多项式函数库学习课件

一、多项式表示及其四则运算1.MATLAB的多项式表示在MATLAB中，对多项式用其系数的行向量来表示。其中，该向量的元素按幂指数降序排列，变量x的幂次已隐含在系数元素的排序中。注意：如果x的某次幂的系数为零，这个零必须列入系数向量中。例如一个一元三次多项式：可表示成行向量：2.多项式的加减运算

MATLAB规定，只有长度相同的向量才能相加。因此如果两个多项式向量大小相同，则可利用标准的数组加减法来进行多项式的加减运算。例：把多项式与多项式相加。a=[1,2,3,4];b=[1,4,9,16];d=a+b结果：d=261220注意：若两多项式系数向量长度不等，必须在短的向量中补以若干个零元素，才能进行加减。3.多项式相乘多项式相乘就是两个多项式系数向量的卷积，利用函数conv来实现。格式：

w=conv(a,b)功能：返回a、b两向量的卷积，也就是a、b代表的两个多项式的乘积。例：a=[1234];b=[14916];w=conv(a,b)w=

1620507584644.多项式相除函数[q,r]=deconv(u,v)用于对多项式u和v作除法运算。其中q返回多项式u除以v的商式，r返回u除以P2的余式。这里，q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有

u=conv(v,q)+r

例：a=[1234];b=[14916];w=conv(a,b)[q,r]=deconv(w,b)如令除数a1=a+1,则：b1=b+1;[q1,r1]=deconv(w,b1)可以用商式与除式相乘，再加上余式的方法来检验：w1=conv(q1,b1)+r1二、多项式求导、求根和求值

1.多项式求导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式P的导数p=polyder(P,Q)：求P与Q乘积的导数[p,q]=polyder(P,Q)：求商P/Q的导数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。例：a=[1234];b=[14916];k1=polyder(a)k2=polyder(a,b)[p,q]=polyder(a,b)2.多项式的根求解多项式的根，即a(x)=0的解。MATLAB中求解多项式的根由roots函数命令来完成。格式：r=roots(p)返回多项式a(x)的根注意：MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。例：求多项式x4+8x3-10的根。命令如下：A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例：已知f(x)(1)计算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。命令如下：P=[3,0,4,-5,-7.2,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x)3.多项式求值函数利用函数polyval可以求得多项式在某一点的值。基本调用格式为：

y=polyval(p,x)功能：返回多项式p在x处的值。其中x可以是复数，也可以是数组。例：设a1=[2,4,6,8]为系统分母系数向量，b1=[3,6,9]为系统分子系数向量，求此系统的频率响应并画出频率特性。程序：a1=[2,4,6,8];b1=[3,6,9];w=linspace(0,10);A=polyval(a1,j*w);B=polyval(b1,j*w);subplot(2,1,1);plot(w,abs(B./A));subplot(2,1,2);plot(w,angle(B./A));当多项式的变量是矩阵时，构成的矩阵多项式可以利用polyvalm函数求值。格式为：Y=polyvalm(p,X)X为方阵功能：返回矩阵多项式p在X处的值。例：p=[1,0,-2,-5];X=[2,4,5;-1,0,3;7,1,5];Y=polyvalm(p,X)结果：Y=377179439111811364902536394.部分分式展开函数在许多应用中，会出现有理多项式之比的形式如b(s)/a(s)，在b(s)和a(s)没有重根的情况下，有理多项式b(s)/a(s)可以进行部分分式展开。

MATLAB提供了residue函数来完成有理多项式的部分分式展开，它是一个对系统传递函数特别有用的函数。residue函数调用格式格式一：[r,p,k]=residue(b,a)功能：把b(s)/a(s)展开成当分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次时，ks=0。例：将有理多项式展开成部分分式。在命令窗口中可作如下操作：num=[10,20];den=[1,8,19,12];[res,poles,k]=residue(num,den)格式二：[b,a]=residue(r,p,k)如：[b,a]=residue(res,poles,k)结果：b=-0.000010.000020.0000a=1.00008.000019.000012.0000三、多项式拟合在线性代数中，对于数据的拟合，方法很多，多项式拟合则是其中之一。在MATLAB系统中提供一条专用多项式拟合函数polyfit，用户只需输入相应的数据和参数就可以构造出一条最光滑的曲线。格式：p=polyfit(x,y,n)功能：利用已知的数据向量x和y所确定的数据点，采用最小二乘法构造出n阶多项式去逼近已知的离散数据，实现多项式曲线的拟合．其中p是求出的多项式系数，n阶多项式应该有n+1个系数，故p的长度为n+1。例：设原始数据为x，在11个点上测得的y值如下：x=[-2.0,-1.6,-1.2,-0.8,-0.4,0,0.4,0.8,1.2,1.6,2.0];y=[2.8,2.96,2.54,3.44,3.56,5.4,6.0,8.4,9.5,13.3,15];若采用2阶多项式拟合，则可执行命令：p1=polyfit(x,y,2)%采用2阶多项式拟合p1=1.03033.08184.9788故所拟合的多项式为：

1.0303x2+3.0818x+4.9788为了比较,把原始数据和拟合得到的曲线画出来:x1=linspace(-2,2,100);y1=polyval(p1,x1);plot(x,y,'o',x1,y1,'r');legend('原始数据','2阶多项式')注意:1.拟合的多项式的阶数可以任意选取,但最大拟合阶次应为原始数据长度减1。2.如果选择拟合的多项式的阶次不同,就会得到不同的拟合结果。对于给定11点的最大拟合阶次为10