2022-2023学年河南省商丘市第十五中学高三数学理期末试题含解析

2022-2023学年河南省商丘市第十五中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是

参考答案：D因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。2.在等比数列中，，则的值（

）A.

3

B.

9

C.

D.参考答案：B3.若，则a等于A．－1

B．1

C．2

D．4参考答案：B4.直线ax+by-a=0与圆x2+y2-2x-2=0的图象可能是参考答案：C5.函数的零点个数为(

)A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B6.复数（是虚数单位）的虚部为A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知集合，函数的定义域为集合B，则A∩B=（）A.[－2,1] B.[－2,1) C.[1,3] D.(1,3]参考答案：B【分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.故选B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．8.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为

A.

B.

C.2

D.4参考答案：B9.若的导数为,且满足则与的大小关系是（）

A．

B．C．

D．不能确定参考答案：A10.函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}是等比数列，若，则a10=

．参考答案：96考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知求得等比数列的公比的3次方，然后代入等比数列的通项公式求得a10．解答： 解：在等比数列{an}中，由，得，∴．故答案为：96．点评：本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．12.已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是______．参考答案：试题分析：，，，，存在两项使得，，，，，比较可得当时，有最小值为.考点：基本不等式；等比数列的通项.【易错点睛】本题考查了基本不等式；等比数列的通项.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．13.若，则=_________________参考答案：分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．详解：由已知，∴．故答案为．点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．14.解集为．参考答案：15.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于两点，则的周长为

；若两点的坐标分别为和，且的面积是4，则的值为

．参考答案：16,16.在的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P=

。参考答案：17.①三角形纸片内有1个点，连同三角形的顶点共4个点，其中任意三点都不共线，以这4个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为3个；②三角形纸片内有2个点，连同三角形的顶点共5个点，其中任意三点都不共线，以这5个点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，可得小三角形个数为5个，……以此类推：三角形纸片内有15个点，连同三角形的顶点共18个点，若其中任意三点都不共线，以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的小三角形个数为

个。（用数字作答）参考答案：31略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（I）当时，解不等式；（II）若的解集为，（，），求证：.参考答案：（I）当时，不等式化为∵∴不等式的解集为（II）根据得∵的解集为故，所以，∵，∴，当且仅当，时取等号∴本答案仅供参考，如有其他解法，酌情给分。19.设数列{an}的前n项和为Sn，且对n∈N*都有Sn=2an+n﹣4（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn=，（n∈N*）求数列{bn}的前n项和为Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推公式化为：an=2an﹣1﹣1，变形为an﹣1=2（an﹣1﹣1），即可证明．（2）由（1）可知：an﹣1=2n，即an=2n+1．可得bn==，利用“裂项求和”即可得出．【解答】（1）证明：∵对n∈N*都有Sn=2an+n﹣4，∴当n=1时，a1=2a1﹣3，解得a1=3．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣4﹣[2an﹣1+（n﹣1）﹣4]=2an﹣2an﹣1+1，化为an=2an﹣1﹣1，变形为an﹣1=2（an﹣1﹣1），∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为2，公比为2，（2）解：由（1）可知：an﹣1=2n，即an=2n+1．∴bn===，（n∈N*）∴数列{bn}的前n项和为Tn=+…+=1﹣=．．【点评】本题考查了“裂项求和”、等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.如图1，在直角梯形中，为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.参考答案：解：（1）在图1中，可得，从而，故，取中点连结,则，又面面，面面面，从而平面，∴，又，∴平面，故平面平面；（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，，设为面的法向量，则即，解得，令，可得，又为面的一个法向量，∴，∴二面角的余弦值为.

21.（本小题满分14分）已知锐角中的三个内角分别为．

⑴设，求证是等腰三角形；⑵设向量,，且∥,若，求的值．参考答案：22.已知函数f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ex，其中e是自然对数的底数．（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）?x1∈[0，]，?x2∈[0，]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x＞﹣1，求证：f（x）﹣g（x）＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；导数的运算．【分析】（1）利用导数得到函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f（x）在[0，]上单调递增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函数g（x）在[0，]上单调递减，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出实数m的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点A（sinx，cosx）与点B（﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明．【解答】解：（1）函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：∵f（x）=exsinx﹣cosx，∴f′（x）=ex（sinx+cosx）+sinx，∵x∈（0，），∴f′（x）＞0，∴函数y=f（x）在（0，）上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1．（2）∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥[m﹣g（x2）]min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，当x∈[0，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上单调递增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣ex，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣ex，∵x∈[0，]，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0，ex≥，∴g′（x）≤0，∴函数g（x）在[0，]上单调递减，∴g（x）max≥g（0）=，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]；（3）x＞﹣1，要证：f（x）﹣g（x）＞0，只要证f（x）＞g（x），只要证exsinx﹣cosx＞xcosx﹣ex，只要证ex（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证＞，下面证明x＞﹣1时，不等式＞成立，令h（x）=，x＞﹣1，∴h′（x）=，x＞﹣1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，