选修4-1几何证明选讲

选修4－1 几何证明选讲第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理 1 两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误．2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误．[试一试]1．如图，F为?ABCD的边AD延长线上的一点， DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E两点，EF＝16，GF＝12，求BE的长．解：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.2．在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，求CD的长．BCACAC282解：∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC＝CD，∴CD＝BC＝16＝4.1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．[练一练]AD＝1.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC且DB2，求△ADE与四边形DBCE的面积的比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADE2∴＝AD2.S△ABCABADAD2S△ADE4