北师大初一数学《整式及其加减》基础提高巩固练习、知识讲解

【巩固练习】

一、选择题

1.（•富顺县校级模拟）在-3,n2-b-2%-2,--x2y,六个代数式中，

71-2

是单项式的个数（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.（•厦门）已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是（）

A.-2xy2B.3x2C.2xy3D.2x'

3.有下列式子：-x+yz,3X2-2X-3,abc,0,工，x,竺对于这些式子

22xab

下列结论正确的是（）.

A.有4个单项式，2个多项式

B.有5个单项式，3个多项式

C.有7个整式

D.有3个单项式，2个多项式

4.对于式子一1.2xl（）4Vy,下列说法正确的是（）.

A.不是单项式

B.是单项式，系数为-1.2X10,次数是7

C.是单项式，系数为-1.2X10,，次数是3

D.是单项式，系数为-1.2,次数是3

5.下面计算正确的是（）

A.3X2—x?=3B.C.3+x=3xD.-0.25cib+—bci-0

4

6.2a-(5b-c+3d-e)=2aD5bDcEJ3dDe,方格内所填的符号依次是().

A.+,+,-B.+,-

C.+,+D.+,-

7.某工厂现有工人a人，若现有工人数比两年前减少了35%,则该工厂两年前工人数为

().

B.(1+35%)aD.(1-35%)a

1+35%1-35%

8.若2y?+3y+7的值为8,则4y?+6y-9的值是（）.

A.2B.-17C.-7D.7

二、填空题

9.比x的15%大2的数是.

10.（•中江）单项式-lx?/的次数是

2

11.-二+3尤2+7是______次项式，最高次项的系数是—

2

12.化简：2a-（2aT）=.

13.如果/+。/?=4,ab+b2=-1,那么。=

14.一个多项式减去3x等于5/—3x-5,则这个多项式为.

15.(春•永春县校级月考)若系2m-5产与_3ab3f的和为单项式，则m+n=.

16.如图所示，外圆半径是R厘米，内圆半径是r厘米，四个小圆的半径都是2厘米，则图

中阴影部分的面积是平方厘米.

三、解答题

17.(秋•镇江校级期末)合并同类项

①3a-2b-5a+2b

②(2m+3n-5)-(2m-n-5)

(3)2(x2y+3xy2)-3(2xy2-4x2y)

3

18.己知：A=2/+6x—3,B=l-3x-x2,C=4x2-5x-\,当％=-一时，求代数式

2

A-3B+2c的值.

19.计算下式的值：

(2d—4/y_2x2y2)-(x4-2x2y2+/)+(-x4+4/y-/)

其中》=’,丫=一1,甲同学把x错抄成x=—!•，但他计算的结果也是正确的，你能说

444

明其中的原因吗？

20.某农场有耕地1000亩，种粮食、棉花和蔬菜.其中蔬菜用地a亩，粮食用地比蔬菜用

地的6倍还多b亩，求棉花用地多少亩？当a=120,b=4时，棉花用地多少亩？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A

【解析】解：-3,-Lx,是单项式.注意-2X-2是分式，一，，是根式.故选：A.

K

2.【答案】D.

【解析】此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母.

A、-2xy2系数是-2,错误；B、3x“系数是3,错误；C、2x/次数是4,错误;

D、2/符合系数是2,次数是3,正确；故选D.

3.【答案】A

【解析】单项式有2,abc,0,x；多项式有4x+yz,3X2-2X-3,其中上，—

22xab

不是整式.

4.【答案】C

【解析】此单项式的系数是以科学记数法形式出现的数，所以系数为-1.2X10',次数应

为X与y的指数之和，不包括10的指数4,故次数为3.不要犯“见指数就相加”

的错误.所以正确答案为C.

5.【答案】D

6.【答案】C

【解析】因为括号前是“一”号•，所以去括号时，括号里各项都变号，故选C.

7.【答案】C

【解析】把减少前的工人数看作整体“1”，已知一个数的(1-35%)是a,求这个数，则是

a，注意列式时不能用“+”号，要写成分数形式.

1-35%

8.【答案】C

【解析】2y2+3y+7=8,2y2+3y=1,4/+6y=2(2/+3j)=2x1=2,故

4j2+6j-9=-7.

二、填空题

9.【答案】15%x+2；

10.【答案】7.

