第三章.命题逻辑

离散数学讲义 武汉技大计算学院第三章辑重点掌和公式转换方式求公式的主析取范式和主合取范式；利用规则、基本等价和蕴涵公式、三种不同的推理方法完成命题逻辑推理；难点如题。他算人工能要更用学。词掌逻逻。3.1 命题符号化及联系结词1命题切陈称。谓切是在体境具时，体象具的等况下一的分：(1简单命题：不能分解为更为简单的句子的命题。(2复合命题：能够分解为更为简单的命题。2词 P P并且Q析取 P或者Q

P 乛PP与Q的合取P∧QP与Q的析取P∨Q

乛P当PP∧Q为真当且仅当P，Q同为真P∨Q为真当且仅当P，Q至少一个为蕴涵 若P，则Q P蕴涵Q P→Q P→Q为假当且仅当P为真，Q为假等价 P当且仅当QP等价于Q P←→P→Q为真当县仅当P，Q同为真假Q－3.1－离散数学讲义 武汉技大计算学院词要：（1）此词结句句间联而单名、容数词等联结；（2）此联结词两子值的结而句具含联，子以在；（3）联与语之对非一，合结∧对自然语言中的“既„„又„„“不仅„„而且„„“虽然„„但是„„“并且“和、”蕴词PQ对加P则Q“只要P就Q，P当Q“只有Q才P非Q则乛P”“→”对应自语且必或中或。3.2 题式分类一般称具有确切真值的简单命题叫命题常量，用P，Q，R，„等表示。而没有赋予具体内容为元的P，R没有具体的真值。1式（1）单个含1或0）是合式公式；（2若P是合式公乛P）也是合式；Q（3若PQPQPQPQP→。Q“”次的公。”“乛””“→”“””中为错，取取成等先别改或调先别，，同运。2解表设G是命题公式，P1，P2，„，Pn(n1)是出现在公式G定P1，P2，„，Pn一组真值，则这组真值称为G的一个解释或赋值。此时不同的赋值就有2n种。将此2n种为G。3公类设G为一，（1如G在它所称G为永真；（2如G在它所称G矛；－3.2－离散数学讲义 武汉技大计算学院（3如G在称G满。3.3 公算1系称公式GH是等价的，如果在其任意的解释下，为G=H。说明H式GH之G=H是公它接。要判断GH，可H式GH是一个永真式。2．代入定理设P，P，，P任意公式，若G是永真式或永假式，则用G1，G2，„，Gn取代公式G的后而得的新公式G(G1，„，Gn)＝G’(P1，P2，„Pn)仍是一个永真式或永假式。3律设是：（1）幂∨GG＝G（3）交∨HG∧HG（5）吸GGGGG（6）同∨=G1=G(，1元)（7零：∨11∧0001分别是关于运算∨元)（8）排乛G=1∧0=0乛G又做G元)（9，M律：乛G=乛G∧乛H乛G=乛G乛H（10）乛G＝G（：乛G∨H（12）等价等式G→HGH）∧→乛GH乛HG）（13）G乛H乛G（4）等价否GH＝乛G乛H（15：GH)∧乛H)乛G其中：要运““”应运，－3.3－离散数学讲义 武汉技大计算学院真值1“0应集合中的全集E和空集律(1～(10)(1～(10).外～(15式,重住.4算利用等值定而的。5则设GG1)是含式G1的公GG2)用G2了GG1)的若G1＝G2，则G(G1)GG2)3.4 功联结集1其词表P QU30 00 11 01 U3

2UU1U2U4设PQU为其对应的联结则U作用于PQ后的表22。由组的义U，U2U3U4不有24＝16种，从0000到，为此除已有的五个联结词以外，还需引入下面四个联结词如表23所。表中，中非。2合设S用S从S除个联结词后结合S1，至少用S1中联结示称S。－3.4－离散数学讲义 武汉技大计算学院表3词号 题 法 法 果或 G或H G异或GHH

