初中数学三角形模块5-2等腰三角形讲义（含答案解析）

第二部分等腰三角形

题型练

题型一等腰三角形的性质

L等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角“）

2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高相互重合（简写成”等腰三角形三线

合一”）

例1.如图，在AZBC中，"8="C,。为8c的中点，/反1。=25。，则N8ZC的度数为

A.25°B.35℃,45°。.50°

【分析】

在△Z8C中，/8=/C,点。为8c的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得

答案.

【详解】

解：•.18=ZC,点。为8。的中点，

：./B4D=NC4D=25°,

二N8/C=50°,

故选：D.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

变式1

工.如图，中，ABAC^90°,AD1BC,乙48。的平分线8E交力。于点F,

4G平分ND4C.给出下列结论：①/BAD=NC；②NAEF=NAFE；

③NEBC=NC；©AG1EF.正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据同角的余角相等求出N8ZD=NC,再根据等角的余角相等可以求出

N4EF=/AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出AGVEF.

【详解】解：:NB4c=90。,AD±BC,

：.ZC+ZABC=90°,

/BAD+NABC=90°,

：.ZBAD=ZC,故①正确；

•.ME是N/5C的平分线，

二NABE=/CBE,

'：ZABE+ZAEF=90°,

NCBE+NBFD=90°,

：.NAEF=NBFD,

又,：/AFE=NBFD（对顶角相等），

AZAEF=ZAFE,故②正确；

•；NABE=NCBE,

二只有NC=30。时NE3C=NC,故③错误；

：NAEF=/AFE,

：.AE=AF,

,.7G平分ND/C,

：.AG±EF,故④正确.

综上所述，正确的结论是①②④.

故选：C.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角

相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之

间的关系是解题的关键.

题型二等腰三角形的判定

定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形

判定定理；在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称；等角

对等边）

例2.如图，在AZBC中，NZ8C和乙4cB的角平分线交于点E，过点£作出〃8。交48

于点“，交AC于点、N.若BM=2,CN=3,则脑V的长为（）

4108.5.5C.6D.5

【分析】

由平行线的性质，得出NMEB=NCBE,NNEC=NBCE,再由角平分线定义得出

ZEBC,ZNCE=ZBCE,证出NE=NC,即可求得MV的长.

【详解】

解：'JMN//BC,

:.NMEB=NCBE,NNEC=NBCE,

•.,在△Z8C中，/48C和N/C8的平分线交于点E,

NMBE=NEBC,乙NCE=NBCE,

：.NMEB=NMBE,NNEC=ZNCE,

:.ME=MB,NE=NC,

MN=ME+NE=BM+CN=2+3=5,

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识;熟练掌握等腰三角形的判定是解题

的关键.

变式2

2.如图，在AZBC中，/8=25。,乙4=100。，点尸在的三边上运动，当

△R4C成为等腰三角形时，其顶角的度数是

【答案】100。或55。或70。

【解析】

【分析】作出图形，然后分点P在AB上与BC上两种情况讨论求解.

【详解】解：①如图1,点P在AB上时，AP=AC,顶角为NA=100。,

②•.•NABC=25°,ZBAC=100°,

二ZACB=180°-25°-100°=55°,

如图2,点P在BC上时，若AC=PC,顶角为NACB=55。，

如图3,若AC=AP,则顶角为NCAP=180O-2NACB=180O-2x55o=70。，

综上所述，顶角为105。或55。或70。.

故答案为：100°或55。或70。.

图3

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更

形象直观.

题型三等边三角形的性质

1.等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，且均为60。

2.等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合(三线合一)

3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分

线所在的直线

4.等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质

例3.如图所示，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，则图中N1+N2的度

4180。A220℃.240°D300°

C

【分析】

由等边三角形的性质及四边形的内角和为360°可求得Nl+N2=240°.

【详解】

由等边三角形可知：

.,.Zl+Z2=360°-(ZJ+ZS)=360°-120°=240°.