11.【答案】三，三，—L

2

【解析】多项式的次数取决于次数最高项的次数，确定系数时不要忽视前面的号.

12.【答案】1；

【解析】先根据去括号法则去括号，然后合并同类项即可，2a-(2aT)=2a-2a+l=l.

13.【答案】5；

【解析】用前式减去后式可得/-/=5.

14.【答案】5X2-5；

【解析】要求的多项式实际上是(5V—3X-5)+3X,化简可得出结果.

15.【答案】4；

【解析】解：2m-5尸与-3ab3T的和为单项式，

2m-5=1,n+l=3-n,

解得：m=3,n=l.

故m+n=4.

故答案为：4.

16.【答案】(万/?2—万/一16万)；

【解析】阴影部分的面积=大圆面积-最中间的圆的面积-4个小圆的面积.

三、解答题

17•【解析】

解：(1)原式二(3a-5a)+(-2b+2b)=-2a；

(2)原式二2m+3n-5-2m+n+5=(2m-2m)+(3n+n)+(-5+5)=4n；

(3)原式=2x'y+6xy，-6xy2+12x，=(2xJy+12x2y)+(6xy2-6xy2)=14x2y.

18.【解析】

A2x2+6x3,

A2x?+6x3,

解：“S=—x"3x+1,-3B=3x2+9x-3,

C-4x2-5x-l.2C=8X2-10X-2.

A—3B+2c=13x?+5x—8

当x=-3时，，

2

人□£>c厂/32</3915117303

A~3B+2C=11Q3x(—)+5x(—)—8=13x---------8=-------------8=13--

2242444

19.【解析】

解：(2x4-4x3y-lx1y2)-，—2x2/+/)+(-x4+4x3y-y3)

=2x4-4x3y-2x2y2-x4+2x2y2~y3-x4+4x3y-y3

=-2y3

•.•化简结果与x无关

二将x抄错不影响最终结果.

20•【解析】

解:棉花用地：1000-a-(6a+b)=(1000-7a-b)H.

当a=120,b=4时，原式=1000—7X120—4

=156(亩).

答：棉花用地(1000-7a-b)亩.当a=120,b=4时,棉花用地为156亩.

《整式及其加减》全章复习与巩固（基础）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.

2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的

联系.

3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数,式的值推断代数式反映的规律.

4.理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

5.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整

式的加减运算、求值；

6.深刻体会本章体现的主要的数学思想一一整体思想.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、代数式

诸如：16n,2a+3b,34,—,（。+。尸等式子，它们都是用运算符号（+、一、X、

2

・、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个

数或一个字母也是代数式.

要点诠释：代数式的书写规范：

（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“•”或省略不写；

（2）除法运算一般以分数的形式表示；

（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；

（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的

形式；

（5）如果字母前面的数字是1,通常省略不写.

要点二、整式的相关概念

1.单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单

项式.

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数.

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.

要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项.

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式.

3.多项式的降辕与升哥排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个

字母降事排列.另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把

这个多项式按这个字母升累排列.

要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时.，各项应带着它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幕或升幕排列.

4.整式：单项式和多项式统称为整式.

要点三、整式的加减

1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都

是同类项.

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关.

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不

变.

3.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都

不改变；括号前面是把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改

变.

4.添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括

号前面是“一”，括号内各项的符号都要改变.

5.整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减

号连接，然后去括号，合并同类项.

要点四、探索与表达规律

寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.

解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.

【典型例题】

类型一、代数式

C1.（春•滨海县校级月考）做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）

长宽高

小纸盒abc

大纸盒3a2b2c

（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）

（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）

【思路点拨】（1）根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积，再相加化简可得；

（2）根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减，化简可得.

【答案与解析】

解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac,

答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米.

（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3aX2bX2c-abc=llabc,

答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大llabc立方厘米.

【总结升华】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，准确表示出各部分的面积或体积

是关键.

举一反三：

【变式】------的意义是()

a+b

A.a与6差的2倍除以a与的和

B.a的2倍与b的差除以a与6和的商

C.a的2倍与6的差除a与6的和

D.a与方的2倍的差除以a与6和的商

【答案】B

类型二、整式的相关概念

C2.指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项

式的请说出是几次几项式.

