数字通信原理第3版冯穗力课后参考答案

PAGE第一章绪论1.1数字通信系统有哪些主要的功能模块，这些功能模块各起什么作用？答：数字通信系统主要功能模块包括：发送端的信源、信源编码器、信道编码器、数字调制器；信道；接收端的数字解调器、信道译码器、信源解码器和信宿组成。其中信源产生待传输的信息或各种数据；信源编码器完成模拟信号到数字信号的转化，及数据压缩等提高信息传输效率的处理功能；信道编码器主要对待传输的数据进行某种编码处理，使系统具有检错或纠错等功能；数字调制器的主要功能是将数字序列变换成特定的信号形式，以适合在特定的信道中传输；信道是传送信号的物理媒质；数字解调器、信道译码器、信源解码器完成与数字调制器、信道编码器和信源编码器相反的功能。1.2对于已调的数字信号，呈现为连续的信号波形，如何理解它传输的是一个数字信号？答：对于已调制的数字信号，虽然一般它的波形是一个连续取值的信号，但它与符号集中有限多个待传输的符号相对应，只有有限种不同的波形。数字的接收系统中，只需在判别收到的信号是有限多种信号波形中的哪一个即可还原发送的符号，从这个意义上来说，它传输的仍然是一个数字信号。1.3已知一个数字传输系统的比特速率为64kbps，如果采用一个十六进制的系统传输这些数据，其符号速率是多少？该系统的频带利用率为多少？答：已知：，，由此可得所需带宽频带利用率1.4试述数字通信的优点有哪些？为什么？答：数字通信的优点主要有以下几点：抗噪声和干扰能力强：数字信号最大的特点是它只有有限种状态。噪声和干扰对信号的影响只要小于某一门限，就可以无失真地恢复在传输过程中衰落和受噪声影响的信号。便于提高消息传输效率：随着计算机技术的广泛应用，语音和图像等消息序列的压缩编码处理算法获得了极大的发展，对原始的视频图像数据序列进行上百倍的压缩，而仍然保持较好的画面质量的压缩算法已经很普遍，从而可以极大地提高传输效率，这些信号处理只有对采样量化后的信号才有可能。另外，只有对数字信号才能在进行时间上的“压缩”，将多个低速的数据流汇接成高速的数据流，实现时分复用。便于进行差错控制：伴随数字通信的应用发展起来的差错控制编码理论与技术，能够使传输的数字序列具备一定的检错和纠错能力，视不同的编码方法和效率，在一定范围内的传输错误可在接收端被检出，甚至检出后进一步被纠正，从而提高传输的可靠性。便于对信息进行加密处理:目前有效的信息加密方法主要都是借助计算机运算的、基于数学复杂性问题求解的算法，各种信息必须以数字的方法表示时才能利用这些方法进行加密。便于采用大规模集成电路实现:数字集成电路具有集成度高，一致性好和易于实现等特点，这是数字通信系统得以广泛应用的关键之一。随着微电子、嵌入式系统、信号处理和软件无线电等技术的发展，各种通信设备，包括终端设备，很大程度上就是一个基于大规模集成电路、可编程阵列和数字信号处理器等数字运算器件构成的系统。1.5已知二进制信号在3min内共传送了72000个码元，（1）问其码元速率和信息速率分别是多少？（2）如果码元脉冲宽度保持不变，但改为八进制数字信号，则其码元速率和信息速率又为多少？答：（1）二进制系统的码元速率为信息速率为（2）若改为八进制，由于码元脉冲宽度没有变化，故码元速率为信息速率为1.6已知某八进制数字传输系统的信息速率为3600bit/s,接收端在1h内共收到216个错误码元，求系统的误码率。答：先把信息速率转为码元速率，再由误码率定义求出误码率1.7已经A、B两个八进制数字传输系统，他们的码元传输速率相同，在接收端相同时间分钟内，A共接收到个错误码元，B共接收到个错误比特，试比较两个系统那个性能比较好？为什么？答：要比较两个系统性能好坏，主要看系统的有效性和可靠性，本题两个系统的传输速率相同，因此有效性相同，因此只求出两系统的误码率比较即可，设码元速率为。由误码率定义可得可以看出只要时，A系统误码率大于B系统误码率，因此B系统性能优于A系统；当时，A系统性能优于B系统。第二章信号分析基础2.1若确知信号为，试求其能量谱密度、能量和自相关函数。答：信号的傅氏变换为其能量谱密度为其能量为信号的能量也可用下面的方法求解2.2（a）试证明题图2.2所示的三个函数在区间（－2，2）上两两正交。（b）求（a）中的三个函数构成的标准正交基函数所需要的常数A。（c）用（b）中的标准正交基函数表示波形。答：（a）计算两两函数间的相关性可见三个函数两两正交。（b）任取一函数，如，对其码元的能量进行归一化，即令解得。（c）已知由（b），得到，直接观察函数与该标准正交基函数的关系，易得：。若按定义求解，则有：其中同样得：。2.3带通信号通过一个冲激响应为的线性系统，输出为。若，，试求：（1）的复包络；（2）的复包络的复包络；（3）求输出。答：（1）；（2）的等效低通响应为（3）2.4证明实平稳随机过程的自协方差函数满足如下的关系：（1）；（2）；（3）。证明：（1）按照定义（2）利用随机过程平稳的特性，可得（3）利用小题（2）的结果和自相关函数的性质，立刻有2.5设，是均值为0、方差为，且相互独立的高斯随机变量，试求：（1）和；（2）的一维概率密度函数；（3）求的相关函数与自协方差函数。答：（1）（2）在任一时刻可看作两高斯随机变量的线性加权和，因此仍为一高斯随机变量，由小题（1），已经求得＝0和，由此可得已知该高斯随机过程的均值与方差，可得其分布为（3）的相关函数其中。因已知的均值为0，可见是一平稳随机过程。的自协方差函数2.6已知随机信号，式中A是均值为、方差为的高斯随机变量。（1）求随机信号的均值和协方差；（2）该随机信号是否为广义平稳的随机过程，为什么？答：（1）均值：协方差：（2）因为均值为时变的函数，所以该随机信号为非平稳的随机过程。2.7已知和是两个相互独立和零均值的平稳随机过程，它们的自相关函数分别为：。若，求的功率密度谱。答：由于和相互独立，且均值为0，因此，所以的自相关函数的功率密度谱为2.8设RC低通滤波器如题图2.8所示，求当输入为均值为0，功率密度谱为的白噪声时，输出过程的均值、功率密度谱、自相关函数和分布特性。答：RC低通滤波器的频率特性为均值功率密度谱自相关函数，求功率密度谱的傅氏变换得噪声功率（输出信号方差）因为高斯过程经线性系统后仍为高斯过程，现已求得均值和方差，所以输出高斯信号分布概率密度函数为2.9双边功率密度谱为的白噪声经过传递函数为的滤波器后成为，若求的功率密度谱及其功率。答：的功率密度谱为的功率2.10设为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为。信号经过题图2.10所示的电路后成为，其中是与对应的输出，是与对应的输出。假设和的带宽等于增益为1的理想低通滤波器LPF的通频带。（1）若为常数，求和的平均功率之比；（2）若与是独立的零均值的高斯随机变量，求和的平均功率之比。题图2.10答：（1）因为为常数，经乘法器输出为信号经低通滤波器后的输出的功率为（1）经乘法器输出为通过低通滤波器后输出的平均功率为（2）由（1）和（2）两式得（2）与同是独立的零均值的高斯随机变量，记的方差为。此时，利用小题（1）的结果，的平均功率为因为代入上式得的平均功率仍为由此得2.11若随机过程，其中是广义平稳随机过程，且自相关函数为是在范围内服从均匀分布的随机变量，且与彼此独立，。