曲阜师范大学数学-《微分几何》复习资料

《微分几何》复习资料1一判断题1.曲面的结构方程指的是Gauss-Bonnet公式（）。2.任何曲面上的直线都是测地线（）。3.曲面的第一基本形式与参数的选取无关()。4.圆柱面上的直线都是测地线（）。5.两曲面的第二基本形式不同则其Gauss曲率不同()。6.如果一个一一对应保持两张曲面间的任意曲线的长度不变，则称该对应为这两个曲面的等距变换（）。7.曲面的第一、二基本形式都与参数的选取无关()。8.两曲面的第二基本形式与其主曲率没有关系()。9.可以作为曲面的第一基本形式（）。0.曲面的协变微分是平面上普通微分的推广()。二计算题1.求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率.2.求二次曲面的法曲率。3.求曲线在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。三问答题证明如果曲线的切线过定点，则该曲线一定是直线。答案一判断题1-5FTTTF6-10TFFFT二计算题1.求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率.2.求二次曲面的法曲率。3.求曲线在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。三问答题证明如果曲线的切线过定点，则该曲线一定是直线。《微分几何》复习资料2一、计算题1、在曲线x=coscost，y=cossint，z=tsin的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。2、已知曲线，=1\*GB2⑴求基本向量；=2\*GB2⑵曲率和挠率。3、求出抛物面在(0，0)点沿方向(dx:dy)的法曲率。4、求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率.二、证明题1、证明曲面是可展曲面。2、向量函数平行于固定平面的充要条件是（）=0。

答案一、计算题1、解：={-cossint，coscost，sin}，={-coscost，-cossint，0}{sinsint，-sincost，cos}新曲线的方程为={coscost+sinsint，cossint-sincost，tsin+cos}对于新曲线={-cossint+sincost，coscost+sinsint，sin}={sin(-t)，cos(-t)，sin}，={-cos(-t)，sin(-t)，0}，其密切平面的方程是即sinsin(t-)x–sincos(t-)y+z–tsin–cos=0.10分2、=1\*GB2⑴，（设sintcost>0），则，，，，=2\*GB2⑵，，由于与方向相反，所以3、解，，，，E=1，F=0，G=1，L=a，M=0，N=b，沿方向dx:dy的法曲率4、曲线，易见，，计算曲线的两个基本向量可得：，曲面沿曲线的法向量为，所以所求的法曲率为：曲线的测地曲率为：二、证明题1、证明：我们证明曲面是一个高斯曲率为零的直纹面。由于从而曲面是直纹面。又因为，所以高斯曲率为零故曲面是可展曲面2、若平行于一固定平面π，设是平面π的一个单位法向量，则为常向量，且·=0。两次求微商得·=0，·=0，即向量，，垂直于同一非零向量，因而共面，即（）=0反之，若（）=0，则有×=或×。若×=，由上题知具有固定方向，自然平行于一固定平面，若×，则存在数量函数、，使=+①令=×，则，且⊥。对=×求微商并将①式代入得=×=（×）=，于是×=，由上题知有固定方向，而⊥，即平行于固定平面

《微分几何》复习资料3一、填空题1、设曲线C是连接曲面上两点的长度最短的曲面上的曲线，则C是。2、曲面S在点沿非零切向量的法曲率定义为。3、设空间曲线的曲率，则该空间曲线落在某个平面上的充要条件是。4、可展曲面的高斯曲率等于。5、曲面的内蕴量是____变换下的不变量。6、利用主曲率计算曲面法曲率的Euler公式是。二、计算题求双曲面的第一、第二基本形式。求双曲面在（0，0）点的平均曲率和高斯曲率。求曲线的曲率和挠率。求抛物面在（0，0）点的主曲率。

答案一、填空题1、测地线2、3、4