2XX7774-Z7

(1)a-3(2)5(3)--b(4)--y(5)3xy(6)-(7)(8)1+a%

a27t5

⑼g(a+b).拉

【答案与解析】

解：整式：⑴、⑵、⑷、(5)、⑹、⑺、⑻、(9)

单项式：⑵、⑸、(6),其中：

5的系数是5,次数是0；3xy的系数是3,次数是2；二X的系数1是次数是1.

"n

多项式：⑴、⑷、⑺、⑻、(9),其中：

4-77

a-3是一次二项式；x是一次二项式；丝m”是一次二项式；1+a%是一次二项式；

!3+加•。是二次二项式.

2

【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故士2-〃不是整式；②五是常数而不是字

a

Y

母，故土是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项

71

式中不能有加减.如m丝4士-YI其实质为‘tn+白n，I勿〃其实质为上'\Rz+上16/2.

555222

举一反三：

【变式1】(1)-^3的次数与系数的和是；

(2)已知单项式6/y的系数是等于单项式—2x"?5的次数，则m=；

(3)若，〃是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9,则-m+n=.

【答案】(1)3(2)1(3)-5

【变式2】多项式2y4—V+3y2—y+i是次项式，常数项是,

三次项是.

【答案】四，五，1,—y3

【变式3】把多项式1一3%一2丁+5/按*的降事排列是

【答案】—+5厂—3x+1

类型三、整式的加减运算

C%.(•遵义)如果单项式-xyb”与L—y3是同类项，那么(a-b)=

2

【答案】1.

【解析】

解：由同类项的定义可知

a-2=1,解得a=3,

b+l=3,解得b=2,

所以(a-b)=1.

【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入

求解即可.

举一反三：

【变式】若7x"y4与一是同类项，则a=,b=

【答案】5,4

^^4.计算3/—2(1—2月一[5/一(4%2一3%+6)】

【答案与解析】

解法1：3x~—2(1—2x)—[5%2—(4%2—3x+6)]

=3x2-24-4x-(5x2-4x2+3x-6)

=+4x—2——3x+6

=2x2+x+4

解法2：3x2-2(1-2x)—[5x2—(4x2—3x+6)]

=3x~—2+4x—5x~+(4x~—3x4-6)

=—2x^+4x—2+4Y—3x+6

=2X2+X+4

【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过

程中要注意符号的变化.若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号

前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号.

举一反三：

【变式1】下列式子中去括号错误的是().

A.5x—(x—2y+5z)=5x—x+2y~5z

B.2a'+(—3a—6)—(3c—2d)=2a—3a—b—3c+2d

C.3x—3(x+6)=33—3x—6

D.—(x-2y)—(~x+y)=~x+2y+x—y

【答案】C

【变式2】化简：-2a+(2aT)的结果是().

A.-4a_lB.4a-lC.1D.-1

【答案】D

类型四、化简求值

@5.⑴直接化简代入

已知x=；,丁=一1，求5(2x?y—3x)—2(4x-3》2y)的值.

(2)条件求值

(烟台)若3x，2与的和是单项式，则加，=

(3)整体代入

已知x2-2y=1,那么2x2-4y+3=.

【答案与解析】

解：(1)5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)

=10x2y-15x-8x+6x2y

=16x2y-23x

当x=—,y=T时，

2

(1V12331

原式=16x—x(-l)-23x-=-4---=

⑶222

(2)由题意知：和是同类项，所以m+5=3,n=2,解得，m=-2,n=2,

所以/=(—2)2=4.

(3)因为2/-4y+3=2(f-2y)+3,而％2-2丁=1

所以2x2—4y+3=2xl+3=5.

【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之

间的联系.

举一反三：

【变式1】(•娄底)己知a?+2a=l,则代数式2a?+4a-1的值为()

A.0B.1C.-1D.-2

【答案】B

【高清课堂；整式的加减单元复习388396经典例题7】

【变式2］已知一加+2〃=5,求5(m-2〃)2+6〃-3，〃一60的值.

【答案】5(//i-2n)2+6»-3m-60=5(/M-2n)2+3(2〃-⑼-60

.-m+2n=2n-m=5

所以，原式=5x52+3x5—60=80.

类型五、探索与表达规律

CG.将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折

时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可

以得到条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.

笫一次对折笫二次”折第三次对折

【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕

比所分成的部分数少1,求出第4次的折痕即可；

再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数.