（1）证明是广义平稳的；（2）绘出自相关函数的波形；（3）求功率谱密度及功率。答：（1）均值相关函数的均值为零（常数），相关函数只与时间的差值有关，因此是广义平稳的。（2）由小题（1），由此可绘出其波形如下（3）相关函数与功率密度谱是一对傅氏变换：。因为因此可得功率谱为功率为2.12设信道加性高斯白噪声的功率密度谱为，设计一个题图2.12所示的信号的匹配滤波器。（1）求匹配滤波器冲激响应的波形图；（2）确定匹配滤波器的最大信号输出幅度；（3）求匹配滤波器最大输出信噪比；（4）画出信号输入匹配滤波器时输出信号的波形图。题图2.12答：（1）通过对信号关于纵轴折叠反转和平移等操作，容易得匹配滤波器的冲激响应的波形图为（2）匹配滤波器对信号响应的最大输出幅度为（3）噪声的平均功率为最大的输出信噪比（4）严格求匹配滤波器时输出信号的波形图是一种较为复杂的卷积计算过程。但对于本题的规则特殊情况：和均是分段的常数，波形将由若干直线组成，只要计算出在和分段位置时刻的取值，即可获得波形曲线。将上述的点用直线连接，即可获得如下的波形2.13已知信号的波形如题图2.13所示，加性高斯白噪声的功率密度谱为。（1）求出的匹配滤波器的冲激响应波形图；（2）求出匹配滤波器的最大输出信噪比；（3）求输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数。题图2.13答：（1）匹配滤波器的波形图为（2）噪声平均功率为在时刻，匹配滤波器输出的信号最大值匹配滤波器的最大输出信噪比（3）时刻，匹配滤波器的输出值，是均值为0，方差为的高斯随机信号，输出信噪比达到最大时，输出值的概率密度函数。2．14已知噪声的自相关函数，为常数。（1）求功率谱密度及其功率；（2）绘出及的图形。答：（1）功率密度谱信号平均功率（2）及的图形2.15将一个均值为0，功率密度谱为的高斯白噪声加到一个中心角频率为，带宽为的如题图2.15所示的理想带通滤波器上。（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。题图2.15答：将高斯白噪声加到一个理想带通滤波器上时，滤波输出将是一个窄带高斯白噪声，其概率密度谱为由平稳随机过程的自相关函数与功率密度谱的傅氏变换关系式，其自相关函数为2.16已知周期为的信号总是可以用傅里叶级数表示为：，其中：，。试证明信号的功率密度为：答：周期信号的相关函数为：在上面倒数第二个等号中利用了关系式：。第三章模拟信号的数字编码3.1试确定能够完全重构信号所需的最低采样速率。解:求的傅氏变换，可知的频谱为一矩形函数，其，由此可得所需抽样频率3.2一个带限低通信号具有如下的频谱特性（1）若抽样频率，画出对进行理想抽样时，在范围内已抽样信号的频谱；（2）改为400Hz后重复小题（1）。答：（1）当时，，如题图3.2（b）所示，此时将发生混叠。（2）当时，，如题图3.2（c）所示，此时不会发生混叠。题图3.23.3已知一基带信号，对其进行理想抽样。（1）为了在接收端能不失真地从已抽样信号中恢复出，抽样间隔应如何选取？（2）若抽样间隔取为0.2s，试画出已抽样信号的频谱图。答：设抽样频率和间隔分别为和，已抽样信号为。（1）的最大频率为，根据抽样定理，，故（2）因为，故，又故 绘制,如题图3.3所示。题图3.33.4某载波电话通信系统的频率范围为60~108kHz。若对它采用低通抽样，最低抽样频率是多少？若对它采用带通抽样，最低抽样频率又是多少？解:由题可知（1）若采用低通抽样根据低通抽样定理（2）若采用带通抽样根据带通抽样定理3.5使用256个电平的均匀PCM，当信号均匀分布于[-2,2]区间时，求量化信噪比。答： 3.6设模拟信号的幅值在[-2，2]内均匀分布，其最高频率为4kHz。现对它进行奈奎斯特抽样，并经过均匀量化后编为二进制码。设量化间隔为1/64。试求该PCM系统的比特速率和输出的量化信噪比。答：由题已知：量化电平数：所需抽样频率：比特速率：输出的量化信噪比：3.7在CD播放机中，抽样率为44.1kHz，对抽样值采用16比特/样本的量化器进行量化。求出持续时间为5分钟（约一首歌）的立体声音乐所需要的容量。答：所需的存储容量V为3.8设信号，其中。若被均匀量化为41个电平，试确定所需的二进制码组的位数量化间隔。答：由，得由，的变化范围为，故。3.9已知模拟信号抽样值的概率密度函数如题图3.9所示。题图3.9将经过一个4电平均匀量化器得到输出是，试求：（1）量化器输出信号的平均功率；（2）量化噪声平均功率；（3）量化信噪比的分贝值。答：量化间隔：分层电平：分别为-1，-0.5，0，0.5，1量化电平为：量化后的信号功率为： 量化噪声功率为：因此，量化信噪比为，。3.10设某量化器的压缩特性曲线为，量化器信号输入信号的动态范围为，，对信号做压缩变化后均匀量化的量化阶距为，M为量化阶数。试计算其信噪比，并分析其特点。解:因为所以，量化噪声功率而信号功率为则可得可见，当压缩特性为对数时，量化器输出信噪比为取决于参数M，B和Vp的常数。3.11对于率的对数压缩变化，若，试计算归一化的输入信号，当和时的放大量。答：率的对数压缩变化在不同位置对应的放大量可用其导数来计算当时当时3.12采用13折线A律编码电路，设最小量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635单位。（1）试求此时编码器输出码组，并计算量化误差。（2）采用自然二进制码，写出对应于该7位码的均匀量化11位码。答：（1）设码组为c1c2c3c4c5c6c7c8。因为抽样脉冲值是+635>0，所以极性码c1=1；因为512<635<1024，所以落入第7段，段落码为c2c3c4=110；这一段的范围处在512~1024，长度为1024-512，在该范围内进行16级均匀量化，量化间隔为512/16=32；抽样脉冲值在段内的位置为635-512=123，3<123/32<4因此落在段内位置的第三段，即c5c6c7c8=0011。因此编码器的码组输出为11100011量化输出电平为512+32×3+32/2=624个量化单位则量化误差为|635-624=11个量化单位。（2）除极性码以外的7位非线性码组为110011，对应的量化值是624.因为624=29+26+25+24，故相应的11位自然二进制码元为01001110000。3.13某A律13折线PCM编码器的输入动态范围是(-5,5)V。若某抽样值的幅度x=1.2V。（1）求编码器的输出码组；（2）求解码器输出的量化电平值，并计算量化误差；（3）写出对应于A律13折线PCM码组的均匀量化线性编码的码组(13位码)。答：（1）所以极性码为1；，折合为量化单位。从此图可见，该样值落在第五段（512,1024）内，段落码是101。此段落的量化间隔是量化单位。因此段内码是因此输出码组是11011110。（2）所在量化区间的起点是960单位，终点是992单位，因此量化电平是976个量化单位，即。量化误差为量化单位，即0.0086伏（3）。3.14若将一个二阶线性预测用于DPCM：假设信号为实平稳序列的均值为0，自相关函数为，且有。试求：（1）确定使预测误差最小的预测方程系数和；（2）确定均方预测误差表达式。