2023年河北省衡水重点中学高考数学第四次综合测评试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023年河北省衡水重点中学高考数学第四次综合测评试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ⫋∁A.∀x∈Q，x∈P B.∃x0∈∁RP，2.cos198A.−32 B.−12 3.设向量a,b均为单位向量，则“a⊥b”是“|A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数y=f(x)的定义域为[0A.[1,5] B.(1,5.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q，R，S分别为棱AB，BC，BB1，CD的中点，连接A1S，B1DA.点P

B.点Q

C.点R

D.点B6.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有(

)A.432种 B.420种 C.176种 D.72种7.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100A.49.25

m B.50.76

m C.56.74

m D.58.60

m8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1，对∀xA.20234050 B.20242025 C.20234048二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.热搜是指网站从搜索引擎带来最多流量的几个或者是几十个关键词及其内容，热搜分为短期热搜关键词和长期热搜关键词两类，“搜索指数”是网友通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标，如图是2022年9月到2023年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图(纵轴单位：人次)．

根据该走势图，下列结论不正确的是(

)A.网友对该关键词相关的信息关注度不断减弱

B.网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化，有规律可循

C.2022年9月份的方差小于2022年11月份的方差

D.2022年10月份的平均值大于2023年1月份的平均值10.已知直线l：x+y−4=0，圆O：x2+y2=2，MA.直线l与圆O相切

B.圆O上的点到直线l的距离的最小值为2

C.存在点M，使∠AMB=90°11.一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°A.BC⊥FM

B.AC与平面MOF所成的角的余弦值为32

C.平面MOF与平面12.华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f(x)是定义在R上的函数，对于x0∈R，令xn=f(xn−1)(n=1,A.若f(x)=ex−1，则f(x)存在唯一个周期为1的周期点

B.若f(x)=2(1−x)，则f(x)存在周期为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数(m2+3m−14.抛物线y2=mx绕其顶点顺时针旋转90°之后，得到的图像正好对应抛物线y=215.已知等比数列{an}的各项均为正数，a5≥116，且存在m∈N16.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sin∠PAC=______；若A四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

如图，P，Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点A(1,0)出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为π3,π6(单位：弧度/秒)，M为线段PQ的中点，记经过x秒后(其中0⩽x⩽6)，f(x)18.(本小题12.0分)

如图，四棱锥P−ABCD中，△ABD是等边三角形，PA=PB=PD，BC=CD19.(本小题12.0分)

已知{an}是首项为1的等差数列，公差d>0，{bn}是首项为2的等比数列，a4=b2，a8=b3．

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)若数列{bn}20.(本小题12.0分)

已知直线l1：y=2x和直线l2：y=−2x，过动点E作平行l2的直线交l1于点A，过动点E作平行l1的直线交l2于点B，且四边形OAEB(O为原点)的面积为4．

(1)求动点E的轨迹方程；

(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线21.(本小题12.0分)

某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的A种疫苗后，再为居民们接种，记第n位居民(不包含张医生)接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为Pn(A)，Pn(B)，Pn(C)，Pn(D)．

(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；

(2)张医生认为，一段时间后接种A，B，22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x2−ax+1，g(x)=lnx+a(a∈R答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵∁RQ⫋∁RP，

∴P⫋Q，

∴∃x0∈Q，x0∉P，A错误；x0∉Q时，x0∉P，C错误；∃x02.【答案】C

【解析】解：原式=cos(180°+18°)cos(90°+42°)+c3.【答案】B

【解析】解：a，b均为单位向量，|3a−2b|=|2a+3b|⇔9−12a⋅4.【答案】C

【解析】解：由题意，函数y=f(x)的定义域为[0,4]，即x∈[0,4]，

则函数y=f(x+1)x−1+(5.【答案】B

【解析】解：A选项：四边形A1D1SP是平行四边形，A1S与D1P相交，故A错；

C选项：四边形D1B1BD是平行四边形，D1R与DB1相交，故C错；

D选项：四边形D1B6.【答案】A

【解析】解：将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，

考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，

由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A33A22A33A37.【答案】B

【解析】解：如图，

设球的半径为R，则AB=3R，

∵BC=Rtan10∘−3R=100，

∴R=1008.【答案】A

【解析】解：由f(0)=1，对∀x，y∈R，有f(xy+1)=f(x)f(y)−f(y)−x+2，

可令x=y=0，则f9.【答案】AB【解析】解：对于A，走势图存在上下波动的情况，故关注度并非不断减弱，故A错误；

对于B，走势图变化趋势并没有呈现出周期性，故B错误；

对于C，走势图中，2022年9月份的波动程度超过2022年11月份的波动程度，故9月份的方差大于11月份的方差，故C错误；

对于D，走势图中，2022年10月份的数值明显高于2023年1月份的数值，故2022年10月份的平均值大于2023年1月份的平均值，故D正确．

故选：ABC．

根据走势图依次判断各个选项即可．

10.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的关系，属于基础题．

求出点到直线的距离判断A结合圆的半径判断A，B；当MA，MB与圆相切时∠AMB最大，求出此时∠AMB，判断【解答】解：对于A，由题意得圆心O到直线l的距离为−412+12=22，故A错误；

