不动点与蛛网图（解析版）

不动点与蛛网图

不动点与蛛网图

第一讲实数数列的“不动点”

—>相关的概念

1、数列的“生成函数”：也叫数列的“特征函数”-x得到的函数如:

“"+1=”,；，N*,把a“+i当作y,把当做xny=/；

2、数列的迭代：根据初始值及递推关系逐一计算数列各项的过程.

前一次计算时的y,

是后一次计算的X.

3、数列的不动点：满足%“=4，的处的数值.

例1.己知q=4，若｛4｝是常数数列，求q的值.

解：,•""+1=。：=°或4,=1，,4=°或1

(1)数列的“不动点”其实不是点，而是数值；

(2)若4=不动点，则数列是常数数列，”“=不动点.

二、进一步分析：

满足“"+i=a"，的册的数值，叫数列的“不动点”；

任何实数数列都有不动点吗？«„+|=a：+8=a“oa；-4+8=()na“无实数解

例2.已知数列｛为｝满足q=4，4M="；+〃.若数列｛%｝有不动点，则实数b的取值范围

是.

aa+b=a2

(1)数列角度["2,^nn<^«„-a„+^=0^>A=l-4/>>0^>/?<i

[a„+l=a„+b4

Iy=x।

(2)函数角度：s^*^<=>X2+/?=A:<=>X2-X+/?=0=>A=1-4/?>0=>/?<—

[y=x9+b4

(3)函数图象的角度：

①数列｛%｝有不动点=生成函数的图象与直线y=x有交点;

②生成函数图象与直线y=x的交点的横（纵）坐标=不动点.

例3、己知数列｛%｝满足q=a，«„+,=a,^+b,neN,,则（）

A.当6时，YawR,即＞＞10恒成立

B.当6=，时，YaeR,40＞10恒成立

4

C.当6=—2时，VaeR,。„）＞10恒成立

D.当。=7时，Vae/?,4（）＞10恒成立

解：⑴当方©时，数列｛a,,｝有不动点，即"川有实数解;

41%=%[y=x

（2）图象角度：当时，抛物线y=f+b与直线y=x有交点；

4

（3）不动点/的数值：①B中6=：,由/+；=X得：Xo=L

②C中方=一2,由f-2=x得：x0=T或2

③D中人=-4,由x?—4=x得：X。=1±

选项B中，取4=g,则q=g，q（）＞10不成立；

C,D同理可排除.

实际不用算，看图判断出：不动点＜10即可.

问题：当b=；,即时，无论q取何值，4。＞1。为什么恒成立？

试卷第2页，共19页

1、观察抛物线和直线的位置关系：

（1）函数角度：y=/+3>%=》恒成立；

（2）数列角度：。向=〃；+3>%恒成立；

=｛《,｝严格单调递增

2、如何保证%>10呢?

3

>—

2

/.a7>4,/.a8>16

aI()>>16>10

三、不动点的分类

例4.已知4=〃，。“+1=2〃〃-1,〃wN+.讨论｛%｝的单调性.

解：（1）当4=1时，4,=1，｛4｝为常数数列;

（2）当时，用归纳法或同号法，可证明：an>\

包｝递增

如4=2时，=>23,5,9,17…

。“与不动点4=1的差，随n增大而增大.

(3)当4<1时，同理可证/<1,且｛为｝递减

如q=0时，=>0,-1,-3,-7,%与不动点1=1的差,也随n增大而增大.

总之，当。尸1时，随着n增大，。“逐渐“远离”不动点.

这种不动点，叫“排斥不动点

例5.己知q=a,«,,+|=ne.讨论｛a,,｝的单调性.

解：(1)当4=1时，4=1，｛q｝为常数数歹小

(2)当4>1时，如4=2时,

,35917

=2,一，—，一，—

24816

数列递减，随n增大，4,向不动点与=1逐渐"靠拢”；

(3)当q<1时，如q=0时，

/、13715

=0,一,一，一，一

24816

数列递增，随n增大，。“向不动点与=1逐渐“靠拢”：

这种不动点，叫“吸引不动点”，

总之，不动点可分为“排斥不动点”、”吸引不动点”等，具体的判定方法和应用，我们下

节课会结合“蛛网图”讨论.