故选：C.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质，关键是利用了：1、四边形内角和为360。；2、等边三角形的

内角均为60°.

变式3

3.如图，点0在等边三角形N8C内部，AD=AE,若的△应1G则需添加一

个条件：_______

【答案】NDAB=ZEAC或NEAD=60°或ZCAB=NEAD或BD=CE等

【解析】

【分析】根据等边三角形三边相等，三个内角都为60。，及全等三角形的判定定理

解题即可.

【详解】解：在等边三角形Z8C中，AB=AC

AD=AE

需添加NDAB=NEAC,可得到△力的△£4C；

或添加NE4Z）=60。，可得ND4B=NE4C,

可得到△如的△£4G

或添加NC45=N"O,可得ND4B=NE4C,

可得到△24胎△防G

或DB=CE,可得到△以的△E1G

故答案为：NDAB=ZEAC或ZEAD=60°或ZCAB=/LEAD或BD=CE等.

【点睛】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，是重要考点，难

度较易，掌握相关知识是解题关键.

题型四等边三角形的判定

1.三边相等的三角形是等边三角形（定义）

2.三个内角都相等的三角形是等边三角形

3.有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形

例4.下列条件中，不能得到等边三角形的是（）

4有两个内角是60°的三角形

B.有两边相等且是轴对称图形的三角形

C.三边都相等的三角形

D.有一个角是60。且是轴对称图形的三角形

B

【分析】

根据等边三角形的判定解题.

【详解】

解：A、两个内角为60°,根据三角形的内角和为180°,可知另一个内角也为60。，所以该

三角形为等边三角形.故不符合题意；

8、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件,

所以不能确定该三角形是等边三角形.故符合题意；

C、三边都相等的三角形当然是等边三角形.故不符合题意；

。、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是60。，有两边相等且一角为60°的

三角形是等边三角形.故不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查等边三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

变式4

4.如图，在中，/6=4。，点E在C4延长线上，EP18C于点P,交AB

于点尸，若CE=10,AF=3,则BE的长度为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据等边对等角得出N8=NC,再根据得出NC+NE=90。，

ZB+ZBFP=90°,从而得出NE=NBFP,再根据对顶角相等得出最后

根据等角对等边即可得出答案.

【详解】证明：在△ZBC中，

":AB=AC,

：.ZB=ZC,

■:EPLBC,

.•.NC+NE=90。，NB+NBFP=9Q。,

：.ZE=ZBFP,

又：NBFP=NAFE,

：.ZE=ZAFE,

：.AF=AE=3,

.•.△ZE/是等腰三角形.

又•..CE=10,

：.CA=AB=1,

:.BF=AB-AF=7-3=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明NE=NZFE,注

意等边对等角，以及等角对等边的使用.

题型五含30°角的直角三角形

1.在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

2.在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°

例5.如图，在A48c中，AB=BC,N/8C=120°,过点8作8Z）_L8C,若4D=1,CD

的长度为（）

A.IS.2.5C.2D.3

C

【分析】

由8O_L8C,推出NC8Q=90°,所以120°-90°=30°,由

AB=BC,N4BC=120°，推出/4=/C=30°，所以NA=NABD,DB=AD=1,在RtACBD

中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，进而得出CD=28O=2.

【详解】

解：

：.ZCBD=90°,

:.N4BD=N4BC-NCBD=120°-90°=30°,

,:AB=BC,N/3C=120°,

.*./Z=/C=30°,

NA=NABD,

：.DB=AD=\,

在放△CB。中，

VZC=30°,

：.CD=2BD=2

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质，以及含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角

三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

变式5

5为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已

知,8=10米，8c=15米，ZS=150°,这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种

草皮需（）元.

【解析】

【分析】作四边的高C£>,设与N8的延长线交于点。，则NQ8C=30。，由8C=

15米，即可求出CD=15米，然后根据三角形的面积公式即可推出A/BC的面积,

最后根据每平方米的售价即可推出结果.

