北京市20223届高三上学期10月月考数学试题

北京十四中2022-2023学年度第一学期10月检测

高三数学测试卷

出题人:黄子鑫审核人:刘莉梅

班级:姓名:

注意事项:

1.本试卷共两页,共21道小题,满分150分.考试时间120分钟.

2.在答题卡上指定位置贴好条形码,或填涂考号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.

4.在答题卡上,选择题用2B铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.答题不得使用任何涂改工具.

ー、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项.

1.已知集合A={x|-3<x<2},3={x[-2<x<3},则AUB=()

A.(-3,3]B.(-3,3)c.(-3,2]D.(-2,2]

2.在复平面内，复数z=(l+2i)i对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限

cos(A+B)=g,则じ=(

3.在へ4BC中,若。=2,b=3,)

A.VF7B.4C.V15D.3

4.若双曲线吟一か的一条渐近方程为yヰx,则双曲线c的离心率为()

A.12

B.-c.2D.2

232

5.如图,在直三棱柱ABC—A4G中,点E，ド分别是棱4G，的中点,则下列结论

中不正确的是(

AE

A.CC,//平面4AB48.んド//平面44。1

C.Eド//平面A|A88]D.AEI/平面BjBCCy

Y<■Q

的值域为R,则实数。的取值范围是（）

2A-a.x>0

A.a<0B.tz>0C.a<\D.a>l

7.已知｛叫为等比数列,S”为其前〃项和,若§2=3%,4=%,则s〈=（）

A.7B.8C.15D.31

8.已知函数/（x）的图象在区间［0,2］上连续不断,则“/（0）+/（1）+/（2）=〇”是"/（刀）

在［0,2］存在零点”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期,2060年实现碳中和，到

2060年,纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%,新型动カ电池迎来了蓬勃发展

的风ロ，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位:Ah）,放电时间「（单位:h）与放

电电流/（单位:A）之间关系的经验公式:C=/"・7,其中〃为Peukert常数.为了测算某

蓄电池的Peukert常数〃,在电池容量不变的条件下,当放电电流/=20A时,放电时间

r=20h;当放电电流，=30A时,放电时间ナ=10h.则该蓄电池的Peukert常数〃大约为

（）.

（参考数据：lg2=0.30,1g3«0.48）

45

A.-B.-D.2

33《

10.设集合A的最大元素为〃,最小元素为〃7,记A的特征值为X.=Mー机，若集合中只

ー个元素,规定其特征值为〇.已知A，A,んコ，…，ん是集合N的元素个数均不相同

非空真子集,且Xヘ+乂4+*&+-+*4=120,则"的最大值为()

A.14B.15C.16D.18

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11.在(五一2]的展开式中，常数项为_________.(用数字作答)

IX丿

12.已知点A(2,4)在抛物线C:y2=2〃x上，ド为抛物线C的焦点,0为坐标原点.则抛物

线C方程为;厶40E的面积为.

13.在长方形ABQ9中，|通|=1,82=；8で，且赤.屈=亚・恁,则|而卜,

AE-AC二.

cos(尤+]＞0

14.已知函数/(%)=イ,是偶函数,则。的ー个取值为.

15.关于函数/(x)=-+lnx,给出如下四个命题:

①尤=2是/(x)的极大值点;

②函数y=/(无)一x有且只有1个零点;

③存在正实数A,使得/(x)＞れ恒成立;

④对任意两个正实数玉，%2,且玉＞ち,若/(%)=/(%2),则玉+ち＞4；

其中的真命题有.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.(本小题13分)

如图，在四棱锥P-A3C。中,底面ABCO为矩形,9丄平面ABC。,PD=AD=2,

AB=4,点E在线段48上,且A£=』A8.

B

(I)求证:C七丄平面

(11)求二面角尸一CE-A的余弦值.

17.(本小题14分)

已知函数/(x)=Asin(0r+0)(A>O,ty>O,O<。(万)的部分图象如图所示,在条件①、

条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.

(1)求函数/(x)的解析式;

(II)设函数g(x)=/(x>cos(2x+W),若g(x)在区间［〇,冋上单调递减,求机的最

大值.

TT

条件①：c-a--；

2

条件②：b=~；

3

条件③：c='.

12

注:如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.

18.(本小题14分)

2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布

暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月I1日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降

雨.

下表是中央气象台7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.

