师说数学必修第一册教版课件

第2课时 等式与不等式(2)成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习教材要点性质3(加法法则)性质4(乘法法则)推论3c＞d＞0推论4(乘方法则)

a＞b＞0⇒(n∈N＋)性质5(开方法则)

a＞b＞0⇒(n∈N＋)性质6ab

൐

0a

൐

b

ቅ⇒；a

൐

bab

൏

0要点 不等式的性质性质1(对称性)

a＞b⇔

b<a

．性质2(传递性)

a＞b，b＞c⇒

a>c

．a＞b⇔a＋c>b＋c推论1

如果a＋b＞c，那么a＞c－b推论2

如果a＞b，c＞d，那么

a＋c>b＋d．a＞bቅ⇒

ac>bc

；a＞bቅ⇒

ac<bc

．c＞0

c＜0a＞b＞0ቅ⇒

ac>bd

．an>bn𝒏

𝒂>𝒏

𝒃𝟏<𝟏𝒂

𝒃𝟏>𝟏ቅ⇒

𝒂

𝒃

．状元随笔

(1)注意不等式的单向性和双向性．性质1和3是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．(2)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a＞b，则ac＞bc.(

×

)(2)a＞b⇔ac2＞bc2.(

×

)(3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(

×

)(4)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3.(

√

)2．已知x＜a＜0，则一定成立的不等式是()B．x2＞ax＞a2D．x2＞a2＞axA．x2＜a2＜0C．x2＜ax＜0答案：B解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a2；不等号两边同时乘x，则x2>ax，故x2>ax>a2.故选B.3．(多选)若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是()A．ac＞bcB．a－d＞b－cC．ଵ＜ଵ

D．a3＞b3ୢ ୡ答案：BD解析：因为a>b>0，c<0，所以ac<bc，A错误；因为a>b>0，－d>－c>0，所以aୢ ୡ－d>b－c，B正确；因为d<c<0，所以ଵ>ଵ，C错误；因为a>b>0，所以a3>b3，D正确．故选BD.4．用不等号填空．(1)如果a＞b

＞0，那么ଵୟమୠమଵ

；(2)如果a＞b＞c＞0，那么ୡୟୠୡ.＜＜解析：(1)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，∴

ଵ

＜

ଵ

.ୟమ

ୠమ(2)∵a＞b＞0，∴0＜ଵ＜ଵ，ୟ

ୠ又c＞0，ୟ

ୠ∴ୡ＜ୡ.题型探究课堂解透题型1

利用不等式的性质判断命题的真假例1

(1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ୟ＞ୠ，则a＞bୡ

ୡC．若a3＞b3且ab＜0，则ଵ＞ଵୟ

ୠD．若a2＞b2且ab＞0，则ଵ＜ଵୟ

ୠ(2)(多选)设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是()B．

ଵ

＜

ଵୟమ

ୠమA．ac2＞bc2C．a－c＞b－cD．

ୟ

＞

ୠ

ୡమାଵ

ୡమାଵ答案：(1)C

(2)CD解析：ୡ

ୡ(1)A中，若a>b，则ac2>bc2(错)，若c＝0，则A不成立；B中，若ୟ>ୠ，ୟ

ୠ则a>b(错)，若c<0，则B不成立；C中，若a3>b3，且ab<0，则ଵ>ଵ(对)，b

<

0ୟ

ୠ若a3>b3且ab<0，则ቊa>0，；D中，若a2>b2，且ab>0，则ଵ<ଵ(错)，若ቊa<0，则D不成立．故选C.b

<

0，(2)对A，当c＝0时，ac2>bc2不成立，A错误；对B，当a＝－1，b＝ୟమ

ୠమ－2时，ଵ

<ଵ

不成立，B错误；对C，因为a>b，两边同时减去c有a－ୡమାଵc>b－c成立，故C正确；对D，由于

ଵ

>0，又a>b，故ୟ

ୠୡమାଵ

ୡమାଵ>

，故D正确．方法归纳首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练1(1)已知实数0＜a＜1，则下列正确的是()ୟA．ଵ＞a＞a2B．a＞a2＞ଵୟC．a2＞ଵ＞aୟ

ୟD．ଵ＞a2＞a(2)(多选)已知实数a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列不等式一定成立的是(