本讲小结

试卷第4页，共19页

1、数列的迭代运算：逐个代入，计算各项的过程.如：4=1，«„+1=2«„+1

4=1=%=3=%=7前一次计算时的y,是后一次计算的x.n蛛网图的原理！

2、数列的“生成函数”：。向-g%->x得到的函数=%=2q+1的生成函数是:

3、数列的不动点：满足〃eN的”“的数值，叫数列的“不动点”；

（1）数列本身的角度：

①当4=不动点时，｛4｝为常数数列.

②不动点分成：吸引不动点，排斥不等点等.

（2）生成函数图象的角度：

①数列｛4｝有不动点=生成函数的图象与直线>有交点；

②不动点=生成函数图象与直线y=x的交点的横（纵）坐标.

第二讲“蛛网图”的来历和本质

一、“蛛网图”的来历和本质

上节课例4.已知q=a,4M=2勺-1,讨论｛4｝的单调性.

当q=2时，a2=2a]—1=3

%=2a2-]=5

a4=2%-1=9

前一步的y,是后一步的x

迭代计算是一个代数运算的过程；

“蛛网图”是把迭代过程一几何（图象）化处理.

已知q=a,a„+l=2a„-l,"eN*.讨论｛4｝的单调性.

q=2时，=2,3,5,9,17…

4=0时,=>0»—1>—3,—7,...

刚才是在x轴、y轴上转换的.我们也可以通过辅助线/：y=x进行转换.

蛛网图：利用数列的生成函数图象，以及辅助线

/：y=x,对迭代过程进行图象化处理.

（1）画出生成函数图象和直线y=x；

（2）4当X,%当y,在生成函数图象上画出（4,%）点；

（3）向直线y=x作水平线，得交点（%，%）；

（4）向生成函数图象作铅垂线线，得交点（4，阳），…

DaddyMummy

前一个y

代数迭代过程T辅助线/：

蛛岛图

Baby

二、不动点的类型和性质

上一课中，我们提到有“排斥不动点”和“吸引不动点”等.现在用“蛛网图'’来验证不动点的

以下性质：

对于4用=/（%）型的数列，若该数列有不动点，记某个不动点为飞,

试卷第6页，共19页

(1)若尸(不)<1,则该不动点为“吸引不动点”；(其中尸(x)不恒等于0)

(2)若尸(%)>1,则该不动点为“排斥不动点”；

(3)若/伍)=1,则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.

1、/'(%)<1，吸引不动点

定理：当/(x)>0时，

若%>4,则数列递增;

若。2<4,则数列递减.

定理：当/(x)<0时，

他i｝与｛⑥｝单调性相反.

每次都“吸引过头

2、/'(%)>1,排斥不动点

r=Av)

定理：当/（x）>0时，

若%>4,则数列递增;

若出<4,则数列递减.

3、尸（%）=1时

左恻排斥,左侧吸用

数列单调递增：an+l>a„,〃wN+；数列严格单调递增：an+l>an,nwN*.

数列是否严格单调递增或严格单调递减，与生成函数单调性以及初始值有关!

本讲小结

1.不动点的分类

相交型不动占」/'（/）>「排不不动点

相交型不动点：吸引不动点

相切型不动点：/'（/）=1时，上增下减

2.蛛网图的原理

借助于直线y=x,把递推数列的迭代过程，用图象表示出来.

优点：代数问题儿何化，形象、直观；

缺点：不能替代大题目的代数证明.

第三讲“不动点”和“蛛网图”的应用（一）

应用1、判定数列的单调性和极限

试卷第8页，共19页

例1.已知数列｛q,｝满足。向=也-1，〃cN+.分别判断4=2和q=：时数列的单调性;

例2已知“e|Jj,4,”=sin等,neN+.

（1）判定数列单调性；

2019

（2）判断可〈蠡，〃eN+是否恒成立.

选项（1）：数列递增；

选项（2）：极限为1=（4）不恒成立，

存在%eM,使得时，费2019.