AH为真当仅当.H不同为真假蕴涵否定 G与H的蕴涵否定G蕴涵否定GHH

GH当G，H为假非 ↑ G与H非G非H ↑H或非 ↓ G与H的或非G或非H ↓H

↑H为假当且仅当,H同为真↓H为真当且仅当，H同为假3.5 式.式()命否；()限取；()限取；()限为；()限为。求一式G。.式()有n元P1,P2,„,Pn括所有这n个命题与P1,P2,„,Pn于P1,P2,„,Pn的有2n，大也有2n；()由有限个极小项组成的析取范式称为主析取范；()由有限个极大项组成的合取范式称为主合取范。求个公式G演是真值表技术。该方法为：设GP1,P,„,P式对。()在真式G取值为真的所有行所析式G主取式。()在真式G取值为假的所有行所合式G的主如P为乛P，－3.5－离散数学讲义 武汉技大计算学院如P值取原为1如R为00乛P乛Q乛极对如P取值为P，如P值1，在极为0如R为0乛P∧乛QR。3理()一等范；()任一命主；()如果一个命式它无主或空；()如果一个命式它无主或空；()两个的；()任一公式对应主析取范式包括的极小项的个数加对应主合取范式包括的极大项的个为2。3.6 理论.推理的形式构设G1,G2,„,G，H是题，称G1∧G2∧„∧Gn→H为推中G1,G2,„,GnH为结论当G1∧G2∧„∧Gn→H为永真称G1,G2,„,Gn涵H是G1,G2,„,Gn辑，并且记为G1∧G2∧„∧GnH或记为G1,G2,„,GnH。说明G1,G2,„,GH仅述式G1,G2,„,Gn与公式H之间的逻辑，G1,G2,„,GH本。要判断G1,G2,„,GH采：G1,G2,„,GH当且仅当G1∧G2∧„∧Gn→H是一个永真公式。.判法()真值表法：利用真值表法，可建立如下推理：设GHS：①附加HHGH②化简∧GGH③合，GH－3.6－离散数学讲义 武汉技大计算学院④假言，HH⑤拒GH，乛乛G⑥析取GH乛GH⑦假言GHH→S→S⑧二难∨GSH→S⑨等价↔HHSG↔S()等值演算法；()法；()构造证明法。①推则P（前提引入合。规则则式S，式S的。规则加合P与公式P推导出从此前中P推导出P。②直接列C1,C2,„,其中C1,C2,„,Cn为应规，Cn。③间接明G1,G2,„,GnH等价地证明G1,G2,„,G，乛H∧乛中RG1,G2,„,G,乛H∧乛R可采取直接证明方法。④带P带P规则的证明法主要是针对结论为P→或乛P∨S明G1,G2,„,GPS等明G1,G2,„,G，P，此时明G1,G2,„,G,PS时P为附论S，用P规则，即可由G1,„,Gn推出P→逻都是适用的，只是不同。3.7 结达：()要弄清命题与陈述句之间的关系与差别。命题都是陈述句；但陈述句不一定都结；－3.7－离散数学讲义 武汉技大计算学院()用6联（，，，↔）来合题进行翻译及判断真值；()记住24；()会利用真值表技术和公式的演算方法求一公式所对应的主析取范式和主合取范满；()握的。例题精选例3.1 设P表命下Q表R表命“乘公共车班大1995考：（1）；（2）；（3）；（4）。析对于要Q才P要P就Q非Q则P等成PQ，以述(1(2)()Q→乛P乛P→Q(3)乛Q→P子4)可翻译为Q例3.2 ()项R式（R乛（R(乛乛乛R)（2）求（式（R）的主合取范式北大2001试。7(aM)0解(1)设=i 0中a1于R的。则乛=i01)Mi乛=a0M4∧a1M5∧a2M6∧a3M7∧a4M∧a5M∧a6M2∧a7M3,乛Q,R)=a0M2∧a1M3∧a2M0∧a3M1∧a4M∧a5M∧a6M1∧a7M2乛R)=a0M1∧a1M0∧a2M3∧a3M2∧a4M∧a5M∧a6M7∧a7M6由乛(乛,乛乛)项应此：1a0)=a4=a2=a，(1a4)=a0=a6=a51a1)=a5=a3=a，(1a5)=a1=a7=a41a2)=a6=a0=a，(1a6)=a2=a4=a71a3)=a7=a1=a，(1a7)=a3=a5=a6所以a0=a3=a=a6a1=a2=a=a7－3.8－离散数学讲义 武汉技大计算学院如令则此时M1∧M∧M4∧M=乛乛M乛M乛M乛M7)=乛乛P∨乛R)乛P乛Q∨R)乛(乛P∨R∨乛乛P乛Q乛R))令则此时M0∧M∧M5∧M=乛乛M0乛M3乛M乛M6=乛乛P∨Q∨R∨乛P乛Q乛R∨乛乛P∨乛R∨乛乛P乛QR)))M1∧M∧M4∧M=(P∨Q乛R∧乛P乛QR)∨乛P∨QR)∨乛P乛Q∨乛R)„主合取范式=M0∧M3∧M∧M6=(P∨R)∧P乛Q乛R∧(乛PQ乛R∧乛P∨乛Q∨R)„主合取范式例33 题P：明天上午下雨Q：明天雪R：我将去学校列：（1）；（2）；（3）；（4）。