奔驰定理、极化恒等式、等和线

奔驰定理、极化恒等式、等和线

奔驰定理、极化恒等式、等和线

★奔驰定理

定理如图1,已知尸为

A48c内一点，求证5•万5+

SB-PB+Sc-PC=6,其中

SA、SB、SC分别是ABPC、

ACPA,AAPB的面积.

如图4,由题可知存在人，

从,尸(均不为0),使得入•PA+

fx-PB+yPC=6(1),在直

线或，而，而上取点0,E,F,

使得访=A•PA,PE="•

图4

PByPF=y-PC,/.PD+PE

+尸尸=

0,/n•ySA,ySB

与

&与

一

5C人a/

一-=

===lATPB-

54\+

一"yTPCS

人

--A

o

5CT•*+•=

PCf5X5C

奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关

的三角形面积问题.

例1.假设点0是AABC内的一点，且满足耐+

2赤+3丽=G,贝I」守的值为.

1

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例2.假设点0是NkBC内的一点，且画+20B

+3配二3通+2而+B，则P叽衿扫逐的值

为.

利用奔驰定理可以容易解决如下问题：

例1(2004全国高中联赛)点P在44BC内部

满足豆+2两+3元=6,则S”8c:S'pc为().

(4)2(8)((C)3(4)|-

例2(第26届“希望杯”高二第1试)已知点

4,B,C,P在同一平面内，且而=\~PA.QR="

JJ

QB,BP-~RC,则SMJC:SAPBC=()•

(4)14:3(8)19：4(C)24：5(0)29：6

例3(第25届“希望杯”高二第1试)HAABC

重心的直线PQ交4C于点P,交BC于点Q屈=

■-ACtQC=则n的值是.

例4m设点M在AABC内且为A4BC的外心，

乙84c=30。，若4M8C,AMC4,AK4B的面积分别

是则X+y的最大值是.

4

2

奔驰定理、极化恒等式、等和线

二、应用

例1（2019年清华大学标准能力测试）已知。是

__s

△ABC内一点，殖+2苏+2.

、AABC

结论1已知。是△4NC内一点，匕OA+t2OB+

%说:0,则沁、--——.

3ZVI8CM+‘2+*3

例2（2016年清华大学领军计划自主招生）。为

△内一点，满足〃“阳：S"℃：S⑼=4：3：2,设布=

AAB+从AC,则A=,/JL=.

练习1（宁波市2020学年第二学期期末考）已知P

是△43C内一点,2万+3港+5记=0,则^=____.

、2BPC

练习2（2012年全国联赛山东赛区预赛）已知。

是△4BC内'一点,40=-^~AB+~^-AC,则A0/，B=____.

34'AOBC

三、推广

例3已知。是平面48。内一点,5福+4笳-3比

S

=0,则白这2△013

5二----•

'AORCQ△八BC

结论2已知。是平面48。内一点,小苏+〃沃+%说

=0,771,屋"£R，则二I777I*I

3

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例4(全国高中联赛初赛改编题)已知△45C中，。

为内心,4。=2,=3,46=4,且由=%建+y无，则%+

y的值为.

结论3已知△45。的角对边分别为a,〃,c,

则有：

(1)若点0是内心QQ•OA+b-OB+c>OC

=0;

(2)若点。是△45。外心u>sin24-OA+sin2B・OB

+sin2C•OC=0;

(3)若点、。是AABC垂心QtarM-04+tan5•OB+

tanC,0C=0.

已知点P为AABC内一点，且讨+2PB+4PC=

6,则的面积之比是().

A.9：4：lB.1：4：9C.3：2：lD.4：2：l

推论1若点G为AABC的重心，则福+港+

GC=0.

推论2若点，为ZUBC的垂心，则tan?i•HA

+tanB•~HB+tanC•HC=0.

推论3若点。为4ABC的外心，则sin2.4•OA

+sin2B-08+sin2C-OC=0.

推论4若点/为4ABC的内心，则sin4-7?+

sinB,IB+sinC,IC=0或a,IA+b•IB+c•7c=o.

4

奔驰定理、极化恒等式、等和线

变式应用

已知点P为&ABC的垂心，且不+2方+4记

=0,则cosZ.BPC=.