【详解】解：如图，作川边的高。，设与N8的延长线交于点

D

：.ZDBC=30°,

■:CDLBD,8c=15米，

8=7.5米，

7^=10米，

•••SA“8C=；/8XCO=；x10x7.5=37.5（平方米），

•••每平方米售价2a元，

♦,•购头这种草皮至少为37.5x2〃=75a（7匕），

故选：A.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，解题关

键在于做出AB边上的高，并利用含30度角的直角三角形的性质求出高CD的长度.

题型六角平分线的性质

定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个

角的角平分线.

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

例6.如图，在4/台。中，乙4c8=90。,8。平分乙43。，且Z8=9,8C=6,8=2,

则△NBC的面积是（）

49B.12C.15D.18

c

【分析】

作。根据角平分线的性质得到。E=8=2,再根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】

如图，作。

,/NACB=90°,BD平分ZABC,

:.DE=CD=2

,1,11,1

••,S“BC=SAABD+SADBC=-4BXDE+—BCXCD=-X9X2+-><6X2=15

2222

故选C.

【点睛】

此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知角平分线的性质.

变式6

6.如图，已知在△ZBC中，8。是NC边上的高线，CE平分N4CB,交BD于点E,

BC=5,DE=2,则的面积等于（）

A.10B.7C.5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】作石尸_LBC于尸，根据角平分线的性质定理得到EE=OE=2,根据三角

形面积公式计算即可.

【详解】解：作所_L8C于

•••CE平分4c8,EF1BC,EDLAC,

EF=DE=2,

：.ABCE的面积=；x8CxM=5.

故选：C.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离

相等是解题的关键.

题型七角平分线的判定

判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上

角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合

例7.在中，AB=BC,两个完全一样的三角尺按如图所示摆放.它们一组较短的

直角边分别在N8,8C上，另一组较长的对应边的顶点重合于点P,BP交边4c于点、D,

则下列结论错误的是（）

4BP平分N4BCB.AD=DC

C.BD垂直平分ACD.AB=2AD

D

【分析】

先根据角平分线的判定定理得到5P平分N/8C,再根据等腰三角形三线合一的性质得到/O

=DC,8。垂直平分ZC,进而即可求解.

【详解】

由题意得，PE±AB,PF1BC,PE=PF,

：.BP平分NABC,

'：AB=BC,

：.AD=DC,8。垂直平分ZC,

故选项AB、C正确，不符合题意；

只有当△/BC是等边三角形时，才能得出N8=MZ）,

故选项。错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关

键.也考查了等腰三角形的性质.

变式7

7.如图，已知AB=AC,BE_LAC于点E,CF_LAB于点F,BE与CF交于点D,

则下列结论中错误的是（）

C.点D是BE的中点D.点D在NBAC的平分线上

【答案】C

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案.做题时，要

结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证.

【详解】解：A、♦；AB=AC,BE1AC于E,CF1AB于F,ZA=ZA.*.AABE^AACF

（AAS）,正确；

BVAABE^AACF,AB=ACABF=CE,ZB=ZC,

ZDFB=ZDEC=90°.\ABDF^ACDE（AAS）,正确；

C、无法判定，错误；

D、VAABE^AACF,AB=AC.*.BF=CE,ZB=ZC,ZDFB=ZDEC=90°DF=DE

故点D在NBAC的平分线上，正确；

故选：C.

【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS、SSA、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全

等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

题型八垂直平分线的性质

定义：经过某一条线段的中点，并且垂宜于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又

称“中垂线”

（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段；

<2）垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等

例&如图，在△ZBC中，ZACB=90°,NB=15°,OE垂直平分45,交BC于点、E,AC

=2,则的值是（）

A.48.5C.6D.8

A

【分析】

由垂直平分线的性质，得4E=BE,然后求出N/EC=30°,则求出/E=4,由三角形的面

积公式，即可求出答案.