【答案】15,2--1

【解析】

解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，

第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，

第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，

所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，

***,

依此类推，第n次对折，把纸分成2"部分，2"-1条折痕.

故答案为：15；2-1.

【总结升华】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解

题的关键.

类型六、综合应用

【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题1]

7.已知多项式（2m：2_了2+3x+l）-（5万2一4;/+3x）是否存在m,使此多项式与x无

关？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值.

【答案与解析】

解：原式=（2/〃-1—5）f+（3—3）x+4/+l

=Qin-6）x2+4y2+1

要使原式与x无关，则需该项的系数为0,即有2m—6=0,所以/”=3

答：存在加使此多项式与x无关，此时”的值为3.

【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为0.

【巩固练习】

—•、选择题

1.A、B、C、D均为单项式，则人+1^^>4）为（）.

A.单项式B.多项式

C.单项式或多项式D.以上都不对

2.下列计算正确的个数（）

①3a+2b=5ab；②5y2-2y2=3；③4x2y-5y2x=x2y；

④3x2+2%3=5x5；⑤—3xy+3xy=xy

A.2B.1C.4D.0

3.现规定一种运算：a*b=ab+a-b,其中a,b为有理数，则3*5的值为（）.

A.11B.12C.13D.14

4.化简（—l）"a+（-1）"%（n为正整数）的结果为（）.

A.0B.-2aC.2aD.2a或-2a

5.己知a-b=-3,c+d=2,则（b+c）-（a-d）为（）.

A.-1B.-5C.5D.1

6.有理数a,b,c在数轴上的位置如右图所示，则|a+c|+|c—母—性+4=（）

A.-2bB.0____________________.一

C.2cD.2c-2babg_c

7.（•临沂）观察下列关于x的单项式，探究其规律：X,3x2,5*3,7个,9x5,11x1…

按照上述规律，第个单项式是（）

A.xB.4029xC.4029xD.4031x

8.如果2-（/〃+1）。+废-3是关于。的二次三项式，那么％n应满足的条件是（）.

A.m=l,n=5B.mWl,n>3

C.m#T,n为大于3的整数D.mWT,n=5

二、填空题

9.（•大丰市一模）若-2a%"与5a2bH"是同类项，则m+n=.

10.（1）x2-xy-^-y2=x2-（）；

（2）2a-3（b-c）=.

（3）5%2-6x+1—（）—7x+8.

11.当6=时，式子2a+ab-5的值与a无关.

4

12.右a—bc——>则30（/?—ci—c）—.

13.某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第二天比第一天多12件，第三天是第一天的

2倍，则该服装店这三天共卖出服装件.

14.当时，多项式x—^kxy-^y――xy—8中不含灯项.

3

15.(•河北)若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=.

16.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋

子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚

棋子，摆第n个图案需要枚棋子.

•••••••••・・・

••••••••••••

三、解答题

17.(春•高密市校级月考)先化简，再求值.

(a2+l)-3a(a-1)+2(a2+a-1),其中a=-1.

18.已知：a为有理数，cc'+CL~+tz+1—0,求1+a+。-+a"+a'+…+的值.

19.如图所示，用三种大小不同的六个正方形

和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,-------------------p——

其中，GH=2cm,GK=2cm,设BF=xcm,

(1)用含x的代数式表示CM=cm,

DM=cm.

(2)若x=2cm,求长方形ABCD的面积.

GK

H

BC

20.测得一弹簧的长度L(厘米)与悬挂物体的质量x(千克)有下面一组对应值:

悬挂^体的质量X孑克)012345678・・・

弹簧的长度L(M米)1212.51313.51414.51515.516•・・

试根据表中各对对应值解答下列问题：

(1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L.

(2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？

(3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？

(4)若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克?

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C

【解析】若A、B、C、D均为同类项，则A、B、C、D的和为单项式，否则为多项式，故

选C.

2.【答案】D

3.【答案】C

【解析】按规定的运算得：3*5=3X5+3-5=13.

4.【答案】A

【解析】分析两种情况，当n为偶数时，(-(-1)向=-1,当n为奇数时,

(一(-1)"+1=1,无论哪种情况，结果都是0.

5.【答案】C

【解析】(b+c)-(a-d)=b+c-a+d=-a+b+c+d=-(a-b)+(c+d)

当a-b=-3,c+d=2时，原式=-(-3)+2=5,所以选C.