【典例】已知点O为△ABC内一点，且有示+2和十

3庆=0"己△AbC,Z\B（）C,/SAOC的面积分别为Si，S2,

S3,贝"S,:S2：S3等于)

C.6：1：2D.6：2：1

【变式1】已知P是△ABC内一点，苏=1•（江+

充），则△ABC与AABP的面积之比为（）

A.2B.3

3

C.号D.6

乙

5

奔驰定理、极化恒等式、等和线

【变式2】设D为△"（?的边AB上一点，P为内的

一点，且满足而，祚就，则空山=（）

45

【推广1】面积与向量的结合

【例1】（南京大学自主招生考试）已知O为AABC内的

任意一点，求证：Si（）X+S2&+S3庆=0.（其中S],S2,

S3为△BOC,△AOC,△AOB的面积）

【推广2】“外面的世界更大”——将三角形内部一点推

广至所在平面内的任意一点

设点。为△ABC所在平面内一点，awzGR且满足

+=0,记△BOC,△AOC,△AOB的面积

分别为S|,S2,S3,则S]：S2：S3=|I|：3：|z|.

【例2】（全国高中联赛湖北省预赛）已知点P是△ABC

所在平面上的一点，满足市+领+2拓=3R5.求AABP

面积与△A6C面积之比.

6

奔驰定理、极化恒等式、等和线

【变式】已知P是△ABC外部的一点，满足2届友'=

谈，则△BCP,/SABP,Z\ACP的面积之比为.

引例1(北京市朝阳区2017年高三上学期期

末考试)设。点在A4BC内部，且有“成+y范+

zOC=。，记LAOB.LBOC^AOC的面积分别为

S&AOB，SMOC，SAAOC，(1)若%-J=z=1，则

Swoe:S/^oc=；(2)若％=2,y=3,z=4,

则S4A0B;S&BOC:SAAOC=•

引例2(2018年全国高中数学联赛黑龙江省

预赛)。点在△43C内部，且有而+2强+3而=

G,则ZUBC的面积与A4OC的面积之比为().

(4)2(B)3(C)f3(D)今5

乙D

引例3(2016年清华大学领军计划自主招生)

已知。是△4BC内一点，满足5△408:SABOC:S&COA=

4：3：2,设肃=AAB+〃就，求实数人必的值.

7

奔驰定理、极化恒等式、等和线

引例4（2019年合肥一中联考）已知。是

AABC内一点，设就=A诵+从斤,则人+2以的取

值范围是.'

定理1设。是小43。内一点，且有4万？+

yOBzOC=G,%,y,z为不全为零的实数，记

△AOB,△3OC,ZUOC的面积分别为Sc§岛，则

SA'SB'Sc=X:y：z.

定理2设。是△4BC内一点，记匕AOB,

△BOC,AAOC的面积分别为Sc,Sa,Ss,则•万？+

SB-OB+Sc-OC

定理中点0在三角形边上或外部，会怎样呢？

推广1设。是△4BC所在平面内一点，且有

④苏+,诵+z屁=。,冗,hz为不全为零的实数，记

△AOB,RBOC,XAOC、XABC的面积分别为SCt

SA&S,则S/SjSc=1/l：lyl：lzl,且兴=

ItI

Ix+y+zI'

8

奔驰定理、极化恒等式、等和线

应用举例（高中数学联赛湖北预赛.）已知点

P是△45C所在平面内一点，满足或+P5+2PC=

3蕊.，求AABP与.ZUBC的面积之比.

问题再现（南充市高2018届第二次高考适应性

考试理科题10（简称“题10”））已知点。为△43。内一

点，且有方+2沃+3说=0,记△48C,△8。。，/\AOC

的面积分别为S,,S2,S3，则SJ§2：S3等于（）.

A.6：1：2B.3：1：2C.3：2：1D.6：2：1

变式1设P为AABC内一点，且/二十懑+

■就，则与△然（?的面积之比为（）.

A.43-B.今12C.4-D.三4

5455

变式2设P、Q是△48C内的两点，且/二

W4g+0404。=W4g+，则Saw:S△俐二

9

奔驰定理、极化恒等式、等和线

变式3（2016年清华大学自主招生第26题）

若。为4ABC内一点，满足S△八小S&BOC:S,=

4：3：2,设4。=446+从4a则A+从二.

推广已知点。为4ABC内一点，且有p04+

q加+「说=0,记ABOC,/\AOC的面积分

别为S1,§2,S3,则S.：S2：S3等于—.

定理I已知P为△ABC内一点，则

S4BPCP鼠+S/XCPAP百+S^APBP.=0.

