2021-2022学年北京六十六中高二（下）期中数学试卷（线上） 解析版

2021-2022学年北京六十六中高二（下）期中数学试卷（线上）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共32分）1．（4分）数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2（n∈N*），那么a8的值是（）A．﹣14 B．15 C．﹣15 D．17【分析】由题意得出an+1﹣an＝2，从而判断数列是以等差为2，首项为1的等差数列，进而求出通项公式，从而求解．【解答】解：∵数列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2，∴an+1﹣an＝2，∴数列是以等差为2，首项为1的等差数列∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1∴a8＝2×8﹣1＝15，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，由an+1﹣an＝2，判断数列是以等差为2，首项为1的等差数列，是解题的关键．属于基础题．2．（4分）将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现3次正面向上的概率为（）A． B． C． D．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出恰好出现3次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机掷4次，由n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式得：恰好出现3次正面向上的概率为P＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次抽到偶数的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用条件概率计算公式求解即可．【解答】解：设事件A为第1次抽到奇数，事件B为第2次抽到偶数，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝×＝．故选：B．【点评】本题考查条件概率计算公式，是基础题．4．（4分）在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝．若am＝2﹣11，则m＝（）A．17 B．16 C．14 D．13【分析】由等比数列的通项公式结合已知可求得公比q，从而可求得m的值．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a4＝，所以2q³＝，解得q＝，又am＝2﹣11，所以2×（）m﹣1＝2﹣11，可得m＝13．故选：D．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（4分）已知函数f（x）＝ln（），则f′（x）＝（）A． B． C． D．【分析】根据导数的公式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）＝ln（），∴f′（x）＝•＝，故选：D．【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．6．（4分）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首．北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧．墩墩同学要从24个节气中随机选取2个介绍给外国的朋友，则这2个节气中含有“立春”的概率为（）A． B． C． D．【分析】基本事件总数n＝＝276，这2个节气中含有“立春”包含的基本事件个数m＝＝23，由此能求出这2个节气中含有“立春”的概率．【解答】解：墩墩同学要从24个节气中随机选取2个介绍给外国的朋友，基本事件总数n＝＝276，这2个节气中含有“立春”包含的基本事件个数m＝＝23，则这2个节气中含有“立春”的概率为P＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（4分）函数f（x）＝x+2cosx在[0，π]上的极小值点为（）A．0 B． C． D．π【分析】可利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求极值点．【解答】解：f′（x）＝﹣2sinx＝0，解得x＝或，故y＝x+2cosx在区间上是增函数，在区间上是减函数，在是增函数．∴是函数的极小值点，故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数的极值点，考查学生的运算能力，属于中档题．8．（4分）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d，其导函数的图象如图所示，则函数f（x）的图象只可能是（）A． B． C． D．【分析】关键导函数图象的位置以及形状对原函数进行分析解答．【解答】解：由题意，导函数图象为无零点的开口向上的二次函数图象，并且最低点为（1，1），所以原函数在x＝1出的导数为1，由此排除选项A，B；再由导函数的定义域为R，而排除选项C；故选：D．【点评】本题考查了函数图象以及导函数图象与原函数的关系；属于中档题．二、填空题（每小题4分，共16分）9．（4分）函数f（x）＝x3的图象在点（﹣1，f（﹣1））处切线的方程是3x﹣y+2＝0．【分析】先求出f（x）的导数，求出x＝﹣1处的导数，利用点斜式求出切线方程．【解答】解：由已知得：f′（x）＝3x2，∴f′（﹣1）＝3，f（﹣1）＝﹣1．∴切线方程为：y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．故答案为：3x﹣y+2＝0．【点评】本题考查导数的几何意义，切线方程的求法．属于基础题．10．（4分）公比为2的等比数列{an}中，若a1+a2＝3，则a4+a5的值为24．【分析】由等比数列的性质求解即可．【解答】解：因为等比数列{an}的公比q＝2，a1+a2＝3，则a4+a5＝a1q3+a2q3＝（a1+a2）q3＝3×23＝24．故答案为：24．【点评】本题主要考查等比数列的性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题．11．（4分）数列{an}满足an+1＝，则a2＝3，a3＝7．【分析】直接利用数列的递推关系式写出结果即可．【解答】解：数列{an}满足an+1＝，则a2＝3×1＝3，a3＝2×3+1＝7．故答案为：3；7．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．12．（4分）已知函数f（x）＝，给出下列结论：①（1，+∞）是f（x）的单调递增区间；②函数y＝f（x）有极大值点是1；③当k∈（e，+∞）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有两个不同交点．其中正确的序号是①③．【分析】利用导数研究f（x）的图象，再数形结合即可求解．【解答】解：∵f（x）＝，（x≠0），∴，（x≠0），∴当x∈（﹣∞，0）∪（0，1）时，f′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴①正确；∴函数y＝f（x）有极小值点是1，无极大值点，∴②错误；又当x＞0时，x→0，f（x）→+∞；x→+∞，f（x）→+∞，且极小值为f（1）＝e，当x＜0时，x→0，f（x）→﹣∞；x→﹣∞，f（x）→0，∴结合f（x）的图象得：当k∈（e，+∞）时，直线y＝k与y＝f（x）的图象有两个不同交点，∴③正确，故答案为：①③．【点评】本题考查利用导数研究函数单调性、极值，数形结合思想，属基础题．三、解答题（共4小题，共52分）13．（13分）已知等差数列{an}的前n项为Sn，a4﹣a1＝6，S4＝﹣20．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若Sk＝﹣18，求k的值．【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式可求得公差d，由前n项和公式求得首项a1，从而可求出{an}的通项公式；（Ⅱ）由等差数列的通项公式可得关于k的方程，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，因为a4﹣a1＝6，所以d＝＝＝2，又S4＝﹣20，所以4a1+×2＝﹣20，解得a1＝﹣8，所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10．（Ⅱ）若Sk＝﹣18，则﹣8k+×2＝﹣18，即k2﹣9k+18＝0，解得k＝3或k＝6．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．14．（13分）已知函数f（x）＝x3+2x2﹣5x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+4x﹣5＝（x﹣1）（x+5），令f′（x）＝0，得x＝﹣5或x＝1，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞，﹣5）﹣5（﹣5，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣5），（1，+∞）；单调递减区间是（﹣5，1）；（Ⅱ）因为f（﹣2）＝，f（2）＝﹣，f（1）＝，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣．最大值为：．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．15．（13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设a＝3，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为s02．在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为s22，试比较s02，s12，s22的大小．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由茎叶图分别求出甲组10名学生阅读量的平均值和乙组10名学生阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为，乙组10名学生阅读量的平均值为．………………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人．由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）【点评】本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（13分）已知函数f（x）＝x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a＝1时，函数y＝f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y＝f（x）的单调减区间．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（II）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调减区间即可．【解答】（I）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a＝1时，，函数，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a＝1时，函数y＝f（x）没有极值点；（II）＝，x∈（0，+∞）令f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝a，①a⩽0时，由f′（x）＜0可得x＜1，所以函数f（x）的减区间是（0，1）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＜0，可得a＜x＜1，所以函数f（x）的