答：预测误差为均方误差是求极小值，通过令，得到解得将，代入式，得到3.15设随机信号具有如下的自相关函数，，，。（1）若用三个延迟单元，计算最优线性预测器的系数；（2）求所得到预测误差的方差。答：rx=[0.8,0.6,0.4]T（1）（2）3.16对一最高频率为900Hz的语音信号进行编码传输，接收端低通滤波器的截止频率为3.4kHz。若要求系统的量化信噪比为30dB。求该系统应采用的抽样频率和信息速率。答：由题意，对于系统，最大量化信噪比满足综上，可解得。因为系统采用1位编码，故信息速率。3.17设简单增量调制器输入的正弦信号频率为、幅度为，若抽样频率，求量化间隔的范围。答：正弦信号最大斜率为为使不过载，必须满足由此可得量化间隔需满足3.18信号进行简单增量调制，若量化间隔和抽样频率的选择既能保证不过载，又能保证不会因为信号振幅太小而使得铮亮调制器不能正常编码，试证明此时要求。证明：在简单增量调制系统中，要保证不发生过载现象，译码器最大跟踪斜率必须大于信号实际斜率，即，而对于小信号要有正常编码，又要求，反之，编码器输出为0,1交替信号，译码后得一常数，不能表现的变化。因为所以又所以，证毕。第四章信息论基础4.1某一信源以概率1/2、1/4、1/8、1/16、1/32和1/32产生6种不同的符号、、、、和，每个符号出现是独立的，符号速率为1000（符号）/秒。（1）请计算每个符号所含的信息量；（2）求信源的熵；（3）求单位时间内输出的平均信息量。答：（1）按定义，各符号所含的信息量分别为（2）信源的熵（3）单位时间内输出的平均信息量4.2一个离散信号源每毫秒发出4种符号中的一个，各相互独立符号出现的概率分别为0.4、0.3、0.2和0.1，求该信号源的平均信息量与信息速率。答：信号源的平均信息量，即熵为：因为符号速率RS＝1/10－3＝103，信息速率Rb4.3设有4个消息符号，其出现的概率分别是1/8、1/8、1/4和1/2，各消息符号的出现是相对独立的，求该符号集的平均信息量。答：符号集的平均信息量即为其熵4.4计算字母集的信息熵。（1）若把英文的27个字母和空格共27个符号，看作等概出现，求其信息熵；（2）若英文字母和空格的概率分布如题表所示，求其信息熵。题4.4表英文字母的概率分布字母空格ETOANIRS概率0.19560.10500.07200.06540.06300.05900.05500.05400.0520字母HDLCFUMPY概率0.04700.03500.02900.02300.02250.02250.02100.01750.0120字母WGBVKXJQZ概率0.01200.01100.01050.00800.00300.00200.00100.00100.0010答：（1）（2）4.5中文电码表采用四位阿拉伯数字作代号，假定这种数字代码出现的概率如题4.5表所示，如果一个报文中包含了1万个中文汉字，试估计该报文最多可包含多少信息量。题4.5表汉字报文中数字代码的出现概率数字0123456789概率0.2600.1600.0800.0620.0600.0630.1550.0620.0480.052答：根据定义，该信源的熵为：利用信源的熵，可以估算该报文包含的信息量为：4.6证明平均互信息量的互易性：。答：4.7证明两离散信源的条件熵和熵之间满足如下的关系式：答：4.8若与统计独立，证明。答：4.9证明，一般地，有。答：按定义，因为，，定义时，，因此有由此可得4.10证明，一般地，有和。答： 因为、和之间有如下的关系式另外，已知具有非负性，因此有由此可得同理可以证明。4.11已知非对称二进制信道，输入符号的概率场为信道转移概率矩阵为求：（1）输入符号集X的平均信息量；（2）输出符号集Y的平均信息量；（3）条件熵和；（4）平均互信息量。答：（1）的平均信息量（2）的平均信息量（3）条件熵和因为，故要先求（4）平均互信息量4.12一个系统传输四脉冲组，每个脉冲的宽度为1mS，高度分别为：0，1，2和3伏，且等概出现。每四个脉冲之后紧跟一个负1伏的脉冲（宽度也为1mS），为不带信息的同步脉冲，试计算（1）信源的熵；（2）系统传输信息的平均速率。答：（1）信源的熵为（2）信息的平均速率上式中的系数4/5的引入是因为每四个脉冲之后紧跟一个负1伏的不携带信息的脉冲。4.13某数字通信系统用正弦波的四个相位：，，和，来表示四个不同的符号以传输信息，这四个符号是相互独立的。（1）若每秒钟内，，和出现的次数分别为1000，250，250和500，求此系统的符号速率和信息速率；（2）若每秒钟这四个相位出现的次数都为500个，求此时的信息速率。答：因为每秒钟内传输的符号数为，所以符号速率为波特；（1）根据每个符号的出现次数，其各个符号出现概率可以估计为，，和每个符号所含的平均信息量，即符号的熵为信息速率为（2）若每秒钟这四个相位出现的次数都为500个，此时应有其熵为信息速率为4.14一个包含四个符号的信源，符号间独立，每个符号用二进制的脉冲分别编码为：00、01、10和11。二进制脉冲的宽度为5ms。（1）不同的符号等概出现时，计算信源的平均信息速率；（2）若每个符号出现的概率分别为，，和时，试计算传输的平均信息速率。答：因为每个符号由两个脉冲表示，每个脉冲的宽度为5ms，则符号周期为（1）当符号等概出现时，其熵为平均信息速率为（2）此时的熵为其平均信息速率为4.15假定和是相互独立的随机变量，它们的均值分别为和，方差分别为和，若，证明其均值，方差。证明：即方差：又因为和是相互独立的随机变量，证毕。4.16黑白电视图象每幅含有640×480个象素，每个象素有28＝256个等概出现的亮度等级，要求每秒钟传输25帧图象，若信道的信噪比SNR＝20dB，求传输该图像信息所需的最小带宽。答：该电视图象的信息速率为已经信道信噪比，传输该图像信息所需的最小带宽可由香农公式计算取，，所需带宽为4.17具有带宽的某高斯信道，若信道中信号功率与噪声功率谱密度之比为45.5，试求其信道容量。答：根据香农公式，得4.18设高斯信道带宽为，信号与噪声功率比为63，试确定利用这种信道的理想通信系统的信息速率和差错率。答：理想通信系统中，香农定理表明，当时，总能找到一种编码方式，使4.19某一待传输图片约含有个像元。为了很好地重现图片，需要12个亮度电平。假若所有的这些亮度电平等概出现，试计算用3min传送一张图片时所需的信道带宽（设信道中信噪比为30dB）。答：图像总信息量为3min传输一张图片，速率为根据香农公式得4.20已知彩色电视图像由个像素组成。设每个像素有64种彩色度，每种彩色度有16个亮度等级。如果所有彩色度和亮度等级的组合机会均等，并统计独立。（1）试计算每秒传送100个画面所需的信道容量；（2）如果接收机信噪比为30dB，为了传送彩色图像所需信道带宽为多少（）？答：像素的平均信息量为（1）信道容量为（2）由香农公式得4.21某信源的符号集由A、B、C、D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/8、1/8、3/16、3/16;信源以1000Bd速率传送信息。（1）求传送1小时的信息量；（2）求传送1小时可能达到的最大信息量。答： （1）信源熵为 平均信息速率为 1小时传输的信息量为 （2）等概时信源熵为最大值，即1小时传输的最大信息量为4.22设数字信号的每比特信号能量为，信道噪声的双边功率谱密度为，试证明：信道无差错传输的信噪比的最小值为。