北京密山东乐河北迁山东庆北京怀河北海河北唐天津渤海河北丰山东长

云陵卩q云柔兴山A平台南清

180毫米175毫米144毫米144毫米143毫米140毫米130毫米127毫米126毫米126毫米

(I)从这10个区域中随机选出1个区域,求这个区域的降雨量超过135毫米的概率;

(II)从这10个区域中随机选出3个区域,设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数

量,求X的分布列和期望;

(III)在7月13日2:00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中,设降雨量超过!40

毫米的区域降雨量的方差为S；,降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为す.

全部十个区域降雨量的方差为す,试判断S：,尺,S;的大小关系.(结论不要求证明).

19.(本小题14分)

已知△A3C的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且パsin[^+3)+sin]ミーB)=0.

(1)求48的值;

(2)给出以下三个条件:

条件①：a2-b2+c2-3c=Q;条件②a=3;条件③横。=”真.这三个条件中仅有两

个正确.选出正确的条件并回答下面的问题:

(i)求sinA的值；

(ii)求/A8C的角平分线B。的长.

20.(本小题15分)

己知函数./'(%)=6*(ギ+<xr+l).

(I)若a=0,求./'(x)在点(〇,,/"(〇))处的切线方程；

(II)若ア(x)在(一1,1)上恰有一个极小值点,求实数”的取值范围；

(III)若对于任意尤6(0,5,/(x)>e'(x2cosx+l)恒成立,求实数a的取值范围.

21.(本小题15分)

已知椭圆M:ラ+斗"=1的焦点为ド(2,0),长轴长与短轴长的比值为五.

(I)求椭圆M的方程；

(〃)过点/的直线/与椭圆M交于A,8两点，丄x轴于点C,Aハ丄x轴于点ハ,直

线8。交直线x=4于点E,求与的面积之比.

数学10月测试答案

ー、选择题（共10小题,每小题4分,共40分）

l.A2.B3.A4.C5.D

6.D7.C8.A9.B10.C

二、填空题（共5小题,每小题5分,共25分)

11.6012.ザ二"413.732

14.-（答案不唯一）15.②④

2

三、解答题（共6小题,共85分）

（16）（共13分）

解:（I）因为PZ）丄平面んBC。,CEu平面ABC。,

所以P。丄CE.

因为AB=4,AE=-AB,

4

所以AE=3,BE=1.

所以竺=些=2,

ADBE

所以RtZ\C8£sRt△84。,

所以3。丄C£.

又因为PDtCE,PDCBD=D,

所以CE丄平面/38。•.....................5分

（II）因为P。丄平面ABC。,ADu平面ABC。,COu平面A8C。,

所以尸。丄A。，PD丄CD.

又因为ABC。是矩形,AD1CD,

所以A。,CD,P。两两垂直,如图建立空间直角坐标系。ーxyz,

则C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),

所以PC=(0,4,-2),聲(2,-1,0).

设平面尸CE的ー个法向量为3=（九,yz）,则

n-CE=0

ーー,即イ2x—y=0

n-PC=04y-2z=0

令x=l,则y=2,z=4.

于是〃=（1,2,4）.

因为产ハ丄平面んBCD,

取平面ACE的法向量为而=（0,0』）.

____4__4,21

1-71+4+16-21

由图可知二面角P-CE-A为锐角,

所以二面角P-CE-A的余弦值是生包.

17.（共14分）

解:（1）选条件①②：

TTTJT21T

因为cー。=—，所以ー=一，即ア=た,则の=—=2.

222T

由题意可知A=2,则/（x）=2sin（2x+0）.

因为わ=2,f（b）=2sin（生+シ）=0,

所以——ヤ（p=k兀,keZ,即タ=----+k兀.

rr

因为〇＜。＜だ,所以タ=ヌ,k=l.

所以/(x)=2sin(2x+—|...............................................6分

选条件①③：

TTTJT21T

因为c—a=生,所以ー=2,即ア=ア,则。=』=2.

222T

由题意可知ん=2,则/(x)=2sin(2x+e).

因为c=―-,/(c)-2sin^-~'+9)=—2,

1TT3471

所以セ+シ=3+2え万,keZ,即シ=々+2んた.

623

因为〇くな,所以タ=1,k=O.

所以/(x)=2sin(2x+—]..................................6分

选条件②③：

因为Z?=一,c=——,所以cーカ=一二一,即ア=た,则。=——=2.

31244T

由题意可知A=2,则/(x)=2sin(2x+cp).

因为。=——,/(c)=2sinf——+シ=一2,

12し6丿

所以2+0ニセ+2たな,keZ,即タ=丄+2えな.

