：f(x)的开头方向向上，对称轴是x=a，（1）当a≤-2时，f(x)在(-2,2)单调递增；（2）当-2<a<2时，f(x)在(-2,2)没有单调性，但是f(x)在（-2,a）单调递减，在(a,2)单调递增；（3）当a>2时，f(x)在(-2,2)单调递减。第21页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三变式5讨论函数f(x)=x2-2x+3在区间(a,a+3)上的单调性。第22页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例3.指出下列函数的单调区间：xyO思考1：思考2：函数的单调区间是什么？

的单调增区间是

归纳：在和上的单调性？_____________,解：没有单调增区间第23页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三单调增区间单调减区间

的单调区间，，第24页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差下结论第25页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三3．证明函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．第26页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三

例4、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)得V1V2>0,由V1<V2，得V2-V1>0又k>0,于是

所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论第27页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三☞判断函数在区间(0,1)上的单调性.解:设则f(x1)－f(x2)∵0＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴

f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函数在(0,1)上是减函数.第28页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三4.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,+∞)上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论.所以f(x)在(－∞,0)上是减函数第29页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例：已知函数f(x)是定义在（-∞，+∞）上的单调增函数，解不等式f(2x)<f(1+x)

例5变式例：已知函数f(x)是定义在（-1，1）上的单调增函数，解不等式f(2x)<f(1+x)

第30页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三练习1.已知函数f(x)是定义在[-1,2)上的增函数，若f(a-1)>f(1-3a)，求实数a的取值范围。第31页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三

是定义在R上的单调函数，且的图象过点A（0，2）和B（3，0）（1）解不等式（2）求适合的的取值范围变式第32页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三思考与讨论f(x)和g(x)都是区间D上的单调函数，那么f(x)和g(x)四则运算后在该区间D内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？第33页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三1.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则F(x)=f(x)+g(x)为增函数。2.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则F(x)=f(x)+g(x)为减函数。3.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则F(x)=f(x)-g(x)为增函数。4.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则F(x)=f(x)-g(x)为减函数。第34页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三1.已知函数f(x)

的定义域为R

，且对任意

，都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当

x>0时，f(x)<0恒成立，证明：函数

f(x)是

R上的减函数；证明抽象函数的单调性第35页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三三、归纳小结1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论2.直接利用初等函数的单调区间。第36页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三，则f(x)的单调递增区间是

提高性练习第37页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三第38页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三1.3.1单调性与最大（小）值------函数的最大（小）值第39页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三下列两个函数的图象：图1ox0xMyyxox0图2M观察观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？思考第40页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？思考f(x)≤Mƒ(0)=1O122、存在0，使得ƒ(0)=1.1、对任意的都有ƒ(x)≤1.1是此函数的最大值第41页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三知识要点M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.第42页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：（1）对于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimunvalue）.能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？思考第43页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；3.最大值和最小值统称为最值。第44页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三判断以下说法是否正确。2.设函数f(x)=1-x2，则f(x)≤2成立吗?f(x)的最大值是2吗？为什么？第45页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.

如果在函数f(x)定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有成立，由此你能得到什么结论？思考1思考2第46页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三探究:函数单调性与函数的最值的关系（1）若函数y=f(x)在区间[m，n](m<n)上单调递增，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy当x=m时，f(x)有最小值f(m)，当x=n时,f(x)有最大值f(n).第47页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？Oxy当x=m时，f(x)有最大值f(m)，当x=n时，f(x)有最小值f(n).第48页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三(3)若函数则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中较小者.第49页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例3

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度hm与时间ts之间的关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18

，那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）第50页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.第51页，讲稿共58页，2023年5月2日，星期三例3

求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则由于2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)