【详解】

解：根据题意，

：。£：垂直平分/8,

：.AE=BE,

：.ZEAD=ZB=150,

AZAEC=\5°+15°=30°,

•.•在△/<?£；中，ZACE=90°,

：.AE=2AC^2X2=4,

：.BE=4,

S/\ABE~—BE,AC——x4x2=4；

22

故选：A.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质，30度直角三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键

是熟练所学的知识，正确的进行解题.

变式8

8.如图，在AABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点，EC=3,AABC

的周长为21,则AABD的周长为（）

C.16D.17

【答案】8

【解析】

【分析】根据垂直平分线的性质计算即可;

【详解】•••》£是线段AC的垂直平分线，

:.AD=CD,AE=EC,

：.AC=6,

VAABC的周长为21,

AB+AC+BC^2l,

：.AB+BC=\5,

：.△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=15,

故答案选B.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键.

题型九垂直平分线的判定

定义法：垂直且平分某一条线段的直线是这条线段的垂直平分线；

判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合

例9.如图，中，边AB,8C的垂直平分线交于点P.

(2)点尸是否也在边力C的垂直平分线上？请说明理由.

(1)见解析；(2)在，理由见解析

【分析】

(1)根据线段的垂直平分线的性质可求得，PA=PB,PB=PC,则以=P8=PC.

(2)根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边/C的垂直平分线上.

【详解】

解：(1)证明：•.•边/8、8c的垂直平分线交于点P,

:.PA=PB,PB=PC.

:.PA=PB=PC.

(2)'：PA=PC,

.•.点P在边AC的垂直平分线上.

【点睛】

此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段

的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平

分线上.

变式9

Q.已知：如图，点P在线段45外，且P4=PB,求证：点尸在线段N8的垂直平

分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是.

①作NAPB的平分线PC交N5于点C

②过点P作尸于点C且ZC=8C

③取N8中点C,连接PC

④过点P作尸垂足为C

【答案】①③④

【解析】

【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可二

【详解】解：①、利用S/S判断出0△PC8,

CA=CB,ZPCA=NPCB=90°,

点尸在线段的垂直平分线上，故正确；

②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；

③、利用SSS判断出4g△PC8,

ZPCA=ZPCB=90°,

...点P在线段的垂直平分线上，故正确；

④、利用HL判断出APCAgXPCB,

：.CA=CB,

.•.点P在线段的垂直平分线上，故正确；

故答案为：①③④.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全

等三角形的判断方法是解本题的关键.

实战练

W.已知等腰A/8C的一个角是40。，则这个三角形的其余两个角为一

【答案】70°,70。或40。，100。

【解析】

【分析】分40。角是顶角与底角两种情况讨论求解即可.

【详解】解：①40。角是顶角时，底角=；(180°-40°)=yxi400=70°,

另两个角为70。,70°；

②40。角是底角时，顶角为180。-40。乂2=100。，

另两个角为40。，100。，

所以,另两个角度数为70。，70°或40°,100°.

故答案为：70°,70。或40。，100°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论.

il.如图，在aABC中，NA=30。，AB=AC=6,则AABC的面积为()

A.2B.3C.4D.9

【答案】P

【解析】

【分析】作CDLAB于D,根据直角三角形的性质求出CD,根据三角形的面积公

式计算即可.

【详解】解：作CD1_AB于D,AC=AB=4,

在RtAACD中，ZA=30°,

CD=—AC=3,

2

ZkABC的面积=—AB,CD=—x3、6=9,

22

故选D.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30。角所对的直角

边等于斜边的一半是解题的关键.

12.如图，A,D,C,8在同一条直线上，DF交EC于点M,AC=BD,NA=NB,

AF=BE.

(1)求证："DFABCE.