应用2、己知数列的生成函数和单调性，求为的取值范围

由例1,例2可知：生成函数确定的情况下，数列的单调性有时还与迭代初始值有关.

例4首项为正数的数列｛/｝满足“向+3），〃e.若对一切〃eAT,都有。向士，

求为的取值范围.

解：/（力=；卜2+3）=》=玉=1,9=3

4e（0,1]或46[3,+oo）

例5已知数列｛《,｝满足”,,+1=3_；j，且对任意HGN：有4用>册,则可的取值范围

是.

解：由x得:2x?-3x+l=0，不动点%=1

3-2x2

画出函数），=丁=及直线y=苫的图象

3-2x

（1）时，:是吸引不动点，数列递增；

22

（2）!<4<1时，g吸引、1排斥口数列递减；

22

3

（3）1<%<5时，1排斥=递增至「高台跳水”；

3

（4）时，4<0

**•q<-

12

试卷第10页，共19页

例6已知常数0>0,数列｛q｝满足4m=加一%|+2勺+"（〃€”）,首项为q,前n项

和为50.若\>S、对任意〃w旷成立，则-的取值范围为.

P

（3第？x之〃

解：（1）生成函数为丫=加一乂+2x+0=<"-=>在/：y=x上方，数列递增

[x+2p,x<p

S>S,\a>0

（2）S〃NS3恒成立是什么意思？n；43=4

qv%v%K0«%

，%=4+2p<。，。3=4+4〃40,a4=a]+6p>0

P

法2：4+|=\p-an\+2a„+p^an+l-an=\p-a,\+an+p

=j2p,a„<p

12凤，an>p

：p>0,a,：-q,>0,，｛a,｝递增

a--,伉+2,b<1

法3：设或f==,则以=|1-切+》“+1,.•.%=：n"作图或者作差n数列

pI2>1

也｝递增，

s

记数列也｝的前n项和为7；,则7；=/■*[,.•.仇40且42。

后面同理

本讲小结

1、不动点和蛛网图的应用

应用1、判定数列的单调性和极限；

应用2、已知数列的生成函数及单调性，求4的取值范围

2、注意事项

(1)灵活选用不动点的性质、蛛网图法或代数方法；

(2)生成函数不连续时，要注意间断点两侧的不同情况.

(3)碰到复杂而陌生的问题，要注意“退”的思想和“换元法”的应用.

第四讲“不动点”和“蛛网图”的应用

应用3、己知数列单调性，求生成函数中的参数范围

例1.数列｛%„｝满足玉=0,x向=-x„2+怎+c,"eN+.若｛尽｝单调递增，则实数c的取值

范围是.

分析：生成函数y=-/+x+c,抛物线随着c的变化而上下平移.

(1)当c=0时，从不动点角度：令x=-x2+x,=x2=on相切

从数列角度：c=0时，%+i=-xj+x“，X|=0=x“=0

(2)当c<0时，抛物线在直线>=x的下方n｛x“｝递减

(3)当c>0时，假如c=0.5,蛛网图判断：

(4)怎样才能避免后面递减？迭代过程落在递增区域内！

前一个y,是后一个X.=4m4对称轴，

即：顶点不得高于直线y=

例2若数列｛%｝满足%+产;。：-。“+加，若对任意正整数n都有。“<2,则实数

m的最大值为()

A.0.5B.lC.2D.4

解：生成函数y=g/-x+〃?，图象是抛物线，开口向上

(1)若y=则数列递增，•••4,<2的必要条件是：方程x=X+,”

有解

1

一厂9―2x+m=0有解=△=4—2/w>0,/.m<2

2

(2)当机=2时，抛物线与直线y=x相切

...在直线y=x上方迭代，数列递增，不动点为2,

试卷第12页，共19页

...答案：c

例3数列｛4｝满足4=1，4川=U1,若对一切〃eN*,«„<2,则m的取值范围

是()

A.m>2B.1<z??<2C.m>3D.2<m<3

解：生成函数为y=ei'+l

=左加右减：y=e"+l,向右平移m个单位

(1)当加<2时，图象在直线y=x上方，

没有不动点，无限递增，不合题意；

(2)当机=2时，相切型不动点2

生成函数递增，4叩，2),符合题意;

(3)当加>3时,吸引不动点X]e(l,2)

•.•4=1,\<an<xt<2,符合题意.

