第三章信号检测与估计理论3

3.5信号统计检测的性能

以上讨论了信号统计检测理论的主要检测准则，并给出了相应的判决式

，这些准则都需要计算似然比函数，但似然比检测门限随采用的准则不同而变化;且都与判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)有关。

似然比检验的判决表示式为判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示为

显然，通过检测门限，将P(H1|H0)和P(H1|H1)联系了起来通常，似然比检验又进行化简，得到检验统计量l（x）的形式判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示为在例3.3.1中，检验统计量和检测门限分别为

其判决概率为

图3.11判决概率P（H1|H0）和P（H1|H1）示意图

二元确知信号统计检测的三个主要准则的基本概念：贝叶斯准则先验概率已知，代价因子指定，使平均代价最小；最小平均错误概率准则先验概率已知，代价因子，使平均错误概率最小；奈曼－皮尔逊准则在约束下，使最大。图3.12接收机工作特性（ROC）信噪比图3.13检测概率PD与信噪比d的关系信噪比证明过程如下：图3.14接收机工作特性在不同准则下的解贝叶斯准则平均最小错误概率准则图3.14接收机工作特性在不同准则下的解N-P准则法拉第：工作方法很重要

3.6M元信号的统计检测

实际问题中，除了常用的二元信号检测外，还会遇到M

（M2

）元信号检测的问题，例如，多元通信问题，天气预报问题等。3.6.1M元信号统计检测的贝叶斯准则

1.M元信号统计检测的基本概念（见3.2节）信号有M种状态，相应假设为；判决域分成，且满足图3.15M元信号检测模型

合理划分判决域，以得到最佳判决；判决结果，共种；判决概率，其中，种是正确判决概率，种是错误判决概率。

2.贝叶斯准则各假设的先验概率已知；各种判决的代价因子赋定的条件下，使平均代价

最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。平均代价的分析表示式

根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式因为判决域Ri可表示为

平均代价C的分析表示式为分析：

C中第一项为固定代价；

C中第二项是M个积分项之和，为贝叶斯平均代价的可变项，与判决域的划分有关。为得到使平均代价C最小的最佳判决域，令

则判决规则应选择使Ii最小的假设为判决成立的假设

时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。当M＝2时，结果就是二元信号检测贝叶斯准则时的似然比检验。

如果定义似然比函数为

和函数

即利用似然比表示判决规则，那么判决规则就是选择使Ji(x)为最小的对应假设成立。

3.6.2M元信号检测的最小平均错误概率准则

1.最小平均错误概率准则各假设的先验概率已知；各种判决的代价因子。这时的平均代价就成为平均错误概率，使最小的检测准则就是元信号检测的最小平均错误概率准则。分析：类似于贝叶斯准则的分析方法，令

并且，当满足时，判决假设成立。这也意味着判决假设成立的判决域是通过解个方程组成的联立方程获得的。当时，结果就是二元信号检测最小平均错误概率准则时的似然比检验。最小平均错误概率

式中

2.最大似然准则在等先验概率的情况下，，则有

这样，个中最小的那个对应个最大的那个。于是，选择个中最大的那个对应的假设成立，称为元信号检测的最大似然准则。

M元信号检测的最大似然准则时的平均错误概率

例3.6.1

设四元数字通信系统,各假设为

其中,;,相互统计独立;先验概率相等;。设计最佳检测系统。

解由题意得各假设下的似然函数为采用四元信号检测的最大似然准则.各假设下的比较量由似然函数整理得

其中,。通过解联立方程得时，判决成立；类似地得时，判决成立；时，判决判决成立；时，判决成立。

现在讨论检测性能。由于检验统计量是高斯分布的，容易求得所以在各种假设Hj下，检验统计量l(x)的概率密度函数为

于是各判决概率为其中，是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为课后作业

对前面确知信号检测内容的复习3.2信号统计检测的基本概念信号不同状态的假设；不同状态信号的统计描述；根据信号统计特性的差异，作出合理地判决；判决结果为，判决概率为；

最佳判决的实质是满足某种指标要求的判决域最佳划分，数学上表示为最佳判决式。

最佳判决的性能分析，关键是要求出检验统计量的概率密度函数，进而求出判决概率，最终分析检测性能。3.33.4

二元确知信号统计检测的三个主要准则的基本概念：贝叶斯准则先验概率已知，代价因子指定，使平均代价最小；最小平均错误概率准则先验概率已知，代价因子，使平均错误概率最小；奈曼－皮尔逊准则在约束下，使