(2)若N8=32。，ZF=28°,试判断VCOM的形状，并说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)VC0M是等边三角形，见解析

【解析】

【详解】解：(1)证明：•••4。=8。，

工AD=BC.

在“DF和中，

AF=BE,

-NN=NB,

AD=BC,

：.&ADF知BCE.

(2)VCDM是等边三角形，理由如下：

,："DF知BCE,ZB=32°,/尸=28°,

；.NE=NF=28。,ZA=ZB=32°,

：.ZMCD=NB+NE=32°+28°=60°,

ZMDC=ZA+ZF=320+280^60°,

ZMCD=ZMDC,

MD=MC

：.VCZ>M是等边三角形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，正确找出判定

全等三角形的条件是解题的关键.

13.如图，在△工台。中，。为8C的中点，DELAB,DFLAC,垂足分别为E,

F,且BE=CF,/BDE=30°，求证：A/BC是等边三角形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】用HL证ABEDmACFD,得出N8=NC,再证N8=60。即可.

【详解】证明：DF1AC,

：.NBED=/CFD=90。,

在RtABED和RtACFD中，

DB=CD

BE=CF，

:.RtABEDQRtACFD,

：.NB=NC,

:.AB=AC,

•//BDE=30°，

，ZB=60°,

△NBC是等边三角形.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟

练运用直角三角形的全等判定定理证明等腰，再依据等边三角形的判定进行证明.

14.如图，在△Z8C中NNC8=90。，AC=BC=4,△/CQ是等边三角形，连接8D,

则△BCD的面积是

【答案】4

【解析】

【分析】求得△8CO的边8c上的高，用面积公式求解.

【详解】如下图所示：

过。作力C的垂线，垂足为£

,/ZACB=90°

：.ABCD的边BC上的高等于CE；

•••△ZCO是等边三角形

：.AD=CD

XDELAC,AC=4

EC=—24C=—X4=2；

22

又5c=4

SzA-iRovCx-/、=—2BC-EC=—2x4x2=4.

答案为：4.

【点睛】此题考查了正三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识，本题

中发现△BCD的边8c上的高等于的一半是关键.

15.如图，在用△力8c中，4c8=90。，BC=3,4B=5,角平分线交于

点。，则点。到ZC的距离是（）

D.3

【答案】A

【解析】

【分析】作于E,作。P_L8C于「根据勾股定理可求NC,根据角平分线

的性质可得DE=DF,再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】解：作。及L/C于E,作于R

在中，AC=y]AB2-BC2=752-32=4-

是角平分线,

：.DE=DF,

：.-AC-DE+-BC-DF=-AC-BC,gp-x4xD^+-x3x^=1x4x3,

222222

12

解得。E专.

12

故点。到ZC的距离是l.

故选：A.

【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一

个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性

质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

16.如图，直线/|、/2、/3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求

它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

【答案】P

【解析】

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，分点尸在三条公路相交的三

角形地带和地带之外作出图形即可得解.

【详解】解：如图，作直线八、/2、，3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，

外角平分线相交于点尸2、尸3、P4,内角平分线相交于点P,根据角平分线的性质可

得到这4个点到三条公路的距离分别相等.

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解

题的关键.

17.如图，在A/BC中，分别为8C,ZC边上的高，相

交于点尸，连接C77,则下列结论：®BF=AC；②NFCD=NDAC；③“，48；

④若BF=2EC,则△EDC周长等于的长.其中正确的有()

A.①②B.①③④C.①③D.②③④

【答案】8

【解析】

【分析】证明△BO尸也△ZOC,可判断①；求出NFCQ=45。，ND4c<45。，延长

CF交AB于H,证明NNHC=N/BC+NFCD=90。，可判断③；根据①可以得到E是

/C的中点，然后可以推出ER是，C的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质

可判断④.