623

因为〇＜タ＜%,所以タ=],k-Q.

所以/(x)=2sinf2x+y1..........................................6分

(II)由题意得g(x)=sin(4x+@

函数y=sinx的单调递减区间为+2k兀,ラキ2k兀(ZeZ).

,71…,イ2万’3兀の.

由——I-2k兀<4x+——<----1-2Z乃，

232

,ロ71k兀ノノ57k兀

得----4--<X<—+—.

242242

因为函数y=g（x）在区间［〇,冋上单调递减,且0e一,—,此时ん=0

2424

所以加《セ,所以，徵的最大值是セ.6分

2424

18.（共14分）

解:（I）设这个区域降雨量在135毫米以上为事件A,

区域降雨量在135毫米以上的区域共有6个,所以P（4）=@=3

105

答:这个区域降雨量在135毫米以上的概率为ヨ4分

5

（1）由题意分析可知X=0,1,2

P(X=O)=圣56__2_

し1012015

P(X=1)=》C2cl567

し1012015

「ゆM管=备イ

随机变量X的分布列为:

X012

771

P

151515

所以随机变量X的数学期望为:

7713

E(X)=Ox—+lx—+2x—=-11分

1515155

(III)s；＜s；＜s；..................................................14分

19.(共14分)

(1)

Gsin但+8)+sin但一8)=0,

—cosBH—sinBH-----cosB—sin8=0,

2222

sin8+Gcos8=0,

2sinffi+|Uo,得B+^=k兀,keZ.

由。＜3＜ア,得B=—；..................6分

3

(2)

若条件①正确,由。2ーけ+＜?-3c=0,得グ+ピーが=3c,

由余弦定理,得cos8=即ー丄=三=1_,

2ac22ac2a

解得。二一3不符合题意,故条件①不正确,则条件②③正确;……8分

/.ゝ木ぐ_1-D〇_156_ユ

(1)由48c=2〃csinB，S4ABe=，Q=3,

15G1Gク曰»

得-----=-x3x—c,解侍c=5t

422

由余弦定理,得わ2=ゼ+。2—2accosB=9+25-30x(ー丄1=49,

因为わ＞0,所以わ=7,由正弦定理,

ノロbaロロ..asinB3V3八

得-----=-----,即sinA=---------=—^；................11分

sinBsinAb14

ヽ,十厶亠宀,ロbc口「•「csinB5丿3

(zii)由正弦定理,得-----=-----,即sinC=---------=------,

sinBsinCb14

n

因为BD平方/ABC,ZABC^—,所以/==

3I

在/VIB。中,由正弦定理,得3-_AD

sinAsinZABD

BDCD

在△C8。中,由正弦定理，得

sinCsinZCBD

s;nrAn

又CD=1—AD,上述两式相除,得^——=-------

sinA7-AD

AOsinA35315

解得tI。=*所以8。=-------------=—X—14分

8sinZABD87T

20.(共15分)

解:(I)当a=0时,/(%)=ev(x2+1),f'(x)=eA(x2+2x+1),

所以/'(0)=1,八〇)=1,

所以切线方程为y=x+L...............................................4分

(II)由/(x)=ビト2+ax+l),得，'(x)=e[x2+(a+2)x+a+l].

令，'(x)=0,得%=ー。ー1,x2=-1.

①若王〈x2,则a20,/'(X)20在(—1,1)上恒成立,

因此,/(x)在(-1,1)上单调递增,无极值,不符合题意.

②若玉>ち，则a<0,r。)与/(%)的情况如下:

Xい,-1)-1(-1,-4ーリ-a-\(-6Z-1,-KO)

(。)+0—0+

/极大值极小值

因此,/*)在(-8,—1),(ー。ー1,セ。)上单调递增,在(―1,一0-1)上单调递减.

若，(x)在(—1,1)上有且只有一个极小值点，则需ー1<—a—1<1,所以—2<a<0.

综上,。的取值范围是(—2,0)..................................9分

(III)因为ざ>0,

所以/(%)=e((x2+ax+l)>ex(x2cosx+l),BPx2+<zx>x2cosx.

又因为x>0,

所以尤"+ax>x-cosx,即a>xcosx-x.

令g(x)=xcosx-x,所以g'(无)=cosx—xsinx-1=(cosx-l)-xsinx.

因为xe(0,1,所以cosx—1<0,

又xsinx>0,所以g'(x)<0,

所以g(x)为(。,ヨ上减函数