现代控制理论知识点复习

１． 状态空间表达式AxBunyCxDu

u:r1 y:m1 A:nn B:nr C:mnD:mrA称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；〔或掌握〕矩阵，表示输入对每个状态变量的作用状况；C传递关系。２． 状态空间描述的特点态打算了输出。②状态方程和输出方程都是运动方程。③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，nn④状态变量的选择不唯一。⑤从便于掌握系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观看的量更为适宜。abc间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。３． 模拟构造图〔积分器加法器比例器〕状态空间描述，绘制模拟构造图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在法器和比例器，最终用箭头将这些元件连接起来。４．状态空间表达式的建立①由系统框图建立状态空间表达式：a〔放大、积分、惯性等〕变成相应的模拟构造图；bxi

i为状态变量。KVLKCL〔微分方程〕现问题。实现是非唯一的。方法：微分方程系统函数模拟构造图状态空间表达式。bc。也说明白状态空间表达的非唯一性。不转变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。特征矢量pi

的求解：也就是求(i

IA)x0的非零解。状态空间表达式变换为约旦标准型〔Ａ为任意矩阵a矢量按列排。b有重根时，设3阶系统，＝ ，1 2 3

pp1 3

求法与前面一样，p

称作2

的广义特征矢量，应满足(

IA)p1

p。1系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数局部分式开放模拟构造图状态空间表达式。由状态空间表达式求传递函数阵W(s)W(s)C(sIA1BD mr［Wij

］Wjiij状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵W(s)是不变的。子系统的并联、串联、反响连接时，对应的状态空间表达及传递函数阵W(s)。方法：画出系统构造图，理清关系，用分块矩阵表示。其次章掌握系统状态空间表达式的解一．线性定常系统齐次状态方程〔Ax〕x(t)eAtx0二．矩阵指数函数——状态转移矩阵(t)eAtx(0x(t的转移。5eAt的计算：a；b(或J)T1ATeAtTetT1或TeJtT1c用拉氏反变换eAtL1[(sIA)1] 记忆常用的拉氏变换对1 1 1 n! 1 s(t)1;1(t) ;t

;eat

;tn

at

;sint ;costs s2

sa

sn1 (sa)2 s22 s22三．线性定常系统非齐次方程〔AxBu〕x(t)(t)x(0)t(t)Bu()d。可由0拉氏变换法证明〔固然给出拉氏变换法的求解思路。求解步骤：先求(t)eAt，然后将B和u(t)代入公式即可。特别鼓励下的解。第三章线性掌握系统的能控性和能观性一．能控性及能观性定义〔线性连续定常〕定常系统的能控性判别〔具有一般系统矩阵的多输入系统〕判别方法〔一：通过线性变换AxBu T1ATzT1BuA〔xTz为对角线标准型，T1ATT1B没有全为0的行。 变换矩阵T的求法。A〔xTz〕JT1AT，能控性充要条件：①对应于一样特征值的局部，每个约当块对应的T1B0T1B中对应于互异特征根局部，各行元素没有全为0的。变换矩阵T的求法。这种方法能确定具体哪个状态不能控。但线性变换比较简单，关键是求T、T1、T1B。判别方法〔二：直接从Ａ，Ｂ判别AxBu 能控的充要条件是能控性判别矩阵M(B,AB,A2B,An1B)n。M是一个nn的方阵；M是一个nnr的矩阵，可通过rankMrank(MMT)三．线性定常系统的能观性判别Ax判别方法〔一：通过线性变换

T1ATzyCx yTCz１．假设A的特征值互异，线性变换〔xTz〕为对角线标准型，T1AT，能观性充要条件：TC中没有全为0的列。 变换矩阵T的求法。A〔xTz〕JT1AT，能控性充要条件：①对应于一样特征值的局部，每个约当块对应的TC中第一列元素没有全为０的。②对应于互异特征根局部，对应的TCT这种方法能确定具体哪个状态不能观。但线性变换比较简单，关键是求T、T1、TC。判别方法〔二：直接从Ａ，C C 能观性的充要条件是能观性判别矩阵NCA 的秩为n。 CAn1N是一个nn的方阵；N是一个nmn的矩阵，可通过rankMrank(MMT)六．能控性与能观性的对偶原理A2

