北京市东城区2022-2023高二上学期期末数学试卷及答案

东城区2022-2023学年度第一学期期末统一检测

--姒子2023.1

本试卷共6页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,

在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共36分）

一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.已知向量a=（8,—2,l）.b=（-4,1次）,且a〃d那么实数k的值为

A.--B.一yC.-2D.2

2.直线l\3C--y—£=o的倾斜角是

A.45°B.135°C.60°D.90°

3.抛物线丁=—2.z•的准线方程是

1

A.B.)=-1仁C.l-2D.x=1

4.2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起

向未来”（英文为：“TogetherforaSharedFuture”），这是中国向世界发出的诚挚邀

约,传递出14亿中国人民的美好期待.“一起向未来”的英文表达是：“Togetherfora

SharedFuture"，其字母出现频数统计如下表：

字母t0gehrfasdu

频数32142422112

合计频数为24,那么字母“e”出现的频率是

A—B—（'—D-

86124

5.设S”为数列｛册｝的前〃项和，已知田=3,S„+1=S„+2",那么生=

A.4B.5C.7D.9

高二数学第I页（共6页）

6.已知在长方体ABCD-AiBCA中，AB=AD=1,AA=2,那么直线A.C与平面

AAiPD所成角的正弦值为

A叵

,6

D.更

C-T

”B

7.如图，点。是正方形ABCD两条对角线的交点.从这个正方形的四个顶点中随机选

取两个，那么这两个点关于点。对称的概率为

8.圆心为(一1,2),半径为3的圆的标准方程是

A.(①一l)2+(y+2)2=9B.(工+1)2+(»—2尸=9

C.(j?—1)2+(j>+2)2=3D.(1+1产十(》一2产=3

9.已知正四棱锥P—ABCD的高为4,棱AB的长为2,点”为侧棱PC上一动点，那么

△HBD面积的最小值为

A.72B.亨

72

Cr-TD.堡

10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为了，第二次得到的点数记

为那么事件“2，+，W16''的概率为

5

A.-B.

36

C4D-f

高二数学第2页（共6页）

11.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”

之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提

出的双台子台阵方法，在一次地震发生后•通过两个地震台站的位置和其接收到的

信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双

曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收

到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中

到地震台B站的距离至少为

A.8kmB.6kmC.4kmD.2km

12.对于数歹｛a“｝，若存在正数使得对一切正整数〃，都有|对|<M,则称数歹（］｝是

有界的.若这样的正数M不存在，则称数列｛%｝是无界的.记数列｛4｝的前n项和

为S”，下列结论正确的是

A.若许=［，则数列市“｝是无界的B.若a“=〃sin〃，贝数歹心即｝是有界的

H

C.若册=（一1）",则数列｛S"是有界的D.若许=2+二，则数列｛S“｝是有界的

n

第二部分（非选择题共64分）

二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

13.空间向量。=（1,—1,0）,&=（?附，1,—1）,若aj_b,则实数m=.

14.在等差数列｛4“｝中，m=2,&|=。2+6,则a„=.

15.两条直线乙：3才一。-2二0与Z2：3JT-4^+8=0之间的距离是.

16.某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题

作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是停，且每道题答对与否互不影

响，则甲恰好答对其中两道题的概率为;若乙能答对其中3道题且另外两

道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为.

17.写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为）=±21的双曲线的标

准方程.

高二数学第3页（共6页）

18.已知点P是曲线=其中。力为常数）上的一点，设M,N是直线y=z上

任意两个不同的点，且|MN|=£.则下列结论正确的是.

①当a6>0时，方程a/+如2=1表示椭圆；

②当MVO时，方程以/十加2=1表示双曲线；

③当&=5“=!，且£=4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点。有6个；

o

④当a=16=4,且0<fV4时，使得△„是等腰直角三角形的点P有8个.

Z4o

三、解答题共5小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19.（本小题8分）

某超市有A,B,C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如下

表所示，且两人选择哪个收银台相互独立.

攵银台

A收银台B收银台C收银台

顾

甲a0.20.4

乙0.3b0.3

（I）求a,b的值；

（II）求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；

（in）求甲、乙两人在结账时至少一人选择c收银台的概率.

高二数学第4页（共6页）

20.（本小题10分）

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，PA_LAD,

PA=AB=2,再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.

条件①：平面PADJ_平面ABCD；

条件②：PAJ_AB.

（I）求证：PA,平面ABCD；

（II）求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；

（III）求点B到平面ACQ的距离.

注：如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.

21.（本小题10分）

已知圆C：H2+»2—22+43,-4=0,圆G：（I—3）2+（》-1）2=4及点产（3,1）.

（I）判断圆C和圆G的位置关系；

（11）求经过点P且与圆C相切的直线方程.

高二数学第5页（共6页）

22.（本小题10分）

已知椭圆E：〈+*=l（a>6>0）的离心率为g,一个顶点为A（0,l）.

atrN

（I）求椭圆E的方程；

（口）若过点A的直线/与椭圆E的另一个交点为B,且|AB|=黑，求点B的

坐标.

23.（本小题8分）

2y,

已知无穷数列｛yj满足公式设加=a（0（a〈l）.