对于B，圆上的点到直线l最小值为22−2=2，故B正确；

对于C，当∠AMB最大时，MA，MB与圆相切，则sin12∠AMB=12，

所以

11.【答案】AD【解析】解：由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得BC⊥OF，BC⊥OM，OM∩OF=O，

∴BC⊥面FOM，∴BC⊥FM，故A正确；

∵BC⊥面FOM，∴AC与面FOM所成角为∠CNO=60°，

∴AC与平面MOF所成的角的余弦值为12，故B错误；

对于C选项可以考虑特殊位置法，由BC⊥面FOM.得到面ABC⊥面FOM，

∴点F在平面ABC内的射影在直线OM上，

不妨设点F在平面ABC内的射影为M，过点M作MN/​/BC，

连接NF，由题意得AB⊥平面MNF，

则l⊥面MNF，∴∠MFN为平面MOF与平面AFB12.【答案】AB【解析】【分析】本题考查了函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于较难题．

由周期点的定义，可得直线y=x与【解答】解：对于x0∈R，令xn=f(xn−1)(n=1,2,3,…)，

若存在正整数k使得xk=x0，且当0<j<k时，xj≠x0，

则称x0是f(x)的一个周期为k的周期点．

对于A，f(x)=ex−1，当k=1时，x1=f(x0)=ex0−1，

设gx=ex−1−x，g′x=ex−1−1，当x<1,g′x<0,x

13.【答案】1

【解析】解：∵(m2+3m−4)+(m2−2m−24)i(m∈R14.【答案】−1【解析】解：根据题意可得抛物线y2=mx的焦点坐标为(m4,0)，

抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，可得其焦点坐标为(0,18)，

易知(m4,0)15.【答案】4

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，q>0，因为am>0m∈N*，

所以由基本不等式得，1=am+2+2am≥2am+2⋅2am=22q216.【答案】74

【解析】解：设外接圆半径为R，则R=2，

由正弦定理，可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4，

即sin∠ACB=34，

又由题意可知，∠PAC=π2−∠ACB，

所以cos∠PAC=34，所以sin∠PAC=74；

设∠C17.【答案】解：(1)P，Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点A(1,0)出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为π3,π6(单位：弧度/秒)，

经过x秒后(其中0⩽x⩽6)，

则∠POA=π3x,∠QOA=π6x．

因为|OP|【解析】(1)根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解；

(2)18.【答案】证明：(1)如图，连接AC，交BD于点O，连接PO，

由AD=AB，CD=BC，AC=AC，

可得△ABC≌△ACD，所以∠BAC=∠DAC，

又AO=AO，所以△AOB≌△AOD，

所以BO=OD，即O为BD中点，

在等腰△PBD中，可得BD⊥OP，

在等腰△BCD中，BD⊥OC，又OP∩OC=O，OP，OC⊂平面POC，

所以BD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，

所以BD⊥PC．

解：(2)由(1)可得，AC⊥【解析】(1)连接AC，交BD于点O，连接PO，结合题意和三角形全等得到BD⊥OP，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面POC19.【答案】解：(1)∵{an}是首项为1的等差数列，公差d>0，{bn}是首项为2的等比数列，a4=b2，a8=b3，

∴1+3d=2q，1+7d=2q2，

解得d=1，q=2．

∴an=1+n−1=n，bn=2n．

(2)数列{bn}的第m项bm，满足①log4b【解析】(1)由{an}是首项为1的等差数列，公差d>0，{bn}是首项为2的等比数列，a4=b2，a8=b3，可得1+3d=2q，1+7d=2q2，解得d，q，即可得出an，bn．

(2)数列{bn}20.【答案】(1)解：设E(x0,y0)，过(x0,y0)且平行l2的直线方程为y−y0=−2(x−x0)，

由y−y0=−2(x−x0),y=2x,得交点A的横坐标为2x0+y04，

所以|OA|=1+22|2x0+y04|=54|2x0+y0|，

又因为点E到直线l1的距离为|2x0−y0|5，

所以四边形OAEB的面积为|2x0−y0|5×54|2x0+y0|=4，

即x024−y02【解析】(1)设E(x0,y0)，根据直线相交求出点A的横坐标，再求出|OA|，点E到直线l121.【答案】解：(1)由题意得，记第n位居民(不包含张医生)接种A，B，C，D四种疫苗的概率分别为Pn(A)，Pn(B)，Pn(C)，Pn(D)．

则P1(A)=0，P1(B)=13，P1(C)=13，P1(D)=13，

所以P2(A)=13×13+13×13+13×13=13，

P2(B)=13×【解析