拓展设点。在AsABC内部，且有4+

qOS+rO?=0,其中p,q、r£(0,+oo),则

△AOB,△BOC,AAOC与△ABC的面积比分别

r

为Dq

p+q+->+q+r'pq-\-r

例1（2004年全国联赛）设点。在ZkABC内

部，且有。X+2该+30f=0,求AABC的面积

与△AOC的面积的比值.

10

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例2（2016年清华领军计划）。为ZVIBC内

一点，若：S△及犬S^AOC=4：3：2，设A〉=

入不有+〃4自，则实数义和〃的值分别为（）

442

(A)2(B)

1921

(C)VT

定理2在△A8C中，/为内心，则

aTX+bTB+cT^=0.

推论在△ABC中，/为内心，则

sinA•77r+sinB•IB+sinC-7?=0.

例3已知/XABC的三内角A,B,C所对边

的长依次为a,b,c,M为该三角形所在平面内的一

点，若Q丽才+〃而有+c/=0.则M是AABC

的（）

（A）内心.（B）重心.

（C）垂心.（D）外心.

例4设/为AABC的内心，A8=5,AC=

4,CB=3,^I=xAS+yB?,则y的值

是.

定理3在△ABC中,O为外心，则sin2A•

OX+sin2B-OS+sin2C-C?=0.

11

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例5设P为△ABC的外心，且AX+而+

APC=0,/。=120°,则实数入的值为.

定理4在△ABC中，G为重心，则G天十而

+G?=0.

例6已知O为△ABC内一点，满足稔+

0^+0?=0,A5.Af=2,且ZBAC=件，则

O

△OBC的面积为.

例7（2009年陕西高考题）在/WB。中,M

是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足可？

=2而网带•（拓+京）等于.

定理5在△ABC中，H为垂心，则

tanA•HA+tanB•HB+tanC•HC=0.

例8设H为Z\ABC的垂心,AB=AC=5,

BC=6,AH=mA百+n，求m+n的值.

12

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例9已知O是平面上的一个定点，A,从。

是平面上不共线三个点，动点p满足。声=oX+

A(----F>——)ae[o,+8),贝Ip

廊|cosB|AC|cosC

的轨迹一定通过△ABC的()

(A)外心.(B)重心.

(C)垂心.(D)内心.

例10(2003年天津高考题)已知O是平面

上的一个定点，A,B,C是平面上不共线三个点，动

点P满足。户=oA.+A(।।.)，/G[。，

IABI|A?I

+8),则p的轨迹一定通过△ABC的()

(A)夕卜心.(B)内心.

(C)重心.(D)垂心.

定理6在ZXABC中，/八为ZBAC所对应

的的旁心，则一sinA•IAA+sinB-+sinC•

7^=o.

13

奔驰定理、极化恒等式、等和线

★极化恒等式

极化恒等式如图1,AOPQ中，H是

---►--->1

PQ中点，则OP-OQ=OH?一^PQ2.（证明过

4

程略）

变式推广ZXOPQ中，过PQ中点H作

线段MN,且MN与PQ互相平分，则

OM2+ON2-PM--PN2

OP•OQ=

2

证明如图2,记9=。，述=8.0法=

c,ON=d,

由题意则a+b=2OH=c+d，

(c)2+(d)2+2c(a+6—c)—(a)2—(h)2

~1T

(c)24-(d)2—(a—c)'—(b—c)'

-

()M2+()N2-PM--PN2

2

14

奔驰定理、极化恒等式、等和线

(1)极化恒等式的代数形式

(4+1)2=42+2日・1十12①

—b=~a2~2~a•b+b2②

①式一②式得(a+〃”一(a—〃”=4a,b.

—6）21极化恒等式.

推论1（极化恒等式

的平行四边形模式）如图1,

在平行四边形ABCD中，有

---►---►1--->

AB-AD=—（\AC\2-

4

|BD|2）.

推论2（极化恒等式的三

角形模式）如图2,在AABC中，

若M是的中点，则有

AB•AC=AM2-MB2=

AM2--^BC2.

4

--->---A

证明：由于M为BC的中点，则有MC=—MB.

--->--->---->--->--->--->

从而AB・AC=(AM-\-MB)・(AM+MC)=

(AM+MB)•(AM-MB)=AM--MB2=AM2-

1―►

VBC2.

4

故得证.

