半角模型综合应用（训练）

专题06半角模型综合应用（专项训练）

：考点1等■■京三角形韵含半角*型

1.如图，在△4BC中，/C=90°,AC=BC,M、N是斜边4B上的两点，且NMCN=45°,

AM=3,BN=5,则MN=________.

AK

C.^————A-8

【答案】V34

【解答】解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR,连接

则△CR4丝△CN8全等，△RAM是直角三角形

：.AR=BN=5,_______

22

MN=/?M=^3+5=^34

2.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=4C=15衣，点M、N在边BC

上，且/MAN=45°,CN=5,MN=.

【答案】13

【解答】解：I•等腰直角三角形A8C中，N8AC=90°,48=AC=15我,

ZABC=ZC=45°,8C=&A8=30,

把△?!(?%绕点4顺时针旋转90°得到△48。，连接如图所示：

则NA8O=NC=45°,BD=CN=5,NDAN=90°,AD=AN,

：.ZDBM=45°+45°=90°,

•.•/M4N=45°,

，NMAO=90°-45°=45°,

ZMAD=NMAN,

，AD=AN

在△AMO和△4WN中，，ZMAD=ZMAN，

AB=AC

.♦.△AMO丝AAMN(SAS),

：.MD=MN,

设MD=MN=x,

则BM=BC-MN-CN=25-x,

在Rt/XOBW中，由勾股定理得：BD2+BM2=MD2,

BP52+(25-x)2=x2,解得：x=13,

：.MN=\3f

故答案为：13.

3.如图1,在RtZVIBC中，N8AC=90°,AB=4C,点。、E是BC边上的任意两点，且

ND4E=45°.

(1)将△AB。绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,请在图(1)中画出△ACF.

(2)在(1)中，连接EF,探究线段B£),EC和DE之间有怎样的数量关系？写出猜想，

并说明理由.

(3)如图2,M、N分别是正方形A8CQ的边BC、CQ上一点，旦BM+DN=MN,试求

NM4N的大小.

(2)连接EF,

由旋转可知，AF=AD,CF=BD,N£)AF=90°,

；ND4E=45°,

：.ZDAE=ZFAE=45°,

在和AME中，

'AF=AD

<ZDAE=ZFAE=45°>

AE=AE

{SAS),

：.EF=DE,

'：AB=AC,N8AC=90°,

；./B=NACB=45°,

—45°,

AZECF=ZACB+ZACF=90a,

：.EF2=EC2+FC2,

：.DEi=E(^+BD!-x

(3)将△AZW绕点A逆时针旋转，得到△ABE,如图:

图2

由旋转得：NNAE=90°,AN^AE,/ABE=/O=90°,

：.E,B,M三点共线,

■:BM+DN=MN,

：.ME=MN,

在△AEM和△AMW中，

'AN=AE

<EM=MN-

AM=AM

：./\AEM^/\ANM(5SS),

.•./MAE=NMAN=45°.

考点2正方形中角含半角模型

4.(1)如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边8C、CD上，NEAF=45°,延长

CD到点C,使。G=BE,连接EF、AG,求证：EF=FG；

(2)如图②，在△ABC中，ZBAC=90°，点、M、N在边BC上，且/M4N=45°,若

BM=2,AB=AC,CN=3,求MN的长.

【解答】(1)证明：在正方形ABC。中，ZABE^ZADG,AD=AB,；在△43£：和4

ADG中,

，AD=AB

<ZABE=ZADG-

DG=BE

A/\ABE^/\ADG(SAS),

:.NBAE=NDAG,AE=AG,

：.ZEAG^90°,

在△E4E和△GAF中，

，AE=AG

<ZEAF=ZFAG=45°，

AF=AF

(SAS),

:.EF=FG；

(2)解：如图，过点C作CEA.BC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.

\'AB=AC,/8AC=90°,N8=NACB=45°.

VCE1BC,AZACE=ZB=45°.

在△A8M和△ACE中，

fAB=AC

■ZB=ZACE-

BM=CE

：./\ABM^/^ACECSAS).

J.AM^AE,NBAM=NCAE.

VZBAC=90°,ZMAN=45°,:./BAM+ZCAN=45°.

于是，由NBAM=NCAE,得NMAN=NEAN=45°.

在△M4N和△EAN中，

/AM=AE

<ZMAN=ZEAN-

AN=AN

:.△MANDAEAN(SAS).

:.MN=EN.

在RtZ\ENC中，由勾股定理，得EM=EC2+NC2.

:.MN2=BM2+NC1.

：8M=2,CN=3,

：.MN2=?^+32,

5.已知：正方形ABC。中，ZMAN=45°,NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB,DC（或它们的延长线）于点M,N.