最大。二元确知信号的统计检测

二元确知信号统计检测的最佳判决式：似然比检验判决式化简为检验统计量与检测门限比较的最佳判决式或

检测性能分析：根据检验统计量统计特性；求出其概率密度函数；根据最佳判决式，积分求出各种判决概率；进而求出其检测性能。3.5信号统计监测的性能3.6M元确知信号的统计检测我们可以把二元确知信号统计检测的贝叶斯准则、最小平均错误概率准则的概念、理论和方法推广应用到M元确知信号的统计检测中。

信号的分类

信号有多种分类方法，我们这里分为：

1.确知信号它是确定的时间函数。举例：常数A

正弦、余弦信号

式中，振幅，频率，相位确知，或者是时间的确定函数。

2.参量信号

(1)具有未知或随机参量的信号

3.7参量信号的统计检测

举例：未知或随机参量

(2)随机相位信号式中，振幅，频率是确知参量，但相位是随机参量。

(3)随机振幅和随机相位信号式中，频率是确知参量，振幅和相位是随机参量。

(4)随机频率信号

式中，振幅和相位是确知参量，频率是随机参量。

3.7参量信号的统计检测

前面关于信号的统计检测的讨论，各假设可一般地表示为其中，信号是确知信号。针对确知信号的统计检测，似然函数由的统计特性决定，称为简单假设检验。如果信号中含有未知或随机参量，则各假设可一般地表示为这样，似然函数不仅与的统计特性有关，而且与信号参量有关，表示为，统计学中称为复合假设检验。这里，我们讨论二元参量信号的复合假设检验问题。3.7.1参量信号统计检测的基本概念

在信号含有未知或随机参量下的复合假设检验的概念、理论和方法，就是参量信号的统计检测。这样，在参量信号下，无论是二元、M元，无论何种统计检测准则，如果仍然选择确知信号的方法，则其检测结果的性能与未知参量有关，具有不确定性和随机性。因此，需要研究参量信号的统计检测问题，与在各假设下的概率密度函数完全确定不同，复合假设检验必须与未知参量相适应。符号说明：3.7.2参量信号统计检测的基本方法

(1)最大似然估计法。用最大似然估计估计未知参量，将估计量用在似然比检验中,称为广义似然比检验。3.7.2参量信号统计检测的基本方法（2）贝叶斯方法。把未知参量看作是随机过程的一个实现，并给它指定先验概率密度函数或者其他先验知识，将随机参量用概率密度函数来描述，在此基础上，用贝叶斯准则实现信号的检测。随机参量的概率密度函数已知的情况随机参量猜测先验概率密度函数的情况未知参量的奈曼•皮尔逊准则信号检测3.7.3广义似然比检验其方法是首先由观测信号的概率密度函数利用最大似然估计方法求参量的最大似然估计，所谓参量的最大似然估计，就是使似然函数达到最大的作为未知参量的估计量，记为，然后用求得的估计量代替似然函数中的未知参量，使问题转变为确知信号的统计检测。这样

设在假设下，似然函数为

其中，是未知参量。由似然函数，利用最大似然估计方法求得估计量，从而得，进而构成似然比检验称为广义似然比检验。如果假设是简单的，假设是复合的，则广义似然比检验为关于参量的最大似然估计，将在第5章中讨论。3.7.4贝叶斯方法

根据未知参量的统计特性及其先验知识，采用贝叶斯准则实现信号的统计检测。

1.随机参量的概率密度函数已知情况信号的统计检测中，我们关心的是信号属于哪个状态的最佳判决问题。所以，如果把看成是随机参量的函数，我们可以用统计平均的方法去掉随机参量的随机性，即和

然后构成似然比检验它也可以退化为假设是复合的，而假设是简单的。

2.猜测随机参量概率密度函数情况若未知，但可合理猜测，则用猜测的进行统计平均处理。

例如，随机振幅服从瑞利分布，随机相位服从均匀分布等，都带有一定的猜测性。

3.未知参量的奈曼—皮尔逊准则信号检测

在下，使最大。但由于存在未知或随机的参量，所得通常是参

量的函数。所以，采用奈曼——皮尔逊准则检测，需要对结果进行检验。若下，无论参量取何值，都是最大的，称为最大一致势检验，奈曼皮尔逊准则可用。若下，某些参量取值，最大，但另一些参量取值，不再是最大的，最大一致势检验失败，奈曼皮尔逊准则不能用。3.7.5M元参量信号的统计检测广义似然比检验，统计平均方法，猜测随机参量先验概率密度函数方法等，均可应用于元参量信号的统计检测中。

例3.7.1

研究二元参量信号的统计检测问题。

其中，是信号参量；。研究具有不同特性时的信号统计检测问题。

解

两个假设下的似然函数分别为和

（1），确知信号参量时，由化简得最佳判决式（2），确知信号参量时，最佳判决式为

（3）为随机参量，且已知，则

化简得最佳判决式显然，这是一个双边检验，即和，判决假设成立；，判决假设成立。请考虑这样判决的合理性（