证明：信号功率为 噪声功率令得：由此得4.23一个由字母A，B，C，D组成的系统，如果用二进制“0”，“1”对字母进行编码：即00代替A，01代替B，10代替C，11代替D。设二进制符号“0”“1”的宽度各为10ms，试求：（1）①若各字母等概出现，计算平均信息速率；②若各字母不等概，P（A）=0.2，P（B）=0.25，P（C）=0.25，P（D）=0.3，计算平均信息速率。（2）①如果用四进制脉冲“0”，“1”，“2”，“3”对字母进行编码。即“0”代替A，“1”代替B，“2”代替C，“3”代替D，设各字母等概出现。当脉冲宽度为10ms时，计算平均信息速率；②当脉冲宽度为20ms时，计算平均信息速率。（3）从计算结果中，你可以得出什么结论？答：（1）①每个符号由两个脉冲构成，故一个符号的持续时间即码元宽度为。码速率为等概时，平均信息速率为②每个符号的平均信息量为则平均信息速率为（2）①当脉冲宽度为10ms时，码速率为等概时，平均信息速率为②当脉冲宽度为20ms时，码速率为等概时，平均信息速率为（3）从计算结果可以看出：1）同样码元速率时，四进制传输方式的平均信息速率是二进制传输方式的两倍；2）各字母等概出现时，平均信息速率最大；3）码元宽度越大，平均信息速率越小。4.24若离散无记忆信源的熵为，证明：由个该信源中的符号组合而成的扩展离散无记忆信源的熵为。证明：∵离散无记忆信源的熵为由于统计独立的信源，熵满足可加性，因此：当J=2时，，此时命题成立。假设时，原命题也成立，即有：则当时，可见依然成立。综上，由归纳法原理，成立。4.25给定离散无记忆信源（1）对该信源进行二进制等长编码，并计算编码效率；（2）对该信源进行的二进制等长编码，并计算编码效率。答：（1）已知，编码后码字长度：（2）已知，编码后码字长度：可见随着联合编码的字符数的增加，编码的效率得到提高。4.26设信源有8种符号，其相应的概率为试分析：（1）求采用的等长二元无错编码时的编码效率；（2）若只对典型序列编码，要求误码率，编码效率，求所需的编码的符号码组长度。答：（1）设采用如下的等长的二元无错编码：则每个符号需要3位的二进制码元构成一个码字。相应地有，，和。信源的熵编码效率（2）若要求，则由，因为熵表示符号的平均信息量，符号自信息量的方差为若只对典型序列进行编码，且已知要求，并已求得，可得要将编码效率从0.851提高到0.9，同时译码的错误概率不大于，必须以107为量级的符号序列长度来进行编码。4.27设信源有8种符号，其相应的概率为假定发出的符号是统计独立的，采用二进制码元对信源发出的符号进行编码。试分析：（1）当对信源发出的每个符号进行单独不等长编码时，估计可获得的平均编码长度（范围）；（2）试对信源发出的每个符号单独进行异字头码的不等长编码，并计算实际得到的平均码长、编码速率和编码效率；（3）当对信源发出的符号每四个一组联合进行不等长编码时，估计可获得的平均编码长度（范围）。答：（1）由不等长编码定理，当时，有因为所以有：。（2）根据异字头码的编码方法符号概率第一次划分第二次划分编码输出码长S10.4000002S30.1001102S20.181001003S50.071011013S40.10110011004S80.04110111014S60.06111011104S70.05111111114实际的平均码长：编码速率编码效率（3）由不等长编码定理，当时，有所以有：4.28信源信源的概率场为：试用码字符号集：{0,1}对信源符号进行霍夫曼编码，并求平均码长。答：因为编码输出的码字符号集为二元的符号集，所以不变考虑对信源空间增加虚假符号的进行改造。平均码长4.29信源的概率场为：试用码字符号集：{0,1,2}对信源符号进行霍夫曼编码，并求平均码长。答：首先估计是否要对信源空间进行改造，已知，。尝试，因为所以不需要增加虚假符号，编码过程如下：其中码字在传输过程中不会出现。平均码长4.30已知信源的概率场和信道的转移概率矩阵分别为，失真函数采用平方误差失真测度，失真矩阵为求其平均失真。答：4.31试证明，在汉明失真度下，题图4.21所示的信道是满足失真度（）的转移信道。答：已知，汉明失真矩阵信道转移矩阵平均失真度4.32一个四进制等概信源，其发送符号集和接收符号集相同。信源统计特性为，失真矩阵为。试分别求：（1）；（2）；（3）。答：(3)方法一：设，其中，，又，且，所以令，解得因为当，，所以此时是减函数所以所以，方法二：由n元等概信源率失真函数令a=1，n=4第五章数字基带传输系统5.1已知：信息代码111001010000101。(1)画出单极性不归零码的波形图；(2)画出传号差分码的波形图；(3)画出交替极性码的波形图。答：单极性不归零码、传号差分码、交替极性码的波形图分别如题图5.1（a）、（b）、（c）所示：题图5.15.2设独立随机二进制序列的0，1分别由波形及表示，1与0等概出现，比特间隔为，如题图5.2所示。（1）若如题图5.2(a)所示，在比特间隔内，，写出该基带信号的双边功率谱密度计算公式，并画出双边功率谱密度图（标上频率值）；(2)若如题图5.2(b)所示，在比特间隔内，，请按题（1）要求做题。题图5.2答：（1）这个信号可表示为PAM信号，QUOTEst=-∞∞a其中序列QUOTEan以独立等概方式取值QUOTE-+1，QUOTEma=Ean=0，QUOTEσa2=Ea2=1 QUOTEgt=s1t，则QUOTEGf=T（无离散直流分量）（2）QUOTEst=-∞∞ang(t-nTb)，其中序列QUOTEaQUOTEgt=st，则QUOTEGf=Tb2sinc由QUOTEan=12bn+12，其中QUOTEbn以等概方式取值QUOTE-+1得，QUOTEst=12n=-∞的功率密度是QUOTEPuf=G(f)2QUOTEvt=12n=-∞∞QUOTEGn=1Tb-T的功率密度谱是：QUOTE∴vt的功率谱密度是：QUOTE∴st的功率谱密度是：5.3假设信息比特1、0以独立等概方式出现，试推导曼彻斯特码的功率谱密度计算公式。答：曼彻斯特码可以表示成二进制PAM信号的形式其中序列以独立等概方式取值于，，，如题图5.3所示：题图5.3其傅氏变换是所以5.4请推导出双极性不归零码的功率谱密度计算公式。答：QUOTEG1f=ATbsincfTbQUOTE又由于QUOTEG2f=-ATbsincfQUOTEP2f=05.5设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如题图5.5所示。图中为码元间隔，数字信息“1”和“0”分别用信号的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等。求该数字基带信号的功率谱密度。题图5.5答：由题图5.5可得：的频谱函数为由题意，且，所以，代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度计算公式，可得：5.6请完成下列编码。