用脉冲响应求传递函数

1.连续系统的传递函数

任何一个SISO系统都可以用差分方程来表示。若系统的输入为函数，则输出为脉冲响应函数g(t)。因为函数只作用于t=0，而在其他时刻系统的输入为0，所以系统的输出是从t=0开始的脉冲响应函数g(t)。如果采样间隔时间为T。并设系统可以用n阶差分方程表示，则：用脉冲响应来求解传递函数等式中a1,a2…,an为待定的n个常数。1用脉冲响应求传递函数根据上式，将时间依次延迟T，可以得到：联立求解上述n个方程，就可以得到差分方程的n个系数a1,a2…,an。2用脉冲响应求传递函数等式中s1,s2…,sn和c1,c2,..,cn为待求的2n个未知数。对上式求Laplace反变换，得到脉冲响应函数：任何一个线性定常系统，如果其传递函数G(s)的特征根为s1s2…sn，则其传递函数可以表示为：3用脉冲响应求传递函数要使上式为成立，应令方括号内的值为0，即：将上面等式带入到下列脉冲响应的差分方程中得到：令，则可以得到：4用脉冲响应求传递函数解方程可以得到x的n个解x1,x2,…,xn。设：至此可以得到s1,s2…sn，下面求解c1,c2…cn。5用脉冲响应求传递函数例：有一个三阶系统，脉冲响应数据如下：t012345g(t)012240试求解该系统的线性定常脉冲传递函数：6用脉冲响应求传递函数等式中。因而有2.离散系统的脉冲传递函数设系统脉冲传递函数形式为：根据脉冲传递函数的定义可以得到：7用脉冲响应求传递函数进一步得到:8用脉冲响应求传递函数令上式两边z-i的同次项系数相等，可以得到：9用脉冲响应求传递函数例：设采样间隔时间为0.5s，系统的脉冲响应序列g(k)如下表所示，求系统的脉冲传递函数。t00.050.10.150.200.250.3k0123456g(k)07.5159.4918.5645.9312.8460.14510用脉冲响应求传递函数例：有一个三阶系统，脉冲响应数据如下：k0123456g(t)0142622试用Hankel矩阵法求解该系统的脉冲传递函数。11用脉冲响应求传递函数第七章系统阶次的辨识系统的阶次，对传递函数而言，指极点个数；对于状态空间而言，是指最小实现的状态个数；本章讨论单输入单输出系统的阶次辨识问题，主要介绍F检验法和AIC准则这两种基本的阶次辨识方法；阶次辨识和参数估计两者是互相依赖的，参数估计时需要已知阶次，而辨识阶次时又要利用参数估计值，两者密不可分。12用脉冲响应求传递函数如何根据脉冲响应的采样值来判定模型的阶次？7.1.根据Hankel矩阵判定模型的阶次已知系统的脉冲响应序列g0,g1,…,gN，定义Hankel矩阵H(l,k)为：我们根据Hankel矩阵的秩来判定系统模型阶次。13用脉冲响应求传递函数定理：若Hankel矩阵的维数l大于系统的阶次n，则Hankel矩阵的秩等于系统的阶次n。当Hankel矩阵维数l=n+1时，对于所有的k，Hankel矩阵的行列式为零。当我们对于每个k值以及不同的维数l值，计算Hankel的行列式，就可以判定模型的阶次n。14用脉冲响应求传递函数实际上，由于噪声存在，当维数l=n+1时，这些行列式的值并不恒等于零，但会突然变小。我们必须引入某个准则，以确定显著性水平。有一种方法是对于每一个不同的维数l值，计算Hankel矩阵的行列式的平均值。然后对于不同的l值，比较行列式比值Dl。Dl值为最大时的维数l值，就是系统模型的阶次。15用脉冲响应求传递函数以自相关系数作为Hankel矩阵的元素，再按新的Hankel矩阵来确定矩阵的秩。同样，由于噪声的影响，所得的行列式也不恒等于零。另一种方法是根据脉冲响应序列，求出它们的自相关序列的估计值，以及自相关系数值。16用脉冲响应求传递函数{1.0,0.80,0.65,0.54,0.46,0.39,0.35,0.31,0.28,0.26,0.24,0.23,0.22,0.21,0.20,0.19,0.19,0.18,0.18,0.18,0.17,0.17,0.17,0.16,0.16,0.15,0.15,0.15,0.15,0.14,0.14,0.14,0.13,0.13,0.13,0.13,0.12,0.12,0.12,0.12,0.12,0.11,0.11,0.11,0.11,0.10,0.10,0.10}试判定该模型的阶次。例：已知系统的脉冲响应序列g(k)为17用脉冲响应求传递函数第一种方法，求得各Hankel矩阵行列式的平均值，以及行列式比分别为：矩阵H(2,k)行列式的平均值为0.00087872矩阵H(3,k)行列式的平均值为-0.00029311矩阵H(4,k)行列式的平均值为-3.214×10-7矩阵H(5,k)行列式的平均值为-5.709×10-9D2=2.998,D3=913.1,D4=64.2因此，可以确定系统的阶数为3。18用脉冲响应求传递函数第二种方法，求出脉冲响应序列的相关系数为：以为元素构造Hankel矩阵并计算Hankel矩阵的行列式，得到：detH(2,0)=0.014937detH(3,0)=-1.282×10-5detH(4,0)=-5.8×10-8由行列式的值可知，系统模型的阶次可以定为3阶，也可以定义为2阶。因为detH(3,0)已经很小了。19用脉冲响应求传递函数用最小二乘法求出参数的估值，则目标函数为：1.阶和目标函数7.2根据残差特性判定模型的阶次考虑系统模型为：如果系统模型为：则目标函数为：20用脉冲响应求传递函数当n=1,2,…时，J1(n)和J2(n)随着n的增加而减小。如果n0为正确的阶次，则n=n0-1时，J(n)出现最后一次陡峭的下降，n再增大，则J(n)保持不变或者只有微小的变化。

