2023学年完整公开课版因数和倍数

因数与倍数义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册利通二小吴金萍地位数论是数学的一个分支，是研究整数性质的一门学问，以严格、简洁、抽象著称。数学是“科学的皇后”，而“数论”则是“数学的皇后”，由此可见数论在数学中的地位。性质数的整除性理论是数论最基本的理论，对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使b=na+r(其中r﹤a),当r=0时,我们就说b能被a整除（或a能整除b），此时b=na。本单元所有概念都是建立在数的整除性的基础之上的。作用本单元涉及到的因数、倍数、质数、合数及第四单元中的最大公因数、最小公倍数均属于初等数论的基本内容。通过学习，可进一步丰富学生有关整数的知识，有助于发展学生的抽象思维。

以往教材把约数（因数），倍数，能被2、5、3整除的数的特征，质数，合数，分解质因数，最大公约数（最大公因数），最小公倍数等内容集中编排在一个单元，主要是为了突显上述概念的紧密逻辑关系，但也易形成同一单元概念多且集中，抽象程度高的现象，造成学生学习时概念混淆、理解困难的问题。历来是小学数学概念教学难点之一。除法除不尽除尽整除约数倍数能被2、5、3整除的数的特征公约数公倍数最大公约数最小公倍数1质数合数质因数分解质因数非0自然数约数的个数互质数是互质数的五种特殊情形短除法（分解质因数法）缩数法辗转相除法特殊数的最大公约数特殊数的最小公倍数短除法（分解质因数法）扩数法偶数奇数能被4、25整除的数的特征能被8、125整除的数的特征能被9整除的数的特征非零自然数的分类非零自然数的分类九义教材数的整除内容结构安排因数与倍数因数与倍数质数和合数2、5、3的倍数的特征

因数和倍数的概念（p12页主题图）一个数的因数的求法（例1）一个数的因数的特点（p13页做一做）一个数的倍数的求法（例2）一个数的倍数的特点（p14页做一做2题）2的倍数的特征（p17页及做一做）5的倍数的特征（p18页及做一做）3的倍数的特征（p19页及做一做）P15~16页练习二1~6题奇数偶数P20~22页练习三1~10题质数和合数的概念（p23页及做一做）找100以内的质数P25~26页练习四1~5题人教版实验教材内容结构安排和九义教材相比，实验教材按《课程标准》的要求做了如下调整1.不再出现“整除”概念，直接从乘法算式引出因数和倍数的概念。2.不再正式教学“分解质因数”，只作为阅读性材料进行介绍。3.公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数移至“分数的意义和性质”单元，作为约分和通分的知识基础，更突出其应用性。通过四年多的学习，学生已经掌握了大量的整数知识（包括整数的认识，整数四则运算）。本单元在已有知识基础上进一步探索整数的性质。教学目标1．使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。2．使学生通过自主探索，掌握2、5、3的倍数的特征。3．逐步培养学生的数学抽象能力。过去：用b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除。现在：用na=b直接引出因数和倍数的概念。（1）用2×6＝12给出因数和倍数的概念。（2）用3×4＝12进一步巩固上述概念。（3）让学生利用因数和倍数的概念自主发现12的其他因数。（4）可引导学生利用一般的乘法算式a×b=c归纳出因数和倍数的概念。（5）说明本单元的研究范围。注意以下几点：（1）虽然不出现“整除”一词，但本质上仍是以整除为基础，因此，乘法算式中的乘数和积都必须是整数。（2）因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。（3）注意区分乘法算式各部分名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。（4）注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。（1）可用不同的方法求出18的因数（列出积是18的乘法算式或列出被除数是18的除法算式），但应引导学生有序思考。（2）用集合圈表示因数，为后面求两个数的公因数作铺垫。一个数的因数的特点：（1）最大因数是其自身，最小因数是1。（2）因数个数有限。（3）此结论通过例1和“做一做”中的特例通过不完全归纳法得出，体现了从具体到一般的思路。一个数的因数的求法

一个数的倍数的求法

（1）求法：用该数乘任意非0自然数所得的积都是该数的倍数。（2）用集合圈表示倍数，为后面求两个数的公倍数作铺垫。做一做:与例2结合起来，提供了2、5、3的倍数，为后面探讨2、5、3倍数的特征做准备。一个数的倍数的特点：（1）最小倍数是其自身，没有最大的倍数。（2）倍数个数无限。（3）此结论通过例2和“做一做”中的特例通过不完全归纳法得出，体现了从具体到一般的思路。因为2、5的倍数的特征在个位数上就体现出来了，而3的倍数涉及到各数位上的数字之和，较为复杂，因此后安排3的倍数的特征。本部分内容对于熟练掌握约分、通分、分数四则运算有很重要的作用。（1）从生活情境“双号”引入。（2）观察2的倍数的个位数，总结出2的倍数的特征。（3）介绍奇数和偶数的概念。（4）可让学生随意找一些数进行验证，但不要求严格的证明。（1）编排方式与2的倍数的特征类似。（2）可进一步总结既是2的倍数又是5的倍数的特征，即10的倍数的特征。（1）强调自主探索，让学生经历观察――猜想――推翻猜想――再观察――再猜想――验证的过程。（2）可任意选择一个数，用正面、反面的例子对结论进一步验证。（3）也可对任意3的倍数的各位数调换位置，更深刻地理解3的倍数的特征。质数和合数的概念

找100以内的质数

（1）根据20以内各数的因数个数把数分成三类：1、质数、合数。（2）可任出一个数，让学生根据概念判断其为质数还是合数。（1）方法多样。可以根据质数的概念逐个判断，也可用埃拉托斯特尼筛法。（2）把握教学要求：知道100以内的质数，熟悉20以内的质数。教学建议1.加强对概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，避免死记硬背。理解了因数和倍数的含义，一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然掌握，后续的公因数、公倍数等概念的理解也是水到渠成。不能机械记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。2.要注意培养学生的抽象思维能力。如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力。（1）本单元是有关数论的内容，主要研究整数的性质。就数论这门学科而言，研究的数的范围是整数（0是整数），而且其主要概念都是在整除（见与本册教材相配套的教师教学用书的说明）的基础上定义的，具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内（如0×5＝0，可以说5是0的因数，0是5的倍数；但不能说0是0的因数，在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的，数论里的因数不能为0）。（2）虽然本单元的内容应该在整数范围内研究，但是，由于0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数是0的因数；这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。（如虽然0是任何非0自然数的倍数，但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数）。因此，限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数范围内加以研究，教材对此在第12页进行了说明。（3）奇数、偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数，因为0能被2整除(或者说0是2的倍数),因此,0也是偶数。为此，教材对“0也是偶数”进行了补充说明，概念是科学的定义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。（4）与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0。相应地，如果把正整数分类，应分为：1、质数和合数。疑难解析1：关于“0”疑难解析2：短除法——教，还是不教？

以前用短除法求最大公因数、最小公倍数，教师更多的精力集中在计算的方法上，学生并不是十分清楚为什么要用短除法，短除法背后的道理是什么。针对这种情况，教材根据课标“能找出两个数的公因数和最大公因数”这一理念，对最大公因数、最小公倍数的求法进行了调整，以理解概念为基础呈现了两种直观、明了、易懂的“找”最大公因数、最小公倍数的方法，加深了学生对概念的理解，降低了学习的难度，体现了算法多样化的思想，同时可以培养学生根据具体情况调整自己策略的能力。正是因为这种改变，质因数、分解质因数等内