答案：A

例4.已知数列｛叫满足a,用=火(同-片).若q=；,k=\,则如的最小值是；

若4=2,且存在常数〃>0,使得任意则实数k的取值范围是.

解：⑴。"+1=|4卜。：=>二=国一/，

例4-2.己知数列｛4｝满足=%（㈤-端）.若4=2,且存在常数M>0,

使得任意同,则实数k的取值范围是.

分析：生成函数丫=人（卜|-丁）含参=考虑参数对图象的影响n坐标变换

y=|x|-/通过怎样的坐标变换，才会得到丫=%（国-彳2）?x不变，y变k倍

（1）Z=0时，4=2,a„+l=0,符合题意;

（2）%工0时，k的取值对图象的影响：动图

丁=%（一%-工2）1

法一、.=%=一_?一

y=xK

n-2/2-g-ln（2Z+l）（Z：-l）40

试卷第14页，共19页

=0<E

法二、算临界状态

点(-2,-29在直线y=x上，此时％=1

法三、(-2,-2外不低于点(2,-2)

：.-2k>-2,.-.O<A:<1

：.-2k<2,：.0>k>-1

综合以上分析可知：(1)%=0时，2,0,0,0...,成立;

(2)%>0时，％2左侧的排斥不动点

即(―2,—2Z)不低于点(―2,-2)

（3）%<0时，％4右侧的排斥不动点

即（2,-2%）不高于点（2,2）

-2k<2,

AO>）t>-1

综上所述，—14Z41

第五讲"不动点''和“蛛网图”的应用

应用4、判定%”与㈣+8的大小关系

判定单调性是比较。用与“，的大小，实际上可以推广到与&%+人或其它形式.

例1已知，a“+i=sin怨。“eN*.（2）判断%+12是否恒成

立；

解：初始值qw（罟开始迭代，=6—1

31

直线y=_工+一

44

n迭代区域在直线上方

例2己知qj；，；，qM=sin等，neN+.（4）判断2%42q+S”是否恒成立.

ID/」乙

33

a

解：（1）当〃=1时，叼勺］"是否成立？=^a„+l--n

（2）当〃22时，2az42al+5“是否恒成立？

2q=2q

2。243%

2%43%

2a4<3%

试卷第16页，共19页

2a“43%

2a“”43%

•,*2s“+2a“+[<3sli+2al

:.2azWS,,+2q成立

例3已知数列｛可｝满足①=1,a„+l=ln(l+a„),〃wN..下列说法错误的是()

A.«„>«n+IB.«„<2a„+1c.a.2击D.3"，>4%

解：y=ln(l+x)图象与直线y=x对照：切线不等式ln(l+x)Vx=O<a,用<%V1

13

A.正确：B.=>y>-x,正确；=C正确；D.=>y>-x,错误.

%与kan+b比大小ny=/("与y=履+隐象比高低(迭代范围内)

【强化训练】

1.数列｛叫满足：4=0,。向=-吊+〃“+。.若数列｛%｝单调递减，则c的取值范围是

;若数列｛4｝单调递增，则c的取值范围是.

2.已知数列｛〃〃｝满足：0<q<g,凡x=4+ln(2—4).则下列说法正确的是()

八11

A.。<。2019<5B.5<。2019<1

33

C.1<。2019<5D.5<〃2019<2

3.数列｛〃“｝满足：0<4<1,>0,4；〃+1-1,贝U()

A.6<%019<1B.%<%，4019〉1C.。3>“4'%019<1

D.%>%，々2019>1

4.已知数列｛4｝满足：4=1,%“=Ja；+m(〃eN*),若对任意的正整数”均有4<4,

O

则实数机的最大值是.

5.已知数列｛%｝,满足%=k(|a“|-a;).若4=；，k=1则|中｝的最小值是

,若4=2,且存在常数M>0,使得任意同则％的取值范围是

6,设数列｛为｝满足4,+I=Y-2,“€2.若存在常数拉>0,对于任意〃eN*，恒有

|a„|<M,则a,的取值范围是.