AT，B1

CT，C1

BT，则1

(A,B,C1 1

与2

(A,B,C2 2

)对偶。对偶系统的传递函数阵是互为转置的。且他们的特征方程式是一样的。与1

对偶，则1

能控性等价于2

1

能观性等价于2

能控性。七．能控标准型和能观标准型。１． 能控标准Ⅰ型〔假设系统的状态空间表达式〕①判别系统的能控性。②计算特征多项式|IA|na n1aa，即可写出A。③求变n1 1 0 p 0换矩阵T

1 1 pA，p1

[0,0,,1][b,Ab,An1B]1。④求T

1，计算bT

1b

0，ccT ，0c1 1

c1

1 1pAn11

1ATc1

1AT 。c1２． 能观标准Ⅱ型①判别系统的能观性。②计算特征多项式|IA|na n1aa，即可写出A。③求变n1 1 0 c 1

0 cA 0换矩阵T T,AT,,An1T ，T 。④求T

，计算bT 1b ，o2 1 1

1 1 02 02 cAn1 1ccT02

0 0 o2

1AT 。o2３． 假设传递函数阵，可直接写出能控标准Ⅰ型和能观标准Ⅱ型的状态空间表达。0100001010000100001 0 A

b c[

]0 0

0 1 n1a0

a a1

n1

10 0 01 0 0

a a0 a0 1 1能观标准Ⅱ型：A0 1 0 a b c[0 0 1]

2

n20 0

n1

n1八．线性系统的构造分解按能控性分解〔状态不完全能控，即rankMn1

nxRc

完成。R Rc 1

R Rn1

R，前nn

M中n1

R非c奇异的条件下是任意的。按能观性分解〔状态不完全能观，即rankNn1

nxRo

完成。R R1

R1 2 ，前nNnR1非奇异的条件下是任o R n1

1 1 oR R n 意的。按能控性和能观性分解〔系统是不完全能控和不完全能观的直观。c

能控状态，xc

coxco

不能控不能观状态。③将能控子系统按能观性分解〔xco

xco能控不能观状态。④综合各步变换结果，写出最终的表达式。4九．传递函数阵的实现问题W(s)s留意：假设不是有理分式，首先求出直接传递矩阵Dlim W(s)。s能控标准型和能观标准型实现单入单出系统，W(s)是有理分式，可直接依据分子分母多项式系数写出能控标准1型和能观2最小实现〔维数最小的实现〕AxBuyCx

为W(s最小实现的充要条件是ABC是完全能控能观的。步骤：对给定的W(s)，初选一种实现〔能控标准型或能观标准型，假设选能控标准型，推断是否为最小实现。留意：传递函数阵W(s)的实现不是唯一的，最小实现也不是唯一的。十．传递函数W(s)中零极点对消与能控性和能观性之间的关系是说，即使存在零极点对消，系统仍有可能是能控能观的〔p1473-19。还是既不能控又不能观。一． 稳定性的定义1．平衡状态f(xt)为齐次状态方程。满足对全部tf(xt)0x称为系统的平衡状e e态。2．稳定性的几个定义①李雅普诺夫意义下稳定〔相当于自控里的临界稳定；②渐近稳定〔相当于自控里的稳定范围渐近稳定，大范围渐近稳定的必要条件是整个状态空间只有一个平衡状态；④不稳定。二． 夫第一法〔间接法〕1．线性定常系统的稳定判据xe

0As2．非线性系统的稳定性线性化处理。A

fxfx

，假设Axe

Ax不稳eA三．李雅普诺夫其次法〔直接法〕 李雅普诺夫函数来直接对平衡状态的稳定性做出推断。预备学问V(xnxx0处，恒有V(x)0x，假设V(x)0，则称之为正定；假设V(x)0，则称之为负定；假设V(x)0V(x)0则称之为半负定或非正定；假设V(x)0或V(x)0，则称之为不定。V(x)xTPxP为实对称阵。要判别V(xP的符号即可。P的定号判据〔希尔维特斯判据：首先求出P的各阶挨次主子式i

