二次函数之二次函数中的面积问题

关于二次函数之二次函数中的面积问题第1页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三认一认（1）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的解析式？①y=ax2+c

②y=ax2

③y=a（x+m）2+k④y=a（x+m）2

⑤y=ax2+bx

ABCD（2）①抛物线顶点在x轴上②顶点在y轴上（对称轴是y轴）③图象经过原点

④图象的顶点在原点∆=0C=0直线x=0y=ax2+cy=a（x+m）2y=ax2+bx

y=ax2y=a（x+m）2y=ax2+cy=ax2+bx

y=ax2第2页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三

抛物线上的面积问题已知二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C.(1)求出点A、B、C的坐标及A、B的距离（2）求S△ABC（3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得

S△NAB=S△ABC，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。xABOCy.N1.N2.N3y=x2-2x-3第3页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三

抛物线上的面积问题已知二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C.（4）若点P是抛物线的顶点,求四边形ACPB的面积.（5）设M（a，b）（其中0<a<3）是抛物线上的一个动点，试求四边形OCMB面积的最大值，及此时点M的坐标。y=x2-2x-3xABOCyP.MNQ第4页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三xyABCPOxyABCPOxyABCPOH第5页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三练习:运动中的面积问题在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以2cm/秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜t＜6）那么：

QPADCB(1)设运动开始后第t秒钟后,五边形QPBCD的面积为Scm2,

写出S与t的函数关系式;t为何值时,S最小?最小值是多少?(2)求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；第6页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三PxyOABQM例5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点M。抛物线的顶点为P，且PB=2。（1）求这条抛物线的解析式与顶点P的坐标；（2）求△POM（O为坐标原点）的面积。第7页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例3已知二次函数的图象如图，（1）求二次函数的解析式；

【解】（１）由图象看出A（-1，0），B（2，0）C（O，-2）设抛物线解析式为：y=a（x-2）（ｘ＋１）Ｃ在抛物线上，∴ａ＝１∴抛物线解析式为：ｙ＝ｘ２－ｘ－２

-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ第8页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解（2）设过B（2，0）M（，－）的解析式为：ｙ＝ｋｘ＋ｂ

则ｋ＝ｂ＝－３∴直线ＢＭ的解析式为：

ｙ＝ｘ－３∵QＮ=t∴把ｙ＝ｔ代入直线ＭＢ的解析式，得ｘ＝２－ｔ∴S＝×２×１＋（２＋ｔ）（2－t）

即S＝-t2

＋t＋3其中0＜t＜

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为Q，当点N在线段BM上运动时（不与点B、点M重合）设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与ｔ间的函数关系式及自变量的取值范围；第9页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例3已知二次函数的图象如图，（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P使△PAC为Rt△？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解：设P（m，n）则ｎ＝ｍ２－ｍ－２１）当Ｒｔ△ＰＡＣ是以ＰＣ为斜边时有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２

即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得

或ｍ＝－１（舍）ｎ＝０∴点Ｐ１（，）第10页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ２）当Ｒｔ△ＰＡＣ以ＰＡ为斜边时则ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２

即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得或ｍ＝０（舍）ｎ＝－２∴点Ｐ２（，）∴存在符合条件的点Ｐ，坐标为

Ｐ２（，）∴点Ｐ１（，）第11页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例3:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：(1)∵AB为x米、篱笆长为24米∴花圃宽为（24－4x）米

(3)∵墙的可用长度为8米

(2)当x＝时，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）∴0<24－4x≤84≤x<6∴当x＝4cm时，S最大值＝32平方米第12页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三例3、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2（2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。

QPCBAD第13页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三

例4:如图、等腰直角三角形的腰长和正方形的边长为4，等腰三角形以2米/秒的速度沿直线向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y平方米.(1)写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围(2)当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时,三角形移动了多长时间?思考:如果继续向前移动,则重叠部分面积又会如何变化?第14页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三作业：《第二章全效自测题》第15页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三第16页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交

于两点A（x1，0）B（x2，0）（x1<x2）与y轴负半

轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、B

两点间的距离为4，且△ABC的面积为6。（1）求点A和B的坐标（2）求此抛物线的解析式（3）求四边形ACPB的面积xABOCyP（4）设M（x，y）（其中0<x<3）

是抛物线上的一个动点，试求

四边形OCMB的最大值，

及此时点M的坐标。.MNQ第17页，讲稿共19页，2023年5月2日，星期三练习（1）已知函数y=-x2-x-4，当函数值y随