已知信息代码：100000000001110010000101(1)AMI码；（第一个信息代码为正脉冲）；(2)画出AMI码波形图；(3)HDB3码；（假定前一个破坏点为负脉冲，第一个信息代码为正脉冲）；(4)画出HDB3码波形图；（5）曼彻斯特码；（6）画出曼彻斯特码波形图；(7)差分曼彻斯特码；（8）画出差分曼彻斯特码波形图；答：信息代码：100000000001110010000101AMI码：+10000000000-1+1-100+10000-10+1HDB3码：+1000+V-B00-V00+1-1+100-1+B00+V-10+1曼彻斯特码：100101010101010101010110101001011001010101100110差分曼彻斯特码：101010101010101010101001100101011010101010010110编码后的波形图如题图5.6所示：题图5.65.7假设在二进制数字通信系统中，相关接收机的输出信号分量为+1V和-1V的概率相等。如果相关器的输出高斯噪声方差为1，试求有一比特数据出错的概率。答：由于先验等概，所以误比特率为：5.8一个双极性二进制信号的可能取值为+1和-1，加性高斯白噪声的方差为0.1，用匹配滤波器检测信号。（1）试分别对（a）；（b）；（c）求最佳判决门限。（2）解释先验概率对的影响。答：（1）由 （a）时，； （b）时，； （c）时，。（2）由（a）（b）（c）结果可知，若先知发送某一信号的概率大于0.5.，则最佳判决门限应适当向先验概率小的一方偏移，若先验等概，则r为两信号的平均值。5.9一个二进制数字通信系统发送信号。接收机的检测统计量，其中，信号分量为或，噪声分量服从均匀分布，条件概率密度函数为：已知发送信号先验等概，并且使用最佳判决门限，试求误码率。答：根据、各自分布情况以及已知发送信号先验概率相等，由图可知当判决门限时，错判的概率最小，因此最佳判决门限为。所以误码率为：5.10设滚降系数为的升余弦滚降无码间干扰基带传输系统的输入是十六进制码元，其码元速率是l200波特，求：(l)此基带传输系统的截止频率值；(2)该系统的频带利用率；(3)该系统的信息传输速率。答：（1）该系统的码元周期为：；截止频率值为：。（2）该系统的频带利用率为：（3）该系统的信息传输速率为：5.11一个8进制PAM通信系统的传输特性是升余弦函数，其信息传输速率为9600b/s。频率响应的带宽为2.4kHz。试问：（1）码元速率为多少？（2）滤波器传输特性的滚降系数为多少？答：（1）码元速率为：（2）由系统频率响应带宽为：所以滚降系数为0.55.12理想低通信道的截止频率为8kHz。（1）若发送信号采用2电平基带信号，求无码间串扰的最高信息传输速率；（2）若发送信号采用16电平基带信号，求无码间串扰的最高信息传输速率。答：因为理想低通信道无码间串扰时的可达的最高传输波特率为：。（1）无码间串扰传输二进制码的最高频带利用率为：（2）当发送信号采用16电平基带信号时，5.13已知发送端输出的信号是一个理想低通信号，信道和接收滤波器的频率特性如题图5.15所示，当采用以下码元速率时：（a）1000Baud；（b）1700Baud；（c）2000Baud；（d）3000Baud。问：哪几种码元速率不会产生码间串扰，哪几种码元速率会产生码间串扰。题图5.15答：因发送端输出信号是一个理想低通信号，若记其发送的符号速率为波特，则其频谱特性为当码元速率分别为（a）1000Baud；（b）1700Baud；（c）2000Baud；（d）3000Baud时，得到的信号频谱特性如下图所示根据具有最窄的无码间串扰传输系统的要求，可见，码元速率为1000Baud；1700Baud；2000Baud时，系统没有码间串扰。而当码元速率为3000Baud时，会产生码间串扰。5.14设基带传输系统的发送滤波器、信道及接收滤波器组成总传输特性为，若要求以（单位：Baud）的速率进行数据传输，试校验题图5.16所示各种是否满足采样点无码间串扰的条件。题图5.16答：因为，所以有：（1）对于图（a），由图可见不满足无码间串扰的条件。（2）对于图（b），由图可见也不满足无码间串扰的条件。（3）对于图（b），由图可见此时可以满足无码间串扰的条件。（4）对于图（d），由图可见也不满足无码间串扰的条件。5.15二进制序列通过如题图5.12所示的预编码系统，预编码：；电平转换：；相关编码：接收端判决规则：若：;若：。请写出以下的编码和译码过程。时间序号-10123456789输入数据1001011001预编码输出二电平序列抽样序列判决输出答：时间序号-10123456789输入数据1001011001预编码输出01110010001二电平序列-1+1+1+1-1-1+1-1-1-1+1抽样序列0220-200-2-20判决输出10010110015.16一个理想低通滤波器特性信道的截止频率为1MHz，问下列情况下的最高传输速率：（1）采用2电平基带信号；（2）采用8电平基带信号；（3）采用2电平生余弦滚降频谱信号；（4）采用7电平第I类部分响应信号。答：（1）（2）（3）（4）因为是采用7电平第I类部分响应信号，输入电平与输出电平间的关系其中。因此所采用的进制数与电平数间应满足如下的关系：因此有5.17已知二元信息序列100101110100011001，若用输出是15电平的第IV类部分响应信号传输。（1）画出编、译码器方框图；（2）列出编译码器各点信号的抽样值序列。答：（1）对于第IV类编码器，部分响应系统的系数为，由可得预编码输出为相应的相关编码输出值为依题，要求输出是15电平的部分响应信号，因此应该是八进制的数，所有，所得的编、译码器分别为：（2）已知二元信息序列100101110100011001，根据（1）所得的结果，可得：时序n-2-1012345输入序列00000010010111010001100100456431004521520045-2-431接收码字0045-2-431004564315.18有一数字基带系统，码元速率为2000Baud。接收端匹配滤波器输入的信号是二进制双极性矩形脉冲，“1”码幅度为1mV，加性高斯白噪声的单边功率谱密度，求此数字基带系统的误码率。答：依题意，输入端信号的幅度为1mV，所以比特能量为因为系统采用的是双极性的矩形脉冲，所以匹配滤波器接收的系统误码率为5.19数字基带信号在传输过程中受到均值为0，平均功率为QUOTEσ2的加性高斯白噪声的干扰，若信号采用单极性非归零码，且出现“1”的概率为3/5，出现“0”的概率为2/5，试推导出最佳判决门限值和平均误比特率公式。答：设最佳判决门限为，信源发0码和1码的概率分别为QUOTEP0和QUOTEP1，则基带传输系统的平均误比特率为基带信号采用单极性非归零码，设1码的幅度为A，上式中的概率密度函数可表示为令QUOTE∂Pb∂γ0=0，有QUOTEP1p1γ0-P0p0γ将QUOTEp1γ0和QUOTEp0γ0代入，得最佳门限值为由题目已知条件可知QUOTEP1=3/5，QUOTEP0=2/5，于是有平均误比特率为5.20已知某双极性PAM传输系统中，信道的传输函数为QUOTECf=1，发送正极性时接收端匹配滤波器输出的脉冲波形如题图5.20所示。求该基带传输系统的总体传递函数QUOTEH(f)以及发送的脉冲波形QUOTEgTt。