析根命题PQ的定义，它可对应语句除非Q，乛P；只要P就Q；有Q才P。（12（可分别对应符：（1R→（乛P乛Q）（2乛P∨乛Q→R（3RPQ）（气，，4R该化：P（乛PQ）∨P乛Q）∨乛P∧乛Q）所句子4：P∧）∨乛P∧P∧乛Q）（乛P乛Q∧R或P∧R）∨乛P∧QRP乛QR）乛P乛Q）明由于雨雪无与R。－3.9－离散数学讲义 武汉技大计算学院例3.4 求公式G1P，QR)PQ∧P)G2PQ)PQ)∧PQ)取取。析式G1G2元根据右公求的述公的式安采求。方法1 。建立式G1P，R)→Q∧PQ)表24。表24PQR (P→Q∧P∧Q)0 0 01 0 00 0 1 1 0 00 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 0 01 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1则公式G1PQR)所对应的主析取范式、主合取范分别为：G1（P，Q，R）（P∧Q∧乛R）∨（P∧Q∧R）„主析取范式G1PQRPQ∨P乛R∧P乛Q∨R)∧P乛Q乛)∧（乛P∨Q∨R）∧（乛P∨Q∨乛R）„主合取范式建立式G2PQ)PQ）∧PQ）的表．5。表25P Q PP）001 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 1 1 1 1则公式G2PQ)所对应：G2（P，Q）=（P∧Q）„主析取范式G2（P，Q）=（P∨Q）∧（乛P∨Q）∧（P∨乛Q）„主合取范式方法2 。G1PQRP∧P∧Q乛P∨QPQPQP∧Q∧(乛R∨R)（P∧Q∧乛R）∨（P∧Q∧R）„主析取范式G1PQR）乛（乛G1P，R）乛（P乛Q∧R∨(乛P∧Q∧R∨P乛Q乛R)∨（乛P∧∧乛R）乛P乛QR乛P∧乛Q乛R）(乛P乛R)P乛Q乛R）∧（乛PQ∨∧(乛P∨R∧PQ乛P∨Q∨R）－30－离散数学讲义 武汉技大计算学院(P∨QR)∧P∨乛R）∧P乛Q∨R）∧P乛Q乛∧(乛P∨Q∨R)∨（乛P∨Q∨乛R）„主合取范式22 2G（P，Q）（P→Q）∧（P∧Q）（乛P∨Q）∧P∧Q（P∧Q）„主析取范式GPQ）乛（乛GP，Q）（P乛Q)∨乛P∨Q∨(乛P乛Q22 2（乛PQ）∧P乛Q（P）（P∨Q）∧（乛P∨Q）∧（P∨乛Q）„主合取范式两范。例35 ）（1P）→乛Q乛P）（2PQ）→PQ）北大200）解判断一个公式是否是重方式、矛盾式，可满足公式，可采用三种方式：(1)真值表技术；，主合取范式。下面分别采用三种方：方法1 。建立式(1)，表如表．6。表26P Q P）（乛Q→乛P）（P→Q）→乛PQ）001 1 1 1 1 10 1 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 0 0由上述真值可知，公式(1言，式足。方法2 。①PQ）乛Q乛PPQ）→乛P∨）乛（乛P（乛PQ1公永重。方法3 。P→Q）→乛PQ乛PQ）∨乛QPQ）（P）乛P∧乛Q）乛P乛QP）∨（乛P乛Q）（P∧乛Q）∨（乛P∧Q）∨（乛P∧乛Q）„主析取范式乛（乛PQ)乛(P∨Q)）乛（P∧Q）（乛P∨乛Q）„主合取范式对包式应包是足。例36 符公一：（1）；（2）；（3）；（4）若王磊的；（5。计磊？－1－离散数学讲义 武汉技大计算学院分析：设P：张计算；；；S：王磊的证词正；T：午夜时灯。提号：PQP→乛RS→乛，乛S→，T证明的为P或Q。明（）TP（2S→乛TP（3乛S（4乛S→R（5R