7.设数列｛4｝满足4川=2(何|-1),〃eN*,若存在常数M>0,使得对于任意的〃eN*,

恒有⑷4M,则4的取值范围是.

8.已知数列也｝若白=2,且"22,feR),若腐区2对任意〃eN*

恒成立，则实数r的取值范围是.

9.设a,6eR,数列｛%｝中,q=a,a“+i=R+b,“wN*,则

A.当6=；,qo>lOB.当£>=：,%>10

C.当人=-2,%o>1OD.当b=-4,q°>10

10.数列｛4｝满足：8<q<9,lna“=疯7--J=,则()

\Jan+\

A.6<%，“2019<1B.色(〃4，%019〉1

C.。3>“4，。2019<1D.%>°4，°2019〉1

x+sinx,x<x_.、

11.已知数列｛X,,｝满足0<巧<々<兀，且x向=(M>,N1M"M~'z(n>2),则

+COSxn,xn>Xn_|

A.X3<%,*2019<4B.X3<X45尤2019》冗

C.X3>工4，/019<4D.X3>/4,“2019》冗

12.已知数列｛%｝满足卬=；,『=(；)",则下列结论成立的是()

A.^2018<。2019<“2020B.02020<々2019<“2018

试卷第18页，共19页

C.。2019<。2018<02O2OD.。2019V。2020<。2018

13.已知数列｛““｝满足：“1=；，%+1=/(4)，〃eN*，S“>0是数列｛”“｝的前100项和，

且满足品励<100,则f(x)不可能是

A.f(x)=x2B.f(x)=x+--2

x

C.f(x)=ex-x-\D./(x)=lnx+x+l

14.已知数列｛q｝满足4=a>0,aN=-d+S,,(〃eN*),若存在实数f,使｛可｝单调递

增，则。的取值范围是

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

参考答案：

I.c<0##(-8,0)0<c4；##(0,；

【分析】若数列｛q｝单调递减，则。用<。.恒成立，可得。<片恒成立，由此可得c的范围.

若数列｛%｝单调递增，则生>4,HPoO,且母函数〃X)=-X2+X+G,C+；.数列｛风｝有极

限，其值为其不动点五.又“X)在(0,五)上单调增加，故在，，所ce(。,；.于是只需要

证明时满足条件，ce(；,+8卜寸不满足条件即可.

【详解】①若数列｛4｝单调递减，

q=°,：•%,q=°,・，・a：20,

••"”+i<。“恒成立，

即可+1一。“<0恒成立，

即-a；+““+c-a“<0恒成立，

即恒成立，，cV0.

②数列｛q｝单调递增，则当"=1时，%=c>q=0.

当ce(0,。时，a,=c<n,1,

I4」-2

而/(力=一/+犬+。在(o,g上单调递增，

/(67l)</(a2)</(Vc),即0<外<为4；，

假设当”=k,ZEN*时，0<<aM<4c<^,

则/(%)<〃/)</(6),即/<ak+2<8，

故由数学归纳法可得?。向，即数列｛%｝单调递增；

当ceg,+8)时,

a

'''«n+i=~n+a„+c>a„,：.a；<c,即0”

4c-an>0,Vc-an+l>0,

2

Vc-a„+I=^+a„-a„-c=(Vc-a„)(l->/c-«„),

«•0<1--a,0,1->/c<1,

-五)，

答案第20页，共11页

••正(五一4_I)(1—五)〈(五一a“_2)(l一五)-〈(正一q)(l一五)=8(1-8尸.

n

•'•Cln，,,>Jc—^/c(l—yjc),,

]Ir~i

令五-五(1_&y=3=&_/=&(1-&)"T=C2=(]石yl=

y/c

五」

〃=l+bgf十’

故当〃>1+1峭「二7Z--2时，《，>万i，

M4c

此时a“*i>“，，>；，而/(X)=T2+X+C在(；,+8)上单调递减，

)</(«„)>即可+2<。向，与题意矛盾.

综上，C的取值范围是(0，；.

2.B

【解析】构造函数f(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),求导判断函数f(x)的单调性，判断数列｛”,,｝

的单调性，结合单调性判断的“9的取值范围.