，假设全部的i

0，则P〔V(x〕正定；假设i偶数的i李雅普诺夫函数

0i奇数的i

0P〔V(x〕负定；V(x)，而(x)是负定的，则这个系统是渐近稳定的，这个标量函数V(x)叫做李雅普诺夫函数。李雅普诺夫其次法的关键问题就是查找李雅普诺夫函数V(x的问题。３．稳定性判据f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0时有V(x)0且满足(x)0则称原点平衡状态是渐近稳定的假设当x时V(x)，则系统是大范围渐近稳定的。f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0时，有V(x)0，且满足(x)0x0x0，(x)不恒等于０，则称原点平衡状态x时，V(x)，则系统是大范围渐近稳定的。f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0时，有V(x)0，且满足(x)0x0，(x)恒等于０，则称原点平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。f(x)xe

0V(xx0V(x)0，x0时，有V(x)0，且满足(x)0V(x是可找到的，那么通常是非唯一的，V(x)V(x)需要较多技巧。四．李雅普诺夫方法在线性系统中的应用——线性定常连续系统渐近稳定判据Ax，假设Axe

0是唯一的平衡点。原点大范围渐近稳定的充要条件是对任意对称实正定矩阵QATPPAQP。该定理等价于Ａ的特征值具有负实部。但高阶系统求解特征值简单。Q，通常为QI，代入李雅普诺夫方程，确定出P，推断是否正定，进而做出系统渐近稳定的结论。五．非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析——雅可比矩阵法f(x)f(x)J(x)

fP〔PI，xQ(x)[J(x)TPPJ(x)]为正定的。并且V(x)fT(x)Pf(x)为系统的一个李雅普诺夫函数。第五章线性定常系统的综合一．线性反响掌握系统的根本构造及其特性状态反响 将系统的每一个状态变量乘以相应的反响系数然后反响到输入端与参考输入相加，作为受控系统的掌握输入。K称为状态反响增益阵，rn。 设原受控系统0(ABK)xBv

ABC)，Ｄ=0。状态反响闭环系统的状态空间表达式 简称yCx K

(ABK,B,C)与原受控系统0

ABC)比较，状态反响增益阵Ｋ的引入，并不增加系统的维数，但可以通过Ｋ的选择转变闭环系统的特征值，从而使获得所要求的性能。输出反响 由输出端y引入输出反响增益阵〔rm，然后反响到输入端与参考输入相加，(ABHC)xBv (ABHC,B,C)H

yCx〔通常mn。从输出y引入反响增益阵G〔nm到状态变量的导数

(AGC)xBuyCx

简称H

(AGC,B,C)通过Ｇ的选择也可以转变闭环系统的特征值，从而转变性能。是常数矩阵，反响为线性反响。４．闭环系统的能控性与能观性状态反响不转变受控系统0输出反响不转变受控系统0

A,BC)的能控性，但不保证系统的能观性不变。A,BC)的能观性，但不保证系统的能控性不变。二极点配置问题 过选择反响增益矩阵将闭环系统的极点恰好配置在根平面所期望的位置，以获得所期望的动态性能。 只争论单输入单输出系统１．承受状态反响 对系统0

Abc任意配置极点的充要条件是0

完全能控。给定0

Abc)，给定期望的极点，设计状态反响掌握器的方法：n3。①首先推断是否完全能控，是，则存在状态观测器。②通过线性xTc1

x化为能控标准１型，得到Abc)。③参加状态反响增益矩阵K[k0

,k,,k1

],n1K

AbKbc)f()|IAbK)|f*()(*。⑤i将f()与f*()比较，即可得到K[k0

,k,,k1

n1

]。⑥把对应与 的K，通过KKT1c1[kk,k ]。⑦进一步画出模拟构造图。0 1 n1⑵当阶次较低时，n3，可直接由反映物理系统的A,b矩阵求状态反响增益矩阵K[kk,k ，不通过非奇异变换，使设计工作简洁。①首先推断是否完全能控，是，则存0 1 n1在状态观测器。②参加状态反响增益矩阵K[k,k,,k ],得到闭环系统 (AbK,b,c)状态0 1 n1 Kf()|IAbK|。③由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*()(*f(f*()K[ki

