新教材数学苏教版课件阶段提升课第三课解三角形

阶段提升课第三课解三角形

思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一利用余弦定理解题

1.(2020·全国Ⅰ卷)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=

,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=________.

【解析】因为AB⊥AC,AB=,AC=1,由勾股定理得BC==2,同理得BD=,所以BF=BD=,在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos30°=1+3-2×1××=1,所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得cos∠FCB=

答案:

2.(2020·台州高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a+c=6,b=2,cosB=

.(1)求c和sinA的值;(2)求sin(2A-B)的值.【解析】(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又a+c=6,b=2,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3,在△ABC中,sinB=由正弦定理得sinA=所以c=3,sinA=.(2)因为a=c,则A为锐角,所以cosA=所以sin2A=2sinAcosAcos2A=1-2sin2A=1-2×所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=【方法技巧】1.已知两边a,b及其夹角C的求解步骤(1)由c2=a2+b2-2abcosC求边c;(2)由正弦定理求a,b中较小边所对的锐角;(3)由内角和定理求第三角.2.已知三边的求解步骤(1)由余弦定理求最大边所对的角;(2)由正弦定理求其余两个锐角.

题组训练二利用正弦定理解题

1.(2020·成都高一检测)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,则边c的大小是 ()【解析】选D.因为b=2,B=120°,C=45°,

2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且a=2,sinA=

,则A=________,若角A为钝角,则b+

c的取值范围为________.

【解析】由sinA=及0<A<π,由角A为钝角得A=.由正弦定理得答案:

3.(2020·潍坊高一检测)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,________,且a=3,3sinB+3sinC=4sin(B+C).现从:①A=

,②B=

,③A+B=这三个条件中任选一个,将题目补充完整,并判断这样的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面积S;若不存在,请说明理由.

【解析】若选条件①.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4.因为A=,所以b2+c2-bc=9,不妨取易知b>a>c,且a+c>b,所以这样的△ABC存在,其面积S=若选条件②.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4,因为B=,所以b2=9+c2-3c.解得易知a>b>c,且b+c>a,所以这样的△ABC存在,其面积S=若选条件③.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a,又a=3,所以b+c=4,因为A+B=,所以a2+b2=c2,即9+b2=c2,解得易知c>a>b,且a+b>c,所以这样的△ABC存在,其面积S=综上所述,选条件①时,S=;选条件②时,S=;选条件③时,S=.【方法技巧】1.已知两角A,B及一边b的求解步骤(1)利用C=π-A-B求出角C;(2)由正弦定理得a=

求出边a;(3)由正弦定理得c=

求出边c.2.已知两边a,b及一边对角A的求解步骤(1)由正弦定理得sinB=

;(2)利用sinB的值及具体题意判断解的情况;(3)利用C=π-A-B求出角C;(4)由正弦或余弦定理求边c.其中(2)中运用正弦定理解三角形时,解不确定,可结合三角形中大边对大角的性质去判断解的个数.题组训练三判断三角形的形状

1.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(k为非零实数),则下列结论正确的是 ()A.当k=5时,△ABC是直角三角形B.当k=3时,△ABC是锐角三角形C.当k=2时,△ABC是钝角三角形D.当k=1时,△ABC是钝角三角形【解析】选ABC.当k=5时,根据正弦定理不妨设a=5m,b=3m,c=4m(m>0),显然△ABC是直角三角形;当k=3时,根据正弦定理不妨设a=3m,b=3m,c=4m(m>0),显然△ABC是等腰三角形,a2+b2-c2=9m2+9m2-16m2=2m2>0,说明C是锐角,故△ABC是锐角三角形;当k=2时,根据正弦定理不妨设a=2m,b=3m,c=4m(m>0),a2+b2-c2=4m2+9m2-16m2=-3m2<0,说明C是钝角,故△ABC是钝角三角形,当k=1时,根据正弦定理不妨设a=m,b=3m,c=4m(m>0),此时a+b=c,不能构成三角形,故结论错误.2.(2020·合肥高一检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,①若A>B,则sinA>sinB;②若sin2A=sin2B,则△ABC一定为等腰三角形;③若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC为直角三角形;④若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosB.以上结论中正确的有 ()A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④【解析】选D.对于①,因为A>B,所以a>b,由正弦定理可知,sinA>sinB,即①正确;对于②,因为sin2A=sin2B,所以A=B或2A+2B=π.若A=B时,△ABC为等腰三角形;若2A+2B=π,则A+B=,此时△ABC为直角三角形,故②不正确;对于③,sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得,a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形,即③正确;对于④,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,则A>-B,显然A∈,-B∈,因为函数y=sinx在上单调递增,所以sinA>,即sinA>cosB,故④正确.【方法技巧】1.判断三角形形状的常用方法(1)化边为角;(2)化角为边.总之,要根据条件,正确选择公式、定理.2.常见的思考方向(1)是否两边(或两角)相等;(2)是否三边(或三角)相等;(3)是否有直角、钝角.3.解三角形中的常用结论(1)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,,cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,(3)在△ABC中,a2+b2<c2⇔cosC<0⇔C>

,a2+b2=c2⇔cosC=0⇔C=

,a2+b2>c2⇔cosC>0⇔0<C<

.

题组训练四利用余弦定理、正弦定理解决实际应用题

1.(2020·沈阳高一检测)如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为 ()

海里

海里C.20(1+

)海里 海里【解析】选A.连接AB,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得解得AD=在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40,在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3200-2×20×40×=2400,解得AB=20.2.(2020·大连高一检测)如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已