【详解】设f(x)=x+ln(2-x)(0<x<2),

因为尸(xXl-J-ntlOvxvZ),

当T(x)>0时，得0<x<l；则〃x)在(0,1)和单调递增，

当/'(x)<0时，l<x<2,则函数〃x)在(1,2)上单调递减,

且/(幻4/(1)=1,可得。“<1,

所以-4,=皿(2—q)>0,即数列｛«„｝为单调递增数列，

又/'(0)=ln2=ln">ln&=g,%=f(%)>/(0)>g,

根据数列伍,J单调性可得：0<q,<«„<•<1,

所以万<“2019<L

故选：B.

【点睛】本题考查数列的单调性及判断，考查数列的函数特性，难度一般，根据函数的性质

判断数列的单调性是关键.

3.A

答案第21页，共11页

【分析】由变形为4:+4“+；=必+:开方求解判断.

【详解】因为

所以4；+4用+；="『+；,

因为4,20,

故％<4，

因为4<1，

故选：A

4.2

【分析】根据递推公式可考虑分析一%,再累加求出关于。“关于参数〃?，〃的关系,根据表

达式的取值分析出机42,再用数学归纳法证明机=2满足条件即可.

112

【详解】因为。,用-4=oan~an+m=o（an~4）+%一22〃?一2,

OO

?一!

累加可得%=4+2（%-4）*1+（"，-2）（〃-1）.

太=1

若机>2,注意到当“一”吐（加一2）（〃一1）一”,不满足对任意的正整数”均有%<4.

所以〃?42.

当机=2时,证明：对任意的正整数”都有0<4<4.

当〃=1时，q=1<4成立.

假设当”=%,（"1）时结论成立，即。<见<4,

贝=2+,《<2+1乂42=4,即结论对n=左+1也成立.

88

由数学归纳法可知，对任意的正整数〃都有0<““<4.

综上可知，所求实数〃7的最大值是2.

故答案为：2

【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题，需要根据递推公式累加

求解，同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.

答案第22页，共11页

5-2卜川

【分析】第一空：令x=a"，y=a向,将问题转化为函数问题，则4T表示点（为，。田）与原点

%

连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当则仅,结合二次函数

的最值以及翻折后图象列式即可求解.

【详解】（1）令x=a“，y=a“+i,旷=国一x2,等表示点（%,%+J与原点连线的斜率，因

为％=；,所以由于（《，出）为y=x-x\xe（O,[最高点，所以&■最小，等于

222q

（2）当4=0时，显然存在；当％*0时，由4=2,则M22，由y=Mx|—x2）图象可知,

.闷44忆

使得任意同4M成立，则需，,,,1又4例>^^（加22）,所以

\k（M11M-1

网4上41,故k的取值范围是TMIMI.

M-I

【点睛】本题考查数列的综合应用.数列是一种特殊的函数，所以在求解数列最值问题可以

借助函数的思想解决.

6.[—2,2]

【分析】首先根据题意得到-2,当-24qV2时，设q=2cos。，进而求出。“，然后判

断是否满足题意，当4>2时，得出数列｛%｝和函数y=/-2的单调性，进而判断是否满足

题意.

【详解】由题意，an+l=a^-2>-2,所以《2-2.

若-24442,令q=2cos。，贝ij%=（2cos。）?一2=2cos2。，

43=（2cos29）2—2=2cos（2?〃），，q=2cos（2""）,此时，存在M=2,使得区2；

若q>2,an+l-a„=a；,-a„-2=（«„+1）（«„-2）>0,即数列｛%｝是递增数列，而函数

旷=/-2在（2,+8）上单调递增，且值域为（2,+8）,故此时数列｛q｝不满足题意.

综上：％的取值范围是[-2,2].

故答案为：[-2,2].

7.[-2,2]

【分析】由已知条件可得2|（⑷得普24⑷4丝/，结合已知可得河=2,

答案第23页，共11页

从而可求出生的取值范围

【详解】因为⑷4M,所以|%14用，

Ep2|(|d„|-1)|<M,EP-M<2(|a„|-1)<M,

等价于卡4㈤4片，

故只需LA〃，解得Af=2,

I2

所以同42,故同42,即-24442,

所以4的取值范围为12,2]

故答案为：[-2,2]

8.-42

_2.