如果阶次已给定，估计参数，则要求J1和J2最小值。如果阶次未知，则估计参数个数就未知，也要求J1和J2取极小值。那么，当阶次递增时，J1和J2的变化规律如何呢？对于不同阶次，目标函数为：21用脉冲响应求传递函数假设检验与参数估计区别参数估计和假设检验都是统计推断的两个组成部分，都是利用样本对总体进行某种推断，但推断的角度不同。参数估计是在总体参数未知的情况下用样本统计量估计总体参数。假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立，如果成立，就接受这个假设，否则就放弃。22用脉冲响应求传递函数在实际工作中，前人对某些问题得到初步的结论。这些结论可能正确、可能错误。若视这些结论为假设，问题在于我们是否应该接受这些假设呢？

例：我们对某产品进行了一些工艺改造，或研制了新的产品。要比较原产品和新产品在某一项指标上的差异，这样我们面临选择是否接受假设“新产品的某一项指标优于老产品”。我们必须作一些试验，也就是抽样。根据得到的样本观察值来作出决定。

假设检验问题就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确。假设检验的思想23用脉冲响应求传递函数假设检验的方法先介绍一条所谓实际推断原理(小概率原理)。通过大量实践，人们对小概率事件(即在一次试验中发生的概率很小的事情)总结出一条原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生并称此为实际推断原理，其为判断假设的根据。在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了，就认为是不合理的。小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，一般取在假设检验中，称α为显著水平、检验水平。24用脉冲响应求传递函数

即先对所关心的问题提出原假设H0,然后运用样本信息看在H0成立的条件下会不会发生矛盾。最后对H0成功与否作出判断：若小概率事件发生了，则否定H0；若不发生，则接受H0。概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设。假设检验使用的方法是概率论的反证法：25用脉冲响应求传递函数某日开工后为检验包装机是否正常。随机地抽取它所包装的糖9袋，称得净重为(公斤)：(=0.05)例：某车间用一台包装机包装葡萄糖。包得的袋装糖重是一个随机变量X，且。当机器正常时，其均值为μ=0.5公斤，标准差σ=0.015公斤。0.497;0.506;0.518;0.524;0.498;0.511;0.520;0.515;0.512问机器是否正常?那么，如何判断原假设H0是否成立呢？即看在μ=0.5的条件下会不会产生不合理现象。解：先提出假设26用脉冲响应求传递函数即在μ=0.5的条件下则为X的一个样本，它们是随机变量，于是有统计量问Z大到什么程度可以否定H0呢？这就要确定一个否定H0的值为此令：即27用脉冲响应求传递函数0拒绝H0接受H0接受域28用脉冲响应求传递函数假设检验的步骤由实际问题提出原假设和备择假设；确定适当的检验统计量，并在原假设为真的条件下确定该统计量的分布；根据问题的要求规定显著性水平(一般题目中会给定)，从而得到拒绝域；由样本观测值计算检验统计量的值，看是否属于拒绝域，从而对原假设作出判断。29用脉冲响应求传递函数

Astrom(1968)提出的F检验法，引入一个假设检验，将模型阶次的判定问题归结为当阶次从n1增加到n2时，J2(n2)较J2(n1)下降是否显著的问题。

Astrom证明，当N足够大时，若n2>n1>=n成立，则：2.确定阶的F检验法且J2(n2)和J2(n1)-J2(n2)是相互独立的随机变量。30用脉冲响应求传递函数存在显著性水平，当时，n2>n1>=n成立。否则，n比n1和n2大。这里取，则引入统计量t也就是说，当n2>n1>=n时，统计量t服从自由度分别为2n2-2n1与N-2n2的F分布。31用脉冲响应求传递函数当时，则成立，即为对象的阶．令，阶次逐渐增加，用F检验判断．阶次增加，减少。令例如，取置信度，在100,200,400和∞时，查表可以得到F分布的值：

F(2,100)=3.09;F(2,200)=3.04;F(2,400)=3.02;F(2,∞)=3.00;

因此，当=100时，若统计量，则接受假设，即认为下降也不显著，判定系统阶次为，否则否定假设，继续增加阶次并考察统计量．32用脉冲响应求传递函数其中表示n阶模型未知参数的个数，表示参数的极大似然估计值，为似然函数，反映拟合精度。称该准则为AIC准则。Akaika证明了使为极小的阶，即系统的阶。

Akaika(1972)提出一种具有客观标准的阶次判别方法，所采用阶次判定准则为：2.确定阶的AIC准则33用脉冲响应求传递函数这里对AIC准则作一个定性的解释。设系统的阶次为n，当阶次估计值小于n时，AIC准则中数值较大，起主导作用，随着的增大而增大，这时准则随的增加而下降。当阶次估计值达到并超过n时，的增长变慢，而项随着的增加不断增大，并起主导作用，这时随的增大而增大。因此，在处形成一个最小值。分析：34用脉冲响应求传递函数其中为独立的正态分布序列，即白噪声序列。它在条件下的似然函数为：设SIS