)A．ab＞ac

B．c

b

−a

＞0C．ac

a−c

＜0

D．cb2＜ab2答案：(1)A

(2)ABC解析：(1)∵0<a<1，∴取a＝ଵ，逐一验证，可知A正确．ଶ(2)因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0，c<0，由b>c，a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a，c<0，得c

b

−a

>0，故B正确；由a>c，ac<0，得ac

a−c

<0，故C正确；由a>c，b2≥0，得cb2≤ab2，当b＝0时，等号成立，故D错误；故选ABC.题型2

证明不等式例2

若bc－ad≥0，bd＞0，求证：ୟାୠ

൑ୡାୢ.ୠ ୢ证明：(法一)∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．ୠ ୢ又bd＞0，两边同除以bd，得ୟାୠ

൑ୡାୢ.ୠୢ(法二)∵ୟାୠ

−

ୡାୢ＝ୟୢାୠୢିୠୡିୠୢ＝ୟୢିୠୡ≤0ୠ ୢ ୠୢ∴ୟାୠ

൑

ୡାୢ.ୠ ୢ方法归纳不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小．证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导．跟踪训练2

(1)已知a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc.(2)若a＜b＜0，求证：ୠ＜ୟ.ୟ

ୠ证明：(1)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，即－ac＜－bc.又e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.(2)由于ୠ

−

ୟ＝ୠమିୟమ＝

ୠାୟ

ୠିୟ

，ୟ

ୠ

ୟୠ

ୟୠ∵a＜b＜0，∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，∴

ୠାୟ

ୠିୟ

＜0，故ୠ＜ୟ.ୟୠ

ୟ

ୠ题型3

利用不等式的性质求范围例3

已知－2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列代数式的取值范围：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.解析：

(1)0≤|a|≤3；(2)－1<a＋b<5；(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6①由1≤b<2得－6<－3b≤－3②由①②得，－10<2a－3b≤3.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

(3)结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练3

已知实数x，y满足：1＜x＜2＜y＜3，(1)求xy的取值范围；(2)求x－2y的取值范围．解析：∵1<x<2<y<3，∴1<x<2，2<y<3，则2<xy<6，则xy的取值范围是2<xy<6.由(1)知1<x<2，2<y<3，从而－6<－2y<－4，则－5<x－2y<－2，即x－2y的取值范围是－5<x－2y<－2.易错辨析 多次使用同向不等式相加致误例4

已知－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，求2a－4b的取值范围．解析：2a－4b＝3(a－b)－(a＋b)，因为－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2，所以－5＜－(a＋b)＜1，－12＜3(a－b)＜6，所以－17＜2a－4b＜7.易错警示易错原因错解：－1＜a＋b＜5①－4＜a－b＜2②－2＜b－a＜4③①＋②再除以2得－ହ＜a＜଻ଶ

ଶ①＋③再除以2得－ଷ＜b＜ଽଶ

ଶ所以－23＜2a－4b＜13错误在于“－1＜a＋b＜5，－4＜a－b＜2”与“－ହ＜a＜଻，－ଷ＜b＜ଽ”并不等价．ଶ

ଶ

ଶ

ଶ纠错心得同向(异向)不等式的两边可以相加(减)，但这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎，必要时改换求解的思路和方法．课堂十分钟1．与a＞b等价的不等式是()A．|a|＞|b|ୠC．ୟ＞1B．a2＞b2D．a3＞b3答案：D解析：可利用赋值法．令a＝1，b＝－2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，ୟ＝－ଵ<1，ୠ

ଶ所以A，B，C都不正确．故选D.2．下列结论正确的是(

)A．若a＞b，c＞b，则a＞cC．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB.

若a＞b，则a2＞b2D.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d答案：D解析：若a＝1，b＝0，c＝2，则a>b，c>b成立，而此时a<c，所以A错误；1>－2，12<(－2)2，B错误；4>1，－1>－2，4×(－1)<1×(－2)，C错误；由不等式同向可加性知D正确．故选D.3．(多选)如果a＞b＞0，那么下列不等式成立的是()ୟమ

ୠమA．

a＞

b

B.

ଵ

＜

ଵC．ac2＞bc2