2—2y“J&yWL

（I）若a=[,求其的值；

（口）若北=0,求a的值；

（ffl）给定整数M（M>3）,是否存在这样的实数a,使数列｛%｝满足：

①数列｛%｝的前M项都不为零；

②数列｛%｝中从第M+1项起，每一项都是零.

若存在，请将所有这样的实数。从小到大排列形成数列｛a,J，并写出数列｛a,J

的通项公式；若不存在，请说明理由.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

高二教学第6页（共6页）

东城区2022-2023学年度第一学期期末统一楼测

高二数学参考答案及评分标准2023.1

一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。

1.B2.A3.C4.B5.A6.A

7.C8.B9.D10.C11.A12.C

二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

13.1.14.3M-1.15.2.16.却名.

y□

17.答案不唯一，满足条件的双曲线方程一般形式为(一4=ia力

A4人

如X2—^-=1,^-—xz=l.

44

18.②③④.(全部选对的得满分,部分选对的得部分分，有错误选项的得0分.)

注：两空给分2；1

三、解答题共5小题，共46分。

19.(本小题8分)

解：(I)由表可知，甲选择A收银台的概率为a=1—0.2—0.4=0.4,

乙选择B收银台的概率为6=1—0.3—0.3=0.4.................................2分

(【1)设事件A为“甲选择C收银台“，事件B为“乙选择C收银台”，事件C为“甲，乙两人在结

账时都选择C收银分”.

根据题意，P(A)=0.4,P(B)=0.3,事件A,B相互独立.

所以P(C)=P(AB)=0.4X0.3=0.12.........................................5分

(【II)方法1：设事件D为“甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台”，

则D=ABUABUAB.

JSfftZP(D)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.4X0.7+0.6X0.3+0.4X0.3=0.58....8分

方法2：设事件D为“甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台”，

P(D)=l-P(AB)=l-0.6X0.7=0.58.......................................8分

20.(本小题10分)

条件①：平面PAD,平面ABCD.

(I)证明：•.•平面PAD,平面ABCD,PA，AD,PAU平面PAD,平面PADA平面ABCD=AD,

平面ABCD....................................................3分

高二数学参考答案及评分标准第1页(共4页)

条件②：PA_LAB.

(I)证明：•..口4_1_43,。4，40,48,4。(=平面48。。,88(14£>=4,

...PA,平面ABCD......................................................................................................................3分

（|［）解：由（I）知PAJ_平面ABCD,AB±AD,AB,AD,AP两两垂直.

；•以A为原点，AB,AD,AP为轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

由此得P(O,O,2),A(O,O,O).Q(O,1,1),C(2,2,O),

.,.Xt=(2,2,0),葩=(0,1,1).

由(I)知平面ABCD的法向量为/=(0,0,2),

设平面ACQ的法向量为"=(H,y,z),

1r2z+2y=0,

/.Y

j^+z=0.

旷一w

lz=­y.

・"=(-y,y,—y),

令y=l,，〃=(—

设平面ACQ与平面ABCD的夹角为。，

13印，〃〉।=|番今IT急卜率

，平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为号......................................8分

（UI）解：由已知得8（2,0,0）,9=（2,0,0）,

二点3到平面ACQ的距离为上叱吐==^=擎.............................10分

V33

21.（本小题10分）

解：（I）将圆C的一般方程化成标准方程为（2-1）2+（»+2）2=9,

则圆C的圆心坐标为（1,—2）,半径为3.

又圆G的圆心坐标为（3,1）,半径为2,

所以|CCJ=，（1-3）+—2—1尸=/T3.

因为3—2</11<3+2,所以圆C和圆G相交......................................6分

高二数学参考答案及评分标准第2页（共4页）

（n）直线经过点P，由题意易知，斜率不存在时不相切.

设直线斜率为K则直线方程为、-1=左（工一3）,即无r—y—34+1=0.

由点到直线的距离公式得"="土等竺LL=3,

/T+F

19

解得4=0或£=一二，

0

得到直线方程为丁=1或121+5）—41=0...................................................................................10分

22.（本小题10分）

解：（I）因为椭圆E：4+《=l（a»0）的离心率为上顶点为

crlr/

所以b=1,£=g，即c='^-a.

aZN

因为°2=/十°2,解得。2=2,

所以椭圆E的方程为方十丁=1....................................................................................................4分

（n）方法1：由题意易知，斜率不存在时不符合要求.

设直线i的斜率为左.则直线/：»=人+1.

y=kx~\r1,

整理得（1+2公）*+4舐=0,

x2+2J=2,

-4k1-2公

贝ijB（2芥+1'2公+/•

由质引=华，得|AB|=7TTF・|另笔"|=峥.

3，々十13

（或由|AB|2=（3格）2+（痣^一1）2=（峥）2列式）.

N々十1N々十13

化简得公+公一2=0,解得公=1或一2（舍）.

所以点B的坐标为（一言,一看）或（”,一!）・....................................10分

OOOO

2」1、232

j72+（j；-l）z=y,

方法2：设点B的坐标为（］~）,则＜

卦…，

■to

则2（l-/）+（y-l）2=y.

化简得9/+18^+5=0,

高二数学参考答案及评分标准第3页（共4页）

15

解得y=一可或一J.

514

当，=一三时，才无解；当，=一五时，土石.