15

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例1（2022年北京卷，10）在△ABC中，

AC=3,BC=4,ZC=90°,P为△AXC所在的

平面内的动点，且PC=1,则前­班的取值

范围为().

(A)[—5,3]

(B)[—3,5]

(C)[—6,4]

(D)[—4,6]

例2（2021年天津卷，15）在边长为1的

等边三角形AbC中，D为线段3C上的动点,

DE±AB且交AB于

E.DF//AB交AC于

（DE+DF）•DA

的最小值为.

例3已知单位圆上

有三个点八，3,。，求谶

­衣的最小值.

16

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例1（2018天津高考试题）如图，在平面四边形

ABCD中，八B_[_BC,AD_LCD，NBAD=120°,AB=

AD=1.若点E为边CD上的动点，则旗•碗的最小

值为（）.

A21

A，16

、25

c—D.3

46

A

例2（2020年天津高考试题）如图4,在四边形

--------►------A

ABCD中，/8=60°,48=3,8。=6,且八。=；1BC,

—►—>3

AD-AX=一歹，则实数A的值为；若M,N

乙

AAA

是线段BC上的动点，且|MN|=1,则DM-DN的最

小值为.

例3已知正三角形ABC内接于半径为2的圆

O,E为BC上的一动点，延长AE交圆O于点F,求

FA•届的取值范围.

图5

17

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例4如图6,已知正方形ABCD的边长为4,点

E为A3的中点.以A为圆心，AE为半径，作圆弧交

AD于点F.若P为劣弧EF上的动点，则正•赤的

最小值为.

公式妙用

1.以三角形或多边形为背景

例1（2018浙江高中数学联赛题）设|篇I二

10,若平面上点P满足，对于任意力wR，恒有|不-

看46|三3,则P4-P3的最小值为,此时

\PA+PB\=.

练习1’（2019添州模拟题）C

如图3,在平面四边形ABCD中，猱//1

AB_LBC,ADLCD,ABCD=60°,

CB=CD=2耳.若点、M为边BC\/\

上的动点，则嬴,加的最小值为A--------D

.（答案:日）图3

18

奔驰定理、极化恒等式、等和线

2.以圆为背景

例2(2016浙江联考

题)如图4,圆()为RlZUBC的

内切圆，已知4c=3,8。=4,

乙C二90。，过圆心。的直线/

交圆。于P,Q两点，则m・

万的取值范围是.图4

例3如图3,半径为4的圆。上有三点

4,8,。，满足。4+n方+玄=0,点P是圆

O内一点，贝U户丸・FO+PB•前的取值范

围是()o

图3

A.[—16,56]B.[0,16]

C.匚一8,56口D.[16,64]

19

奔驰定理、极化恒等式、等和线

基础训练

(1)如图2,在平行四边形ABCD中，AB=6,

AD=4,点P是边CD的中点，则网­PS的值

为.

图2图3图4

(2)(2017年江苏省盐城市高三上学期期中试

题17题)如图3,在四边形ABCD中，||=4,

这・/=12,E为AC的中点.若砒=2而，求

M・D?的值.

(3)(2012年江苏省南京市高三二模13题)如

图4,在△ABC中，点分别是线段AB,AC的中

点，点P在直线EF上.若△ABC的面积为2,则而

•的十或2的最小值是.

20

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例1（2019年江苏省苏

州市高三上学期期中试题13

题）如图5,在平面四边形

ABCD中，AB_LBC,ADJ_

CD,ZBCD=60°,CB=CD

=2篇.若点M为边BC上的

动点，则入而­DM的最小值为

例2已知a,b,c是同一平

面内的三个单位向量，且aJ_b,

则（c—a）•（c—b）的最大值为

例3（2017年高考全国D卷理科第12题）已

知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC

内一点，则前•（而+P?）的最小值为.

21

奔驰定理、极化恒等式、等和线

如图8,在等腰梯形ABCO中，AB=4,ZBAD

=60°,A5=2左，E为边CD的中点，M是梯形

ABCD所在平面内一点，则破­（M?+M）的最

小值为.（答案：一得.）

乙

例4如图9,在△ABC中，D、E分别是BC、

AD的中点，豆4•ET=4,DC-D8=—1,则就・

c£的值为.