T，(1)，(2)，IPT，(3)，(4)，I（6P→乛R P（7乛P T，(5)，(6)，I（8PQ P（9Q T，(7)，(8)，I说盗计。例3.7符号化下列命果6是偶数，则2不除7；或者5不是或2除7；5，6是数。解首先化设P6数：2除7：5数符为P→乛Q乛R∨Q，R乛P证明（）乛RQ P（2R（3Q（4P乛Q（5乛P

PT，(1)，(2)，IPT，(3)，(4)，I明但：的一误不错该不逻的出结论。一在前如6是偶则2不能整除7它。例38 。（1）如果A考；（2）如果A；（3）如果A。（4A。－32－离散数学讲义 武汉技大计算学院解：设PA；Q：他中；R；S：他读了许多书。述号：P→乛Q，乛Q→乛R，→R乛P∨乛S明采用归谬法就是将结论的否定作为附加前提加入到前提集合之中致条件矛盾。（1）乛P∨乛S）（2P∧S（3P（4S（5P乛Q（6乛Q（7SR（8R（9）乛Q乛R（10Q

P提)T，(1)，)EPPP（Q乛Q 所以，谬法知P→乛Q，乛Q→乛，S→R乛P∨乛。例9 为PP∨Q，PR，Q→S}GS∨R明PG。解。证法1。（1PQ（2乛P→Q（3→S（4乛P→S（5乛P（6PR（7乛→R（8SR

PT，(1)EPT，(4)EPT，(7)E法2带P规。因GSR乛R，为乛S作为附加前提加入前提集合中，如能证明P，乛SR，则由P规则知：P乛→R即PS∨R。（1乛S（2→S（3乛Q（4PQ（5P（6PR（7R（8乛→R（9SR

P前提)PPPP，，(7)T，(8)E－33－离散数学讲义 武汉技大计算学院证法3。（1）乛SR）（2乛乛R（3乛S（4乛R（5PR（6乛P（7→S（8乛Q（9乛P乛Q（10）乛P）（P∨Q（12P∨Q乛P∨)

P前提)T，(1)EPPT，(9)EP例3.0 明P→Q→S是P→QR)→(→的逻。析对题蕴式)带P规。（1P（2P（Q→）（3→R（4RQ→）（5→QS）（6Q（7→S（8P（Q→）

P前提)PPP前提)P，，(7)例1一入为ABC，为，，C，在同一时间内按AC的输，例如ABC能A出AC功集{↓中的表达式。解设PA输入B入：C入由提出，，C的表表27。－34－离散数学讲义 武汉技大计算学院表2.7P Q R A B C0000000 0 1 0 0 10 1 0 0 1 00 1 1 0 1 01 0 0 1 0 01 0 1 1 0 01 1 0 1 0 01 1 1 1 0 0表的分：AF（PQR）∨PQ乛R）∨P乛QR）P乛Q乛）P∧Q）（乛RP乛Q）∧乛R）PQP乛QP（乛Q）P∧1PA（P∨P）（PP）PPPP）BF＝（乛PQ乛R）∨乛PQR乛PQ）乛R∨R）乛P∧Q乛P∧Q）P乛Q）P乛QP（Q）BCF乛P乛Q∧）（PQ∧RP∧R乛乛PQ乛乛RP乛P乛R↓QPQ↓R）C例3.2 有3名队员，有一天取得一块矿