【分析】方法一，根据必要条件求出f的取值范围，再证明范围内的r满足|〃区2,即可确

定r的取值范围；

方法二，利用蛛网法，分此0和f<0两种情况，结合图象列式即可求出r的取值范围.

【详解】法1：必要先行

讣"+22

n22-4<r<-

52

讣1勺四<2-4</<-

2

,t,3,3If,3）八2r-5（tV''3

'4i4"r-44「f-4j"r-4⑷t-4

i,।5-2/I/1"-13,5-21,3c行丁

\b\=---------+——<-------1+——=2,得证.

114-t\4\4-r4-t4-t

法2：蛛网法

记函数f（x）=；x+1,过定点（0，；卜=〃仇1）.

当时，4（2,仇）迭代收敛于点A，只需位于直线>=x下方，即:•2+142n04d|；

当，<0时，用（2,a）迭代收敛于点A,由蛛网图：｛4"7｝单调递减，故只需打44

g[J^f^+|V1<2=>-4</<0

综上-4Wf«|.

答案第24页，共11页

9.A

【解析】若数列｛4｝为常数列，即,=4=。，则只需使。410,选项的结论就会不成立.将每

个选项的〃的取值代入方程丁-》+。=0,看其是否有小于等于10的解•选项B、C、D均有

小于10的解，故选项B、C、D错误.而选项A对应的方程没有解，又根据不等式性质，以

及基本不等式，可证得A选项正确.

【详解】若数列｛4｝为常数列,则4=4=",由

可设方程fr+AH

111”1

a=a+9xx+=0,

选项A：b=］时，n+\n2-2

A=l-2=—1<0>

故此时｛a,J不为常数列，

%>（扬7々>4亚,则aw>16>10,

故选项A正确；

选项B：/?=!时，〃:=q；+,，x2-x+-=0,

444

则该方程的解为X=；,

即当a=g时，数列｛%｝为常数列，4,=g,

则《。=；<10,故选项B错误；

选项C：b=-2时，a“+i=a；-2,Y-x-2=0

该方程的解为x=-l或2,

即当。=一1或2时，数列｛/｝为常数列，q=-1或2,

同样不满足%>10,则选项C也错误；

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选项D：人="4时，〃〃+x2-x-4=0

该方程的解为》=生叵，

2

同理可知，此时的常数列｛%｝也不能使4。>10,

则选项D错误.

故选：A.

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点,

进一步讨论”的可能取值，利用“排除法”求解.

10.D

【分析】根据题意设〃幻=五一2-lnx（x>0）,利用导数讨论函数的单调性，进而得出

Tl-9Wlnx在口,+8）上恒成立，作出图象，结合图象即可得出结果.

【详解】由题意知，

设/。）=五-十一111》（>>0）,

则：（©=；+—号1=（4_2240,

2yJX2x-yjxx2X,A/尤2x7x

所以函数/（X）在（。，+8）上单调递增，

又/⑴=0,所以/（X）=4--%—InxN0在［1,+8）上恒成立,

yjx

即五-Inx在［1,+8）上恒成立,

由图象可得，«（>tz,>a3>--->a2O19>••->）,

故选：D.

11.A

【分析】先取特殊值进行排除，再利用递推关系计算前6项，进行猜测结论并证明.

答案第26页，共11页

【详解】由0＜%＜工2＜左,取特殊值：X,=y,X2=y,得：XJ=XJ+COSX,,匕=

JI

xy+sinx3=—+1>Xj,排除C、D；

x5=x4+cosx4=—+l-sinl<x4,x6=

冗

x5+cosx5=y+l-sinl+sinl—+1-sml=y+l-sinl+cos(l-sinl)>x5；且%),x2,x3,x4

2

X5,X’,均小于乃，猜测》刈9〈万，下面由图说明:

当0＜々＜］时，由迭代蛛网图:

可得，上｝单调递增，此时不动点为当n—时，x“W，则有X3C4,x2019＜