刚体定轴转动定律

关于刚体定轴转动定律第1页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三复习质点的角动量力矩角动量定理角动量守恒定律若第2页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三本章主要内容1刚体的运动2刚体的角动量3刚体受到的力矩4刚体定轴转动定律5刚体的动能定理6刚体的角动量守恒定律第3页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三6.1刚体的运动与描述质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点的情况是不够的。刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigidbody）。刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。第4页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三一、刚体的运动固联在刚体上的任一条直线，在各个时刻的位置始终保持彼此平行的运动，叫做刚体的平动。1.平动刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来代表刚体的运动。第5页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三2.转动如果刚体上所有各点绕同一直线（转轴）作圆周运动，则称为刚体的转动。

转动时，轴外各点在同一时间间隔内走过的弧长虽然不一样，但角位移全同。第6页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三固定转轴：转轴不随时间变化——刚体定轴转动瞬时转轴：转轴随时间变化——一般转动第7页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三3.刚体的一般运动例如，一个车轮的滚动，可以分解为车轮随着转轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心轴的转动（应用转动定律）。第8页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三一个汽车轮子在地上的滚动A、B、C、…各点的运动都不相同绕过o轴的转动oABCoo轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动＝平动＋转动平动：刚体上所有点运动状态都相同转动：各质元均作圆周运动第9页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三二.刚体平动的描述

刚体的平动可用质心运动来代表整体的运动1。质心的位矢设N个质点m1,m2,,mN，对应的位矢定义：质心的位矢质心重心第10页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三2。质心运动定理质心的速度：质心的加速度：设mi受力则：对所有质点求和：0——质心运动定理即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点，所受的力是质点系受的所有外力。注：质心上可能既无质量，又未受力。2第11页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三角位置θ角速度ω角加速度α·pro转动平面三.刚体（定轴）转动的角量描述第12页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三6.2刚体的定轴转动定律一.刚体定轴转动所受力矩力矩一般定义：此处即可是对某点也可是对某轴而言当刚体作定轴转动时，力矩就可以用标量来表示。oo习惯上把定轴用z表示力矩表示为第13页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三oo.P1）在垂直oo的平面内2）不在垂直oo的平面内oo.P对刚体绕oo轴转动无贡献计算力矩时只需考虑的力矩

总可分解成两个分量：5合外力矩第14页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三oo1。一个质点的情况

法向力对轴的矩为零切向力对轴的矩二.刚体定轴转动定律见右下平面图第15页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三（刚体类似于多质点系）设某刚体绕固定轴—Z轴转动Zmi取质量元mi，其到转轴的距离ri受力如图示，根据牛顿定律：各质元加速度不同，但角加速度相同用ri乘以上式：将所有质元相加：fifj0ro2。连续质量分布刚体的情况第16页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三定义——刚体对定轴（z轴）的转动惯量则有——定轴转动定律由与牛顿定律比较：或Jmm反映质点的平动惯性J反映刚体的转动惯性第17页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三3。理解注意是合外力矩这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因而不能改变刚体的角速度。这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例（1）（2）（3）第18页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三

质量连续分布质量离散分布对刚体定义—转动惯量单质点单位：kg∙m2─质量元─第i个质点的质量─到转轴的距离─到转轴的距离三.转动惯量及计算第19页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三质量为线分布质量为面分布质量为体分布、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布体分布面分布只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体才能用积分计算出刚体的转动惯量。第20页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三如图套两个质点的细杆长l，杆绕空端转动，分析整个系统绕o点的转动惯量。将两质点换位再作计算。解：普通物理学教案例题1：

o2m

m

由om2m结论：第21页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三J与刚体的质量分布有关J与转轴的位置有关因为质量分布是对转轴而言的，上例也可看作质心离转轴越远转动惯量越大。形状和转轴确定后，J与刚体的质量有关AlFe讨论影响转动惯量的因素第22页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三求长为L、质量为m的均匀细棒对端点轴和中垂轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题2：ABL/2L/2Cx取如图坐标取质量元ABLx第23页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：普通物理学教案例题3：取质量元Odm第24页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：普通物理学教案例题4：这样的一个圆盘可以视为半径不等的有宽度的圆环拼接而成。任取其中一环利用前例环的转动惯量结果Rrdr第25页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三内半径为R1外半径为R2质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题5：第26页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题6：在球面取一圆环带，半径第27页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量。解：普通物理学教案例题7：把球体看作无数个同心薄球壳的组合

第28页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三如图所示，滑轮半径为r。（设绳与滑轮间无相对滑动）①若m2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a及张力T1与T2；②若桌面光滑，再求。解：普通物理学教案例题8：力和力矩分析、方法1按隔离法建坐标对质点用牛顿定律对刚体用转动定律限制性条件第29页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三解得：若桌面光滑，摩擦力矩为零第30页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三解法2由系统角动量定理取m1、m2、J为系统外力矩系统的角动量（任一时刻）（对滑轮转轴）第31页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三由角动量定理由解得：再由牛顿定律可得张力。这也是定轴转动定律(整体分析方法)第32页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三一根均质细杆（m、L），一端可在竖直平面内自由转动。杆最初静止在水平位置，由此下摆角求角加速度和角速度。解：普通物理学教案例题9：odm∙gdm下摆过程重力矩做功以杆为对象取质元当杆处在下摆角时，该质量元所受重力对o点的矩为重力对整个棒的合力矩为：第33页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三代入转动定律，可得：代入转动动能定理第34页，讲稿共36页，2023年5月2日，星期三