《高等流体力学》习题集

--#-应力张量 P-_P'Jij■.ij=一P'Jij■2丄佝偏应力张量1ij 3skkij变形速度张量球面上的合力erer=sin「cosve-pij=-p2.13.i2.1-P3.i3」3」-P1+—skk0ij)=3cu1&v cU、1cw £u、3、-(+)—(+)01&2dx dy2ex cz21 cudv&v1dw eV3(+—)——(——+—)=10一2by&2dy cz21ducw1dv dwdw33n( 十)-(+)0a&ex2cz dy戲 丿2J3」3」0Ssinsinvey-cos ez_：•i-ex-ex円.0sinH■ey0sinezn0sin兀卿F-ex0sin■ey「sin0eznsin0卿F=S隅Pij菽=o'sinWIXiPij、：2二.....(-psin「cost2.Lsin:sinv3.LeosJ、：2二(2」sin「cosv-psin「sinv3'cosJ、：02二......o(3"sincost3」sinsinv-pcosJ、v2二......o(-psincosv2」sin:sinv3」cosJ、v2二(2-sin「cosv-psinsinv3丄cos:)--n02二(3Lsincost3Lsinsinn-pcos)v0....2.ez「一pcos；J：0sin•、.：F=ex 31cos；七

■ . 2l'eyo3」cosT0sin-X1—V.)u..X2x=0丄空J；：x=0兀dy-X1—V.)u..X2x=0丄空J；：x=0兀dyd^=-yAdy」a层流动ua2yA1yB1N N N=(3ex 3」ey-pey)2二°cos:sin「=05.如图，水平放置的两块平行无穷平板间有厚度为 a、b,粘性系数分别为J、」b的不相混的不可压缩流体作平行于平板的定常的层流运动。 试求：速度沿厚度方向的分布以及两层流体在界面上的切应力 .ab（设沿流动方向上的压力梯度为常数，即咀二二空0）。dx［解］:定常、层流、水平流动控制方程：' 2b层流动ub y A2y B22叫边界条件:Uby£uby去q=Uay»由dubb"dy心』A1A2B2dy当0_r_a:v当0_r_a:vr=0当r_a:Vr=01二—rvz=022av Vz=0r6.试分析复位势W（z）=mInz—丄i的基本流动;lz丿［解］:W(z匸mln(1、z-i=mIn/2z--p=mIn卩z廿)(z_1H=mIn(z+1)+mln(z_1)_mlnzX/Iz丿zJIz丿当m为正实数时， 复位势描述的流动由两个强度均为 m，位置分别在（-1,0）和（1,0）的点源及一个强度为m，位置在（0,0）的点汇组成。（a（a为漏斗半径）求：涡量I］=rotV，说明在什么区域是有旋的，什么区域是无旋的？（ •'是常数）erreQez-1-■©rotV=———rcrcQvrrv0v［解］:计算涡量 柱坐标.rUrrerdQ

ru二:zUzer re日c&rcr cf2

or0—2ez:z0二ezrer1亘rdr0cQ2

a2ez2=0cz(r一a):Ux c一=0;:Ux c一=0;:x:UxUx gsin:exsin:g2y-Ay2vVLUx2；：Ux.:ysin:gy=0Ux-0B:=0y=hA二2、..U-sin:-ghux-U2讪带有自由面的粘性不可压缩流体在倾斜平板上由于重力的作用而发生运动。 设：平板无限，与水平面的倾角为 a，流体的深度为h,作定常直线运动。求：速度分布、 流量、平均流速、最大流速及作用在平板上的摩擦力。［解］：不可压缩，定常sin.eg Uy(y-h)yh9.无限平板的上半空间充满粘性不可压缩流体,平板初始由静止开始于某时刻起沿自身平行方向作周期性的振动,9.无限平板的上半空间充满粘性不可压缩流体,平板初始由静止开始于某时刻起沿自身平行方向作周期性的振动,若运动规律为u=u0cos(•・t)，运动中压力不变。求：平板运动所引起流体的运动状态。« *U二UoCOS•・t：：Ux^Uy+=0；x■y：：UxCUxUx:xuy;:t^UyOJyUx:xUy^Uy；t-V［解］:1—V：u.:x丄Jp::jy不考虑质量力、压力，并 Uy=0:xUx■-Uxy=0ux=u0costy「，ux=0ft由边界条件，速度分布具有:__yux=u0e'cos(;.-；t-：y)；Uxft=u°eY,sin(.t-:y).：Ux=u0(-「)e—*[cos(--t-?y)-sin(•，t-「y)]2-Ux 2 ..-yu0e-[sin(-y--t-?y)-cos(•，t_,y)—cos(•，t_,y)-sin(•‘t_?y)]u°e曲灼sin(cot—oy)y=2-..U0、£e-Jsin(•，t-:y)2=2..?Ux=Uoe■y2'cos(，t2：y)，确定r强度，再作叠加。置的速度为-Vg线涡r（o,h）=0 =h=t 感生的速度场教材p165(5-5-15)V(0,h)1rot4■:-•2,2,2咼 『ht0 +0+1dtrh(y-h)ex-xe222x■(y-h)•(z-1)y小 2丄 22二x(y-h)(1)-1V(o,h)：——rot4兀一：rh.o2 02i2dtx2(y-h)2(z_t)2ezdt222.X(y-h)(z-1)rh::? '、( )ezdt'2227

<x+(y—h)+(z—t)■:/a)=；a-rh-：xex-(y—h)ey-(z-t)e h?. '2224- -'-[x亠(y—h)亠(z—t)]z-«2 32ezdt(y-h)ex-xey—『h ■■=八x2+(y_h)2(-t)2]32dt-rh - -?y-h)ex-xey]严 dt-=[x2(y-h)2(z-t)2]32_r 一一 ?y-h)ex-xey]厂t—zJx+(y—h)]Jx+(y—h)+(t—z)」rh(y_h)ex-xey222二x•(y-h)由题意:- rh(y-h)ex—xey rh(—2h)ex -V(0,h)(0,_h) 2 2 厂=V：€x2兀x+(y—h)x£yj 2X(—2h)同理，线涡 r(o,_h)=o- =t感生的速度场(0,丄)r丄(y•h)ex-xey2二x2■(y■h)2(2)V(0,(y'h)ex-xeyr』exx2(yh)2X=0,y二上二V：：ex分别将rh=4二hV：:和r上=-4二hV：:带入(1)、(2)式，得到位于(0,h)和(0,速度场及无穷远来流的速度场：- (y—h)ex—xeyV(0,h)=-2hV：： 2 ~x+(y—h)- (y+h)ex—xeyV(0,4=2hV2 -厂x十(y十h)几=4二hV：：J一4二hV：：h)两点的涡线感生的-V：d于是，总的速度场为:Vt=VJ2h(y—h)ex-xey22x(y—h)2h(y-h)ex_xey(y-h)-ex]Vth(yVth(y-h) 2h(y-h)- i i -_1]ex-2hV：一x[飞 2-飞 2】eyx+