分布函数及其基本性质

关于分布函数及其基本性质第1页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三

为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法，引进了分布函数的概念.

f(x)xo0.10.30.6kPK012第2页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三

———|——>x定义：设X是一个随机变量，称为X的分布函数.记作X～F(x)或FX(x).

如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间的概率.第3页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三说明X是随机变量,x是参变量。F(x)是随机变量X取值不大于

x的概率。由定义，对任意实数x1<x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1<Xx2

}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)第4页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三离散型随机变量分布函数的计算设离散型随机变量分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,…由概率的可列可加性得X的分布函数为F(x)=P{X≤x}=∑P{X≤xk}=∑pk这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和.第5页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例1，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解:第6页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三当1x<2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x>2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1第7页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三

不难看出，F(x)的图形是阶梯状的图形，在x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).第8页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三已知X的分布律为求X的分布函数，并画出它的图形。第9页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三-11230.250.51xF(x)F(x)的示意图第10页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三

引进分布函数F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。P（X<b）=F(b)P（a≤X<b）=F(b)-F(a)P（X≥b）=1-P（X<b）=1-F(b)P（a≤X<b）=P(X<b)-P(X<a)=F(b)-F(a)第11页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三例:设随机变量X的分布律为求X的分布函数,并求P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2},P{2≤X≤3}.解:由概率的有限可加性得即

P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4

P{3/2<X≤5/2}=F(5/2)-F(3/2)=3/4-1/4=1/2

P{2≤X≤3}=F(3)-F(2)+P{X=2}=1-1/4+1/2=3/4第12页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三解

(1)第13页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三(2)第14页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三分布函数的性质第15页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三试说明F(x)能否是某个随机变量的分布函数.例

设有函数F(x)解：

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.或者第16页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三

例在区间[0，a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求X

的分布函数.

解：设F(x)为X

的分布函数，当x<0时，F(x)=P(Xx)=00a当x>a时，F(x)=1第17页，讲稿共20页，2023年5月2日，星期三当0xa时，P(0Xx)=kx

(k为常数)由于P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a第18页，讲稿共20页，2023