如图10,在△ABC中，。是BC的中点，E、F是

AD的两个三等分点，豆彳•这=4,m-E=—1,

则至・c£的值是.（答案：j）

O

22

奔驰定理、极化恒等式、等和线

例5（2020年江苏省扬州市高三一模第13

题）已知点D为圆0：〃+丁=4的弦MN的中点，

点A的坐标为（1,0）,且丽­AN=1,则次•OS

的最小值为.

例6（2013年浙江省高

考数学理科卷第7题）设

△ABC中，P°是边AB上一定

点，满足RB=+AB,且对于

边AB上任一点尸，恒有的­

图12

A.ZABC=90°B.ZBAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

巩固练习

（D如图13,放置的边长

为1的正方形ABCD,顶点A、

。分别在。轴、y轴正半轴（含

原点）上滑动，则3・笈的最

大值为.

（2）已知MN为边长为

2同的等边AABC的外接圆

的一条动弦,MN=4,P为

△ABC的边上的动点，则丽克•PN的最大值

为________

23

奔驰定理、极化恒等式、等和线

(3)在锐角/XABC中，A,B,C所对的边分别为

。，仇“且。=2,6+c=4,则A5・/的取值范围是

(4)在△ABC中，tanA=-3,AABC的面积

SAABC=l,Po为线段BC上一定点，且满足CP。=

若P为线段BC上任意一点，且恒有网・P?

O

＞耳克・冗古，则线段BC的长为.

★等和线

1等和线的定义

如图1所示，直线DE//AI3,C为直线DE上任

一点•设正=a-PA+yPB(.r，3-eR).

(1)当直线DE经过点

P时,容易得到才+y=L

(2)当直线DE不过点

P时，直线PC与直线AB

的交点记为F.因为点F在

直线AB上,所以由三点共

线结论可知若评=入前十〃寇R),则；1+

幺=1.

由△PARS△PAFs^PEC,可知存

在一个常数止R.使得--匹A〜尸”其中£=I时PCI=

\PE\_\PD

)•则

\PA\~\PB\

~PC=kPF=kX前+配RB.

又因为育=才示+)同(才~62,所以

x=kX+A"=h.

24

奔驰定理、极化恒等式、等和线

2等和线定理

平面内一组基底前.刀及任一向量港满足：

PF=A前十〃前a.〃GR）,若点F在直线八3上

或在平行于AB的直线上，则;1+幺=4（定值），反之

也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线

称为等和线.

3应用举例

亍例1给定两个长度为1的平面向量永和标.

它们的夹角为三，如图2所示,

点C在以O为。心的圆弧AB

上运动，若不：=73X+_y而

（z.yGR）,则I+»的最大值

是.

于例2（2017年全国【II卷理12）在矩形A8CD

中，AB=1.AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD

相切的圆上.若启=入荏+幺彷•则入+〃的最大值

为（）.

A.3B.25/2C.>/5［）,2

亍例3如图7所示.圆O是边长为26■的等边

△ABC的内切圆，其与8C边

相切于点力，点M为圆上任意

一点.施=/前十y就（h.

）eR）,则2父+）的最大值

为（）.

A.72B.73图7

C.2D.2"

25

奔驰定理、极化恒等式、等和线

在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,aKb.动点、P在以C

为圆心且与相切的圆上，如图所示，若不下=1不再十

了不方(I,_yGR),求/+》的最大值.

在△ABC中，AB=c,AC=〃，/8AC=a，四边形BCDE

为平行四边形，点O在线段DE上，如图所示，动点。在以

。为圆心且与BC相切的圆上，圆。的半径为厂，若办=

x不有+y(zoGR),求x-\-y的最大值.

26

奔驰定理、极化恒等式、等和线

7T

在△/8C中，A=~,AB=AC=2,下述四个结论中正确

2

的是（）

__.1—.।__.

A.若G为AABC的重心,则=+

33

B.若P为/。边上的一个动点，则力户•（4月+力乙）为定值2

C.若M,N为以?边上的两个动点，且AW=&,则血的最

3

小值为-

2

D.已知。为△45C内一点，若BP=1,且刃;=九而+〃蓝，则；1+JJ〃的最大值为2

牛刀小试1.如图，在扇形048中，乙40B=60。，点、C为弧AB上的一个动点、.若无=

x（）A+y（）B,则x+3y的取值范围是.

牛刀小试2.如图，在正方形力成7）中,£为48的中点，P为以力为圆心、力8为半径的圆

弧上的任意一点，设向量4（；=4力+〃力户,则4+4的最小值为