6.【答案】B

7.【答案】C.

8.【答案】D

【解析】由题意得：n-3=2且m+IWO,得n=5且mWT.

二、填空题

9【答案】-1.

【解析】由-2a"b'与5a是同类项，得,解得[匹2.m+n=_L

ln+7=41n=-3

10.【答案】xy—y~2.ci—3b+3c;5x--13x-7

11.【答案】-2

【解析】2a+ab-5=(2+b)a-5.因为式子的值与a无关，故2+b=0,所以b=-2.

12.【答案】-24

4

【解析】因为a—b+c与b—a-c互为相反数，又因为a—匕+。=一，

5

所以b_a-c=_1,由止匕可得30屹_々_。)=30*[—1)=一24.

13.【答案】4a+12；

【解析】a+(a+12)+2a=4。+12.

14.【答案】一1；

9

【解析】一3攵一1=0,解得忆=一」.

39

15.【答案】1；

【解析】解：原式=-3mn+3m+10,

把mn=m+3代入得：原式二-3m-9+3m+10=l,

故答案为：1.

16.【答案】127,3〃2+3〃+1.

【解析】•••第1个图形需要7=1+6X1枚棋子，

第2个比第1个多12个，即l+6X(l+2)枚，

第3个比第2个多18个，BP1+6X(1+2+3)枚，

第4个比第三个多24个，即1+6X(1+2+3+4)=61枚.

...,二第n个比第(n-D个多6n个,即1+6*(1+2+3+4+…+n)=3n?+3n+l枚.

三、解答题

17•【解析】

解：原式=a2+l-3a2+3a+2a2+2a-2=5a-1,

当a=-1时，

原式=-5-1=-6.

18.【解析】

解：1+。+。2+/+/+…+/2

=1+4/(1+tz+G~+/)+a，(1+a+a~+/)+…+(1+tz+ci~+ci^)

=1+0=1

19.【解析】

解：(1)x+2,2x+2(或3x).

(2)长方形的长为：x+x+x+x+2+x+2=14cm,宽为：4x4-2=4x2+2=10cm.

所以长方形的面积为：14xl0=14(kw2.

20•【解析】

解：⑴L=0.5x+12.

(2)将x=10,代入L=0.5x+12,得L=0.5x+12=0.5xl0+12=17(cm)

所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17cm.

(3)将L=18,代入L=0.5x+12,得18=0.5x+12,解得x=12

二若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为12千克.

(4厂.♦弹簧的长度不超过20厘米，即LW20,

A0.5x4-12<20,得xW16

,若要求弹簧的长度不超过20厘米，则所挂物体的质量不能超过16千克.

《整式及其加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

责编：杜少波

【学习目标】

1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.

2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的

联系.

3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数,式的值推断代数式反映的规律.

4.理解并掌握单项式与多项式的相关概念；

5.理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整

式的加减运算、求值；

6.深刻体会本章体现的主要的数学思想一一整体思想.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、代数式

诸如：16n,2a+3b,34,—,（。+。尸等式子，它们都是用运算符号（+、一、X、

2

・、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个

数或一个字母也是代数式.

要点诠释：代数式的书写规范：

（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“•”或省略不写；

（2）除法运算一般以分数的形式表示；

（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；

（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的

形式；

（5）如果字母前面的数字是1,通常省略不写.

要点二、整式的相关概念

1.单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单

项式.

要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数.

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和.

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.

要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项.

(2)多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.

(3)多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式.

3.多项式的降塞与升哥排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个

字母降事排列.另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把

这个多项式按这个字母升累排列.

要点诠释：(1)利用加法交换律重新排列时.，各项应带着它的符号一起移动位置；

(2)含有多个字母时，只按给定的字母进行降幕或升幕排列.

4.整式：单项式和多项式统称为整式.

要点三、整式的加减

1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都

是同类项.

要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

(1)“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

(2)“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关.

2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不

变.

3.去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都

不改变；括号前面是把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改

变.

4.添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括

号前面是“一”，括号内各项的符号都要改变.

5.整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减

号连接，然后去括号，合并同类项.

要点四、探索与表达规律

寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.

解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.

【典型例题】

类型一、代数式

C1.某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销

制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额

打九折付款.八年级(5)班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x

(xN10)本.

(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.

