2023新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算教师用书新人教A版必修第一册

4.3.2对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)1．借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养．(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？(2)计算lg10，lg100，lg1000及lg104的值，你能发现什么规律？知识点1对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？[提示]不一定．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)log2x2＝2log2x． ()(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． ()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． ()[答案](1)×(2)×(3)×2．计算log84＋log82等于()A．log86 B．8C．6 D．1D[log84＋log82＝log88＝1．故选D．]3．计算log510－log52等于()A．log58 B．lg5C．1 D．2C[log510－log52＝log55＝1．故选C．]知识点2对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝eq\f(logcb,logca)．几个常用推论：(1)logeq\s\do6(an)bn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)；(2)logeq\s\do6(am)bn＝eq\f(n,m)logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；(3)logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．4．(多选)下列等式正确的有()A．log34＝eq\f(ln4,ln3) B．log34＝eq\f(lg4,lg3)C．log34＝eq\f(1,log43) D．log34＝eq\f(log14,log13)[答案]ABC类型1对数运算性质的应用【例1】(对接教材P124例题)计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(lg\r(2)＋lg3－lg\r(10),lg1.8)．[解](1)原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2)．(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3．(3)原式＝eq\f(\f(1,2)lg2＋lg9－lg10,lg1.8)＝eq\f(lg\f(18,10),2lg1.8)＝eq\f(lg1.8,2lg1.8)＝eq\f(1,2)．1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[跟进训练]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25．[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1．(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3．类型2对数的换底公式【例2】(1)计算：(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．[解](1)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋logeq\s\do6(22)52＋logeq\s\do6(23)5)·(logeq\s\do6(53)23＋logeq\s\do6(52)22＋log52)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(1＋1＋1)log52＝eq\f(13,3)·3＝13．(2)∵18b＝5，∴b＝log185．又log189＝a，∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185＋log189,1＋log182)＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a)．[母题探究](变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解]∵log189＝a，∴log183＝eq\f(a,2)．又log185＝b，∴log915＝eq\f(log1815,log189)＝eq\f(log183＋log185,log189)＝eq\f(\f(a,2)＋b,a)＝eq\f(a＋2b,2a)．利用换底公式进行化简求值的原则和技巧[跟进训练]2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg5,lg3)·eq\f(lg16,lg5)＝eq\f(lg16,lg2)＝eq\f(4lg2,lg2)＝4．(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4)．类型3对数运算性质的综合应用【例3】(1)若3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值；(2)已知3x＝4y＝6z，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(1,2y)＝eq\f(1,z)．以指数式与对数式间的内在联系为切入点，思考如何求解相应问题．[解](1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436．∴eq\f(2,x)＝eq\f(2,log336)＝eq\f(2,\f(log3636,log363))＝2log363＝log369，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log436)＝eq\f(1,\f(log3636,log364))＝log364．∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log369＋log364＝log3636＝1．(2)证明：设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m．所以eq\f(1,x)＝eq\f(1,log3m)＝logm3，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log4m)＝logm4，eq\f(1,z)＝eq\f(1,log6m)＝logm6．故eq\f(1,x)＋eq\f(1,2y)＝logm3＋eq\f(1,2)logm4＝logm3＋logm4eq\s\up10(eq\f(1,2))＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝eq\f(1,z)．条件求值问题的求解方法带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．[跟进训练]3．已知3a＝5b＝c，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，求c的值．[解]∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，∴eq\f(1,a)＝logc3，eq\f(1,b)＝logc5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝logc15．由logc15＝2得c2＝15，即c＝eq\r(15)．1．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4C[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．故选C．]2．计算log92·log43＝()A．4B．2C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,4)D[log92·log43＝eq\f(lg2,lg9)·eq\f(lg3,lg4)＝eq\f(lg2,2lg3)·eq\f(lg3,2lg2)＝eq\f(1,4)．故选D．]3．设10a＝2，lg3＝b，则log26＝()A．eq\f(b,a)B．eq\f(a＋b,a)C．abD．a＋bB[∵10a＝2，∴lg2＝a，∴log26＝eq\f(lg6,lg2)＝eq\f(lg2＋lg3,lg2)＝eq\f(a＋b,a)．故选B．]4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－logaeq\f(1,x)；(4)eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；(5)eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)．其中正确的有________．(填序号)(3)(5)[根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]5．已知2a＝5b＝10，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝________．1[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＝log102＝lg2，eq\f(1,b)＝lg5，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg5＝lg10＝1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对数有哪些运算性质？[提示](1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logabm＝mlogab．其中(a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)2．你能用对数的换底公式证明lo