【详解】解：•.•△Z8C中，AD,BE分别为BC、ZC边上的高，ZABC=45°,

：.AD=BD,ZDAC和4FBD都是NZCD的余角，

而N/D3=NZDC=90。，

:./\BDF咨AADC(ASA),

：.BF=AC,FD=CD,故①正确，

/FDC=90°,

NDFC=NFCD=45。,

•：ZDAC=ZDBF<ZABC=45°,

：.ZFCD/ZDAC,故②错误；

延长CR交于H,

VZABC=45°,NFCD=45。,

，ZAHC=ZABC+/FCD=90°,

：.CH1AB,

即CF±AB,故③正确；

'：BF=2EC,BF=AC,

：.AC=2EC,

AE=EC=—AC,

2

\'BELAC,

.•.8£垂直平分4C,

：.AF=CF,BA=BC,

：.AFDC的周长=/Y）+RC+OC

=FD+AF+DC

=AD+DC

=BD+DC

=BC

=AB,

即△ROC的周长等于故④正确，

综上：①③④正确，

故选B.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质

与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较

高.<

18.如图，在中，NZ6C,44c8的平分线相交于点£48,8。边的垂直平

分线相交于点。.若N6EC=120。，则N80C的度数为（）

A.150°B.130°C.127°D.120°

【答案】P

【解析】

【分析】由N8EC=120。，可求NE8C+NECB=60。，由BE,CEZABC,Z.ACB,

可得ZABC=2ZEBC,ZACB=2ZECB,可求

ZABC+ZACB=2(ZEBC+ZECB)=120°,可得

ZBAC=\S00-(ZABC+ZACB)=60°,由边的垂直平分线相交于点O.可

得AD=BD=CD,可得乙4BD=ABAD,NDAC=NDCA,可求ZADB=180°-2NDAB,

ZADC=1800-2ZDAC,可得ZADB+ZADC240°,可求

ZBDC=360-(乙408+4OC)=120°.

【详解】解：•.•/BEC=120。

二ZEBC+ZECB=\80°-ZBEC=180°-l20°=60°,

,:BE,CE分别乙48C,N4CB,

/./ABC=2ZEBC,Z.ACB=2NECB

NABC+ZACB=2(ZEBC+/EC8)=2x60。=120°

ZBAC=\S00-(ZABC+ZACB)=6Q°

•••ZB,8C边的垂直平分线相交于点D.

：.AD=BD=CD,

：.ZABD=ABAD,NDAC=ZDCA,

ZADB=180°-/ABD-/BAD=180。-2ZDAB,

ZADC=180°-NDAC-ZACD=\SQ°-2ZDAC,

ZADB+ZADC=180。-2NDAB+180°-2ZDAC=360°-2(NDAB+DAC)=360°-120。=240°

ZBDC=360-(NADB+ZADC)=360°-240°=120°,

故选择：D.

【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角，掌握三角形

内角和，角平分线，线段垂直平分线，周角是解题关键.

29.在中，AB=AC,8c于点Z）.

（1）尺规作图：作边的垂直平分线EF分别与线段/仄/C,交于点E、F,

G,（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接8G、CG,若*G=1,NB4c=45°,求的面积.

【答案】（1）作图见详解；（2）SABGC=y.

【解析】

【分析】（1）以/、8两点为圆心，大于1为半径画弧，两弧交于两点，过两弧

的交点作直线EE，交于E,交4c于F,交/。于G,则直线E/7为48的垂直

平分线；

（2）由8c于点O,可得NO为8C的垂直平分线，由所为Z8的

垂直平分线，可得点G为^ABC的外接圆的圆心，作以点G为圆心，AG为半径作

辅助圆，可得AG=BG=CG=1,由NA4c=45。，圆周角定理得N8GC=2N5/C=

x

245°=90°，可求SABGC=—BGxCG——x1x1=—.

222

【详解】解：（1）以4、8两点为圆心，大于1N8为半径画弧，两弧交于两点，过

两弧的交点作直线ER交力B于E,交ZC于F交力。于G,则直线所为“8的

垂直平分线；