（1）当/MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN=MN；

（2）当NMAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段8M,QN和MN之间又有怎样

的数量关系呢？请直接写出你的猜想.（不需要证明）

【解答】解：（1）猜想：BM+DN=MN,

证明如下：

如图1,在M8的延长线上，截取BE=£W,连接AE,

.♦.△ABEdAON(SAS),

：.AE^AN,ZEAB=ZNAD,

VZBAD=90°,NMAN=45°,

：.ZBAM+ZDAN^45a,

：.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=ZNAM,

'AE=AN

在△«加和中,ZEAM=ZNAM-

,AM=AM

.♦.△AEM丝△AMW(SAS'),

:.ME=MN,

又ME=BE+BM=BM+DN,

:.BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

证明如下：

：.AM^AF,NBAM=NDAF,

：.ZBAM+ZBAF=ZBAF+ZDAF=90°,即M4F=NBAO=90°,

•.,NM4N=45°,

：.ZMAN=ZFAN^45°,

'AM=AF

在△MAN和△用N中，，ZMAN=ZFAN

AN=AN

.,.△MANg△阳N(SAS),

：.MN=NF,

：.MN=DN-DF=DN-BM,

:.DN-BM=MN

6.把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形A8CQ的顶点A重合，然后把三角板绕点A

顺时针旋转，它的两边分别交直线CB、0c于点M、N.

(1)当三角板绕点A旋转到图(1)的位置时，求证：MN=BM+DN.

(2)当三角板绕点A旋转到图(2)的位置时，试判断线段MMBM、£W之间具有怎

样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明.

(1)证明：延长M8到H,使连接AH,如图(1),

•.•四边形A8CC为正方形，

：.ZD=ZABC=90°,AD=AB,

在△48”和中，

，AB=AD

<ZABH=ZADN-

BH=DN

:.△ABHQMDN(SAS),

：.AH=AN,ZHAB=ZNAD,

：/M4N=45°,

:.NDAN+NBAM=45°,

：.ZHAB+ZBAM=45°,

：.ZHAM=ZNAM,

在△AM"和△AMN中，

，AH=AN

,ZHAM=ZNAM-

AM=AH

(SAS),

:.MH=MN,&HB+MB=MN,

:.MN=BM+DN；

(2)解：MN=DN-BM.理由如下:

在£W上截取£>H=8M,如图(2),

与(1)•样可证明△ADH出△ABM,

：.AH=AM,NDAH=NBAM,

,.•/M4N=45°,

AZDAH+ZBAN=45°,

：.ZHAN=45a,

:.NHAN=4NAM,

在△AN"和△AWN中，

'AH=AM

,ZHAN=ZMAN-

AN=AN

A/XANH^/XAMN(SAS),

：.NH=MN,

而DN=DH+HN,

:.BM+MN=DN,

即MN=DN-BM.

考点3等边三角形中120•含以）徐）半角横里

7.如图，在△4BC中，ZBAC=120°,A8=AC,点M、N在边BC上，且/M4V=60°.若

BM=2,CN=3,则MN的长为.

【答案】V7

【解答】解：如图，aABM绕点A逆时针旋转120°至△APC,连接PN,过点P作BC

的垂线，垂足为力，

；N84C=120°,AB=AC,

：.ZB=ZACB=30°

,/△ABAfg/UPC,

.•.NB=N4CP=30°,PC=BM=2,NBAM=NCAP,

：.ZNCP=60°,

；NM4N=60°,

ZBAM+ZNAC^ZNAC+ZCAP=60°=/MAN,

又：AM=AP,AN=AN,

.,.△MAN和中，

'AM=AP

,ZMAN=ZPAN

AN=AN

.♦.△MAN丝(SAS),

：.MN=PN,

:PDLCN,NNCP=60°,

：.CD=^PC^\,PD=MCD=M

2

DN=CN-8=3-1=2,

PA，=V(V3)2+22=由

故答案为：W-

8.△ABC中，ZBAC=a,AB=AC,点、D、E在直线BC上.

(1)如图1,D、E在BC边上，若a=120°,S.AD2+AC2=DC2,求证：B£)=A£)；

(2)如图2,D、E在BC边上，若a=150°,ZDAE=75°,且EZ)2+B£)2=CE2,求

ABAD的度数.

(3)如图3,。在CB的延长线上，E在边上，若NB4C=a,ND4E=180°-Aa,

2

ZADB=\5°,BE=4,BD=2,则CD的值为.

图3

【解答】(1)证明：VA£>2+AC2=DC2,

AZDAC=90°,

'：ZBAC=a=]2O0,

ZBAD^a-ZDAC^30°,

ZAB=AC,

.*./B=NC=30°,

；.NBAD=NB=30°,

：.BD=AD.

(2)解：如图(2),将△?!£：(?绕着点4顺时针旋转150°,得到△4£：'B,

.".AE'=AE,NABE'=NC,BE'=CE,NEAC=NE'AB,

•.,NB4C=150°,4DAE=15°,

：.ZBAD+ZEAC=15a,

：.ZBAD+ZE'48=75°,即NE'40=75°,

.•.NE'AD=ZEAD,

又♦.•AD=A£),AE^AE',

.'.△AE'D^/XAED(SAS),

：.DE