题图5.20答：对图中的三角脉冲作傅立叶变换即为总体传递函数：记基带发送脉冲的傅立叶变换为QUOTEGT(f)，匹配滤波器的传输函数为QUOTEGR(f)，则有由匹配滤波的关系，有其中QUOTEt0是最佳采样时刻，从图中可见QUOTEt0=Tb，因此有所以考虑到K的任意性，取QUOTEK=1Tb。合理的解必须保证QUOTEgT(t)、QUOTEgR(t)都满足因果性，由此得因而发送的脉冲波形QUOTEgT(t)是一个矩形脉冲5.21什么是眼图？由眼图模型可以说明基带传输系统的哪些性能？答：眼图是用简单的实验手段估计基带系统性能的一种方法，它是指接收滤波器输出的波形在示波器上叠加所形成的图形。从眼图中可以看出系统码间串扰及噪声的情况。眼图越不端正、张得越小说明码间串扰越大；而噪声越大，则眼图的线条越宽、越模糊。另外，通过眼图还可以了解到最佳采样时刻（即“眼睛”张开最大的时刻）、系统对定时误差的灵敏度（即眼图斜边斜率越大，对定时误差就越敏感）、信号幅度畸变范围（即图中阴影区的垂直高度）、噪声容限（即在抽样时刻，上、下两阴影区的间隔距离的一半）、判决门限电平等。第六章数字载波调制传输系统6.1当输入二元序列为1101001时，若载波频率为码元速率的2倍，画出信号2ASK、2PSK、2DPSK和2FSK（fc2=2fc1）信号的波形。答：6.2二进制OOK数字通信系统OOK信号在信道传输中受到加性白高斯噪声的干扰，加性噪声的均值为0，双边功率谱密度为，接收带通滤波器的带宽为B（B为足够宽），滤波后的接收信号（1）请画出相干解调框图（含载波提取电路及时钟提取电路）；（2）请推导出它的平均误比特率计算公式（设：与等概率出现）。答：（1）相干解调框图如题图6.1所示题图6.1（2）因为噪声的分布特性：，其中，，因此信号的似然函数，，先验等概，判决电平应设为，且有其中。6.3已知传输的二元序列为10110010，采用2DPSK调制，假定在一个码元周期内包含2个载波周期。（1）画出发送端的框图和各功能模块输出点的波形图；（2）画出相干接收机的框图和其各模块输出点的波形图；（3）画出差分相干接收机的框图和其各模块输出点的波形图。答：（1）发送端的框图发送端各点波形图（2）2DPSK相干接收机的框图各模块输出点的波形图（3）差分相干接收机的框图各模块输出点的波形图。注意在采样判决的操作中，正的电平应判为“0”，副的电平应判为“1”。6.4已知二进制2FSK通信系统的两个信号波形为其中是二进制码元间隔，设，2FSK信号在信道传输中受到加性白高斯噪声的干扰，加性噪声的均值为0，双边功率谱密度为，与等概率出现：（1）请画出两信号的波形图；（2）计算两信号波形的互相关系数及平均比特能量值；（3）请画出带通匹配滤波器形式的最佳接收框图；（4）若发,请问错判为的概率如何计算？答：（1）二者的波形如题6.2图（a）所示：题图6.2（a）（2）两信号的相关系数为平均比特能量为（3）最佳接收框图如题图6.2（b）所示：题图6.2（b）QUOTEy=01rtsin2πt-sin4πtdtQUOTE=ai2+Z其中噪声QUOTEai=1i=1-1i=2都QUOTEZ~N（（4）若发，错判为的概率为6.5设二进制信息速率为1Mbps/s，二进制序列中的两个二进制符号等概率出现，且各符号之间统计独立，请画出下列信号的双边平均功率谱密度图（标上频率值）：题图6.5（1）双极性矩形不归零码序列；（2）双极性矩形不归零码序列通过乘法器后的2PSK信号。答：（1）基带信号的功率密度谱如下图所示（2）2PSK信号调制信号的功率密度谱如下图所示6.6已知发送信号的载波幅度取值，在带宽的电话信道中分别利用2ASK、2PSK及2FSK系统进行传输，信道对信号功率的衰减为，，若采用相干解调，要求误比特率不大于。试求分别各种不同的传输方式可获得的传输速率，以及可传多少公里？答：（1）已知信道对信号功率的衰减为，（a）2ASK系统对于2ASK信号，由相干解调时2ASK系统的误比特率由Q函数表可得，发送信号功率与接收信号功率的dB比值因此，若信道对信号功率的衰减为，则信号可传输32.39km。（b）2PSK系统对于2PSK信号，同样有如下的关系相干解调时2PSK系统的误比特率由Q函数表可得，发送信号功率与接收信号功率的dB比值因此，若信道对信号功率的衰减为，则信号可传输41.41km。（b）2FSK系统要保证2FSK信号两载波间的正交性，应有如下的关系相干解调时2PSK系统的误比特率由Q函数表可得，发送信号功率与接收信号功率的dB比值因此，若信道对信号功率的衰减为，则信号可传输37.15km。6.72PSK相关解调器所需的相干载波若与理想载波有相位差，求相位差对系统误比特率的影响。答：二元的2PSK信号为当本地载波有相位差时，本地载波为。当时，匹配滤波器输出其中因为均值：方差：同理当时，匹配滤波器输出由此可见，当本地载波存在相位差时，匹配滤波器的输出中，仅仅是信号幅度由原来的变为，因此误码率相应地有可见一般来说，性能将降低。6.8若采用2ASK方式传送二进制数字信息，已知发送端发出的信号振幅为5V，输入接收端解调器的高斯噪声功率，今要求误码率。试分析：（1）非相干接收时，信号由发送端到解调器输入端的衰减应不大于多少；（2）相干接收时，信号由发送端到解调器输入端的衰减应不大于多少。答：（1）采用非相干解调时，系统的误码率为，由此可得传输过程中的衰减应不大于（2）采用相干解调时，系统的误码率为由此可得传输过程中的衰减应不大于6.92ASK包络检测接收机输入端的平均信噪比rdB=10dB，输入端高斯白噪声的双边功率谱密度为2×10-14W/Hz。码元传输速率为50Baud，设“1”、“0”等概率出现。试计算：（1）最佳判决门限；（2）系统误码率；（3）其他条件不变，相干解调器的误码率。答：（1）一般来说，严格意义上的最佳判决门限由下式决定其中是零阶的贝塞尔函数。因为有，信号平均功率比噪声功率大10倍，因此可认为信噪比远大于1。由此可得最佳判决门限。因为可得如此小的门限值在实际系统中很难操作，实际上可将信号和噪声同时放大后取较大的判决门限对信号进行判决。（2）包络检波解调时系统误码率（3）其他条件不变，相干解调器的误码率6.10若相干2PSK和差分检测2DPSK系统的输入噪声功率相同，系统工作在大信噪比条件下，（1）试计算它们达到同样误码率所需的相对比特能量；（2）若要求输入信噪比一样，则系统性能相对比值为多大？并讨论以上结果。答：（1）因为，当满足条件时，有因此在大信噪比的情况下，对相干解调的2PSK信号，有对差分相干解调的2DPSK信号，有由此可得在大信噪比的条件下：因此有即对同样的误码性能，差分相干解调2的DPSK信号需要更大的比特能量。（2）若，同时由大信噪比的条件：，则有即2DPSK系统的性能较差。6.11在信道带宽的加性高斯白噪声信道上，噪声双边功率谱密度，数据速率为。试求：情况下对QUOTEPe≤10-5非相干2ASK、差分相干2DPSK、非相干2FSK系统，各自要求的接收端比特能量和信号平均功率；如果传输信道的衰减为，发送端的比特能量和信号平均功率应为多少。答：（1）因为非相干2ASK系统的误码率为因此接收端的比特能量信号的平均功率相应地位若信道的衰减为，则应有发送端输出的比特能量应为相应地发送功率应为（2）因为差分相干2DPSK系统的误码率为因此接收端的比特能量信号的平均功率相应地位若信道的衰减为，则应有发送端输出的比特能量应为相应地发送功率应为（3）因为非相干2FSK系统的误码率与非相干2ASK相同，因此接收端的比特能量和平均功率为，发送端的比特能量和平均功率应为，综上可见，三者中差分相干2DPSK有最高能量效率。