,k,,k1

n1

。⑤进一步画出模拟构造图。他工作。2．承受输出反响不能任意极点配置，正是输出线性反响的根本弱点。的反响对系统0

Abc任意配置极点的充要条件是0

完全能观。设计0

的反响阵Ｇ的问题就是其对偶系统~0

设计状态反响阵Ｋ的问题。〔１〕n3。①首先推断是否完全能观，是，则存在输出反响Ｇ。②通过线性变换xTo2

x化为能观标准２型，得到 (A,b,c)。③参加输出反响增益矩阵G[g0g1,gn1]T,得到闭环系统GAGcbc)f()|IAGc|f*()(*。i⑤将f(f*()比较，即可得到G[g0

,g,,g1

n1

]T。⑥把对应与 的G，通过GT GO2[gg,,g 。⑦进一步画出模拟构造图。0 1 n1⑵当阶次较低时，n3，可直接由反映物理系统的A,c矩阵求状态反响增益矩阵G[gg,,g ，不通过非奇异变换，使设计工作简洁。①首先推断是否完全能观，是，则存0 1 n1在输出反响Ｇ。②参加从输出到的反响增益矩阵G[g,g,,g ],得到闭环系统0 1 n1 AGcbcf()|IAGc|G期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*((*f(f*(比较，即可得到iG[gg,,g 。⑤进一步画出模拟构造图。0 1 n1三．系统冷静问题0稳定。

ABC)要求将闭环极点严格地配置在期望极点上。状态反响能冷静的充要条件是其不能控子系统为渐近稳定。渐近稳定的。的反响实现冷静的充要条件是不能观子系统为渐近稳定。五．状态观测器器理论，解决的状态重构问题，使状态反响成为一种可实现的掌握律。ˆ以的输入u和输出y作为输入量，产生一组输出量ˆx，即0lim|xˆ0，则称ˆ为必需是完全能观或不能观子系统是t 0 0渐近稳定的；ˆˆx；ˆ在构造上尽可能简洁〔数，以便于物理实现。２．等价性指标动态系统

ˆˆycxˆ

原系统

AxBu0 ycxˆ(xˆ) xˆeAt(x0

)0只要系统是稳定的，即Ａ的特征值具有负实部，就可做到与x是稳态等价的。３．重构状态方程缘由：①系统的状态是不能直接量测的，因此很难推断是否有靠近于x；②不肯定能保证Ａ的特征值均具有负实部。yx的测量，当lim|xˆ0，有lim|yˆlim|cxˆlim|c(xˆ)0。 同时，引入反响阵Ｇ，t t t t使系统的特征值具有负实部。状态重构方框图为p213 5.16(a)要求娴熟记忆，这种状态观测器称为渐近观测器。ˆˆBuG(yˆ)(AGC)ˆGyBu状态观测器方程为

记为ˆ(AGC,,G)GAGCxxGAGC的特征值的配置。４．观测器的存在性对于完全能观测的线性定常系统，其观测器总是存在的。观测器存在的充要条件是 不能观子系统是渐近稳定的。0５．观测器的极点配置0

(,B,C)ˆ(AGC,,G)近速度的充要条件是0

ABC)完全能观测。极点配置方法〔1〕能观标准型法，适合于n3。①首先推断是否完全能观，是，存在观测器可以任意极点配置。②通过线性变换xTx化为能观标准２型，得到 (A,b,c)。③参加输出误差反响阵G[g0

,g,,g1

n1

]Tˆ(AGc)ˆBuGy)，求出对应的闭环特征多项式f()|IAGc|。④由给定的期望极点，求出期望的闭环特征多项式f*((*f(f*(比较，即可得到Ggi

,g,,g1

n1

]T。⑥把对应与的G，通 过 GTG [g0,g1,,gn1] 。 ⑦ 得 观 测 器 方 程 ，ˆ(AGc)ˆBuGy或ˆAˆBuG〔yˆ)，进一步画出模拟构造图。n3，可由特征值不变原理求状态反响增益矩阵G[g0g1,,gn1，不通过非G[g0,g1,,gn1],得到观测器系统ˆ(AGc,