(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30本，试问小明应该选择哪一种优惠方

式才更省钱.

【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，

把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小.

【答案与解析】

解:设买练习本X,则得两种购买方法的代数式为：

(1)代数式分别为：

25X10+5(x-10),

（25X10+5x）X90%

（2）把x=30分别代入两个代数式：25X10+5（x70）=25X10+5（30-10）=350（元）

（25X10+5x）X90%=（25X10+5X30）X90%=360（元）

所以选择第一种优惠方式.

【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型.

类型二、整式的相关概念

C2.（春•新泰市期中）下列说法正确的是（）

A.1-xy是单项式B.ab没有系数

C.-5是一次一项式D.-a'b+ab-abc?是四次三项式

【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项

式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，

可得答案.

【答案】D.

【解析】解：A、1-xy是多项式，故A错误；

B、ab的系数是1,故B错误；

C、-5是单项式，故C错误；

D、-a%+ab-abc?是四次三项式，故D正确；

故选：D.

【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项

式是多项式的项.

举一反三：

【变式1】（•佛山）多项式2a2b-ab?-ab的项数及次数分别是（）

A.3,3B.3,2C.2,3D.2,2

【答案】A

2a?b-ab?-ab是三次三项式，故次数是3,项数是3.

【变式2】若多项式（加+4）/+£”|一5x—（〃—机+2）是关于x的二次三项式，则

m=,n=,这个二次三项式为.

【答案】-4,3,X2-5X-9

类型三、整式的加减运算

n+\

.若与一'x'V"'是同类项，求出m,n的值，并把这两个单项式相加.

35

【答案与解析】

解：因为网广加一）与-

〃+1昌2〃-1是同类项,

35

3m-l=5,m=2,

所以《解得《

2n-l=l.n-\.

当〃?=2且〃=1时,

〃+1丁肝〃一1)=%二/(口岛=*5

+(—

5353515-

【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相国字殍的指数也要相同.其中,

常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并.

举一反三：

【变式】合并同类项.

⑴-4孙+4/-5/+2孙一2/；

⑵5孙］。2-%+9/4肛-巧_5.

【答案】

⑴原式=(3—5)/+(-4+2)孙+(4-2)V

—2x~—2xy+2y

⑵原式=(5一,一？卜y+(一■|'X3y2+33/2)_彳3,_5

3

=-4%3,2-%y-5.

的值”时，马小虎把"”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？

请你说明原因.

【答案与解析】

解：原式=6x'+4x+9x+6-6x2-18x+16=22,

结果不含x,故原式化简后与x的取值无关，

则马小虎把"”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的

【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得

到最简结果，根据结果不含x,即可得证.此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运

算法则是解本题的关键.

举一反三：

【变式1】已知力=/+27—z,B——4>r2+3y+2/,且1+8+C=0,则多项式。为().

A.^x—y-zB.3x~—5y—z

C.3%—y—3z2D.3%—5y+z

【答案】B

【变式2】先化简代数式—(3。2_5。+1)_；4—5]},然后选取一个使原式有

意义的a的值代入求值.

21[「]F2[1

[答案]_。_《一。2_(302-5«+1)__a-5\\^-a-[-a2~(3a2-5a+la-5)]

2/2/C216八I2/I2c216八

=-ci—I—ci—(3ci---Q—4)1=—Q—(—ci—3ciH---Cl+4)

333333

2,8216八2816,8214,

=­a—{—aH--a+4)=—a+—a2---a-4=—a----a-4.

33333333

当a=0时，原式=0-0-4=-4.

【变式3】(1)(x+y)2—10x—10y+25=(x+力z—10()+25;

(2)(a—6+c—d)(a+b—c—"=[(a-d)+()][(a—d)—()].

【答案】(1)x+y；(2)—/>+c,—b-\-c

类型四、化简求值

05.⑴直接化简代入

当02时，求代数式15步一{—4#+[5a—8，一(24—a)+9益一3a}的值.

(2)条件求值

已知(2a+，+3)2+|b—1|=0,求3a—3[2b—8+(3a—2b—1)—a]+1的值.

(3)整体代入

(鄂州)已知加+加一1=0，求田+2m2+2009的值・

【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行

求解.

【答案与解析】

解：(1)原式二15才一[—4，+(5a—8才一2才+a+9，)-3a]

=15,一[—4，+(6a—3)-3a]