6.12一种自身携带载波同步信号的相关2PSK系统传输的信号可以表示为其中的A和K均为常数；“+”号对应发送“”，“-”号对应发送“0”；（1）证明误比特率为其中，为双边功率密度谱。（2）若载波分量占发送功率的10%，求误比特率为所要求的。（3）将（2）中的计算结果与通常的2PSK系统比较。答：（1）对基于匹配滤波器的相关接收机，接收和时判决时刻的信号输出同理可得由此可得相关系数根据相关接收的原理，可得误比特率（2）信号中的载波分量为：，若其占发送功率的10%，意味着有，由可得（3）对于普通的相关解调的2PSK系统，，相应的其误比特率因为Q函数为单调降函数，简单地看，普通的相关解调的2PSK系统优于本题的系统，但由于本题系统自身携带载波同步信号，便于提取同步信号，且不会有普通2PSK系统接收时的相位模糊问题。6.13采用8PSK调制传输数据：（1）最小理论带宽是多少？（2）若传输带宽不变，而数据率加倍，则调制方式应作何改变？（3）若依然采用8PSK调制方式不变，而数据率加倍，为达到相同误比特率，发送功率应作何变化？答：（1）当基带信号采用理想低通频谱特性对应的信号时，可以达到每赫兹2波特的频谱效率。若用该信号作为调制载波信号的波形信号，则系统可以达到每赫兹1波特的频谱效率。对于MPSK信号，频带利用率相应地为因此若，则所需的理论带宽为（2）若传输带宽W不变，而数据率加倍：，显然此时应有一般当进制数较大时，通常采用MQAM调制方式，因此可改用64QAM调制的工作方式。（3）若依然采用8PSK调制方式不变，而数据率加倍，此时所需带宽将变为可见信号的带宽需增加1倍，相应地接收端输入的噪声功率也会增加1倍，为达到相同误比特率，信噪比应保持不变，因此发送功率应作加倍，即应有6.14已知电话信道可用的传输频带为300~3000Hz，若取载频为1800Hz，试说明：（1）升余弦滚降基带信号的QPSK（4PSK）调制可获得2400bps传输速率；（2）升余弦滚降基带信号的8PSK调制可获得4800bps传输速率；（3）对于参数为的，-6dB带宽各为多少？答：（1）采用滚降特性频谱的QPSK信号，则带宽与其符号速率的关系为对于QPSK信号，M=4，因此QPSK信号的符号速率与基带信号比特速率的关系为：（2）采用滚降特性频谱的8PSK信号，则带宽与其符号速率的关系为对于8PSK信号，M=8，因此8PSK信号的符号速率与基带信号比特速率的关系为：（3）若考虑-6dB带宽，对滚降特性频谱的信号，由由此可得相应的调制信号-6dB的的带宽6.154PSK调制时的误码率，为减少传输频带，改用16PSK，传输的比特率不变。试分析在保证误码率不变的情况下，要求发射功率增加多少分贝。答：对于MPSK系统，一般地有对于4PSK调制：所需的信号发射功率为对于16PSK调制：所需的信号发射功率为由此可得所需增加的功率倍数为相应的功率分贝数6.16比特率为9600bps的数据经过2400Hz带宽的电话信道传输，要求误比特率为，若采用16PSK或16QAM调制，分别求所需的信噪比S/N。答：（1）当采用16PSK时，由可得相应地信噪比（2）当采用16QAM时，由由此可得可得相应地信噪比可见对同样的误比特率性能要求，16PSK较之16QAM，信噪比要求要高6.17已知一个M=8的MFSK载波传输系统。（1）如果符号速率为1000波特（1000符号/秒），请问其比特率为多少？（2）在一般情况下，要满足不同的符号间的正交性，MFSK信号的不同符号间的频率间隔最小应为多少？（3）若已知MFSK各信号是正交的，该带宽大致为多少？（4）试画出MFSK最佳接收机的结构图；（5）已知发送符集与信号向量集的对应的对应关系顺序为：任两符号间信号的距离为多少？（6）若最佳接收机解调得到的接收矢量为，请问应该判收到到哪一个符号？（7）若误符号率为，请问误比特率为多少？答：（1）（2）不同符号间的频率间隔应为：（3）该信号的带宽为（4）最佳接收机的结构图（5）（6）因为由，可知应该判发送。（7）误比特率为或6.18图示为8PSK系统及8QAM系统的星座图如图所示题图6.18（1）若8QAM信号空间图中两相邻矢量端点之间的最近欧式距离为A，请求出其内圆及外圆之半径与的值；（2）若8PSK信号空间图中两相邻矢量端点之间的最近欧式距离为A，请求出圆的半径值；（3）请求出两信号星座的平均发送功率（假设各信号点等概率出现），并对这两种星座结构作出比较。答：（1）对于图中的8QAM信号，可列出方程解得（2）对于8PSK信号，QUOTEA=2rsinπ8，因此（3）8PSK的平均符号能量为因此平均发送功率为8QAM的平均符号能量为因此平均发送功率为可见对于同样的最小星座点间的最小距离，8QAM所需的平均功率较8PSK信号小。6.19MSK和GMSK都是相位连续的恒包络信号，两者间性能上有何差异。答：（1）MSK和GMSK虽然都是相位连续的恒包络信号，比较两者的相位树可见，对MSK信号来说，当传输的码元序列前后有变化时，相位呈现折线的变化，在该时刻，频率有跳变；而对于GMSK信号，当传输的码元序列前后有变化时，相位的变化依然是平滑的，不会出现频率的跳变。因此GMSK信号的频谱较之MSK信号频谱在主瓣之外会有更快的衰减；（2）同样比较两者的相位树可见，对MSK信号来说，当传输的码元序列前后有变化时，相位的折线的变化使得其较之GMSK信号相位的平滑变化有更大的相位差，这使得MSK在信号变化时差异较之GMSK更大，因此有更大的噪声容限，这使得对相同的比特能量，MSK有更好的误码性能。既有6.20假定传统的频分复用系统相邻载波间的保护间隔为，其中为符号周期。试分析要实现256路相同符号速率信号的并行传输，采用正交频分复用技术比采用传统的频分复用技术可节省多少带宽。答：（1）对于传统的频分复用系统，若相邻载波间的保护间隔为，意味着两相邻信号的主瓣间的间隔为，因此总的所需带宽为（2）若采用正交频分复用方式，则相邻主瓣间的间隔为，因此总的所需带宽为由此可得即采用正交频分复用方式时所需带宽仅仅为传统的频分复用时的33.5%。第七章传输信道7.1对于自由空间路径损耗模型，求使接收功率达到所需的发射功率。假设载波频率、全向天线（），距离分别为及。答：由QUOTEPr=PtGlλ4πd2，QUOTEλ=得时：QUOTE10-3=Ptλ4π10QUOTEPt=4.39KW时：QUOTE10-3=Ptλ4π100QUOTEPt=438.65KW7.2何种条件下，路径损耗经验模型和自由空间路径损耗模型相同？答：路径损耗经验模型：QUOTEPr=PtK自由空间路径损耗模型：QUOTEPr=PtG当QUOTEK=Gl4π2，，且QUOTEd0=λ时，两模型相同。7.3假设接收机的噪声功率在感兴趣的信号带宽范围内是。传输模型是参数为QUOTEd0=1m、γ=4、的路径损耗经验模型，参数由自由空间模型按全向天线和QUOTEfc=1GHz确定。若发射功率为QUOTEPt=10mV，求信噪比为时所对应的最大收发距离。答：由题意：噪声功率QUOTEPn=-160dBm=10-19，，，QUOTEfc=1GHzQUOTEλ=cfc=0.3，QUOTEK=λ4πd02因为由QUOTESNR=20dB=100因此最大收发距离为17800m。7.4某时不变室内无线信道中直射分量的时延是，第一个多径分量的时延为，第二个多径分量的时延为。针对解调器同步于直射分量或第一个多径分量这两种情形，分别求相应的时延扩展。答：直射分量的时延QUOTEτ0=23ns第一个多径分量的时延QUOTEτ1=48ns第二个多径分量的时延QUOTEτ2=67ns设为解调器同步的多径分量的时延，QUOTETm为解调器的时延，则QUOTETm=maxτm-τc因此，当QUOTEτc=τ0时，QUOTETm=44ns；当QUOTEτc=τ1时，QUOTETm=19ns7.5某发射机发射功率为，载波频率为，发射天线增益QUOTEGT=2，接收天线增益QUOTEGR=3。试求在自由空间中距离发射机处的接收机的输出功率和路径损耗。答：已知，，QUOTEPT=10W，QUOTEd=104mQUOTEλ=cf=3×10则可得接收机天线上获得的功率：自由空间的路径损耗为：7.6在移动通信中，发射机载频为，一辆汽车以的速度运动，试计算在下列情况下车载接收机的载波频率：（1）汽车沿直线朝向发射机运动；（2）汽车沿直线背向发射机运动；（3）汽车运动方向与入射波方向成QUOTE90°。答：由QUOTEλ=cf，则多普勒频移QUOTEfD=Vλcosθ=（1）汽车朝向发射机运动，则取正，因此（2）汽车背向发射机运动，则QUOTEfD取负，因此（3）汽车沿以发射机为圆心的方向运动，多普勒频移为0，因此7.7一宽带信道的自相关函数为：其中，QUOTEsincx=sinπx/πx答：平均时延扩展QUOTEμTm=0∞均方根时延扩展QUOTEσTm=0∞7.8设散射函数QUOTESc(τ,ρ)在QUOTE0≤τ≤0.1ms及QUOTE-0.1≤ρ≤0.1Hz范围内不为0，且在此范围内近似为常数。求此信道的多径时延扩展。答：依题意有：QUOTETm≈0.1ms=100μs7.9某AWGN信道的带宽是，接收信号功率是，噪声的功率密度谱是QUOTEN0/2，其中QUOTEN0=2×10-9W/Hz。求接收功率和带宽分别增加一倍时信道容量的增量。答：由题意：QUOTEB=50MHz，QUOTEP=10mW，QUOTEN0=2×10-9W/Hz，则当QUOTEP=20mW时，QUOTEC=Blog21+γ=13.15Mbps当QUOTEB=50MHz时，QUOTEC=Blog21+γ=7Mbps7.10已知在高斯信道理想通信系统传送某一信息所需带宽为QUOTE106，信噪比为；若将所需信噪比降为，求所需信道带宽。答：根据AWGN信道中的香农公式QUOTEC=Blog1+Sσ2可求得信噪比为时的信道容量为当信噪比降为时，为了保持相同的信道容量，即：由此可得7.11设某平衰落信道的带宽为，若将发射功率固定为QUOTEP，则接收信噪比有以下六个可能值：QUOTEγ1=20dB、QUOTEγ2=15dB、QUOTEγ3=10dB、QUOTEγ4=5dB、QUOTEγ5=0dB、QUOTEγ6=-5dB，对应的出现概率为QUOTEp1=p6=0.1、QUOTEp2=p4=0.15、QUOTEp3=p5=0.25。假设只有接收端已知CSI。（1）求此信道的信道容量的统计平均值；（2）若接收端能正确解调的信噪比门限值为0dB，求相应的信道容量。答：（1）此时信道容量的统计平均值为（2）若接收端能正确解调的信噪比门限值为0dB，相应地有相应的信道容量7.12设有一平衰落信道，发送功率为QUOTEP，接收信噪比有以下四种可能的取值：QUOTEγ1=30dB、QUOTEγ2=20dB、QUOTEγ3=10dB、QUOTEγ4=0dB，相应的出现概率为QUOTEp1=p4=0.2、QUOTEp2=p3=0.3。假设收发端都已知CSI。求该信道的最佳功控方案QUOTEPi/P以及相应的归一化信道容量（C/W）。答：由平坦衰落信道的特性可得可得因为，所以各时刻信道均可用。由此可得收发端都已知CSI条件下，不同信噪比时的功率分配方案：归一化信道容量（C/W）QUOTE∴CB=i=147.13假设蜂窝系统功率衰减与距离间的关系服从QUOTEPrd=Pt(d0/d)α，其中QUOTEd0=100m，QUOTEα为随机变量。的概率分布为；QUOTEpα=2=0.4，QUOTEpα=2.5=0.3，QUOTEpα=3=0.2，QUOTEpα=4=0.1。假设接收端距离发送端，发送功率上限QUOTEPt=100mW，接收机噪声功率。假设收发端都已知CSI。（1）求接收端SNR的分布；（2）求该信道的最佳功控方案及相应的归一化信道容量。答：（1）QUOTESNR=PrdPn（2）由QUOTE1γ0=1+i=14可得QUOTEγ0=0.4283，因为只有当信噪比大于QUOTEγ0时才可以传输，但前面的QUOTEγ4不满足传输条件，所以上面的计算不成立。若仅用前3个信道传输，则QUOTE0.9γ0=1+i=13得QUOTEγ0=0.6742，成立。信道的最佳功控方案相应的归一化信道容量QUOTEσ=0.7491QUOTECB=log2(1+σ)=0.8066bps/Hz7.14假设有一个瑞利衰落信道，接收端和发送端都已知CSI，信噪比的概率密度函数QUOTEp(γ)服从均值为QUOTEγ=10dB的指数分布。信道带宽为。（1）求使该信道容量达到香农容量的中断门限QUOTEγmin；（2）求相应的功控方案；（3）求该信道的归一化信道容量。答：（1）最大信道容量由构造拉格朗日条件式对QUOTEP(γ)求导并令导数为0，可得QUOTEPγP=1γ0-1γ门限值应满足QUOTEγ0∞1γ0当QUOTEpγ=110e-得中断门限QUOTEγmin=0.7676（2）相应的功控方案为（3）归一化信道容量为（注：使用单位QUOTEnats/s/Hz是由于计算时用了自然对数ln，若要得单位为QUOTEbits/s/Hz的信道容量，应采用以2为底的对数QUOTElog2∙。）7.15若上题中仅接收端已知CSI，求此时信道的香农容量，并与上题（3）的结果比较。答：当仅有接收端已知CSI时，可见信道容量比收发两端都已知CSI时的信道容量要小。7.16假设时不变频率选择性信道在QUOTEf>0时的频率响应如下：且频率响应满足QUOTEH-f=Hf。若平均发送功率为，噪声功率谱密度为，求最佳功控方案及归一化的香农容量。答：由题意有QUOTEP=10mV，QUOTEN0=0.001μW/Hz，QUOTEB=10MHz时不变频率选择性信道中QUOTEγj=Hj2则QUOTEγ1=1210-30.001×10-6×10×106=1，QUOTEγ2=0.25，QUOTEγ3=4，QUOTEγQUOTEj1γ0-1先假设QUOTEγ0<0.0625，有QUOTE4γ0=1+1+10.25得QUOTEγ0=0.1798>0.0625，因此假设不成立。若设QUOTE0.0625<γ0<0.25，仅用前3个信道传输，则QUOTE3γ0=1+1+1得QUOTEγ0=0.48>0.25，因此假设不成立。若设QUOTE0.25<γ0<1，仅用第1、3个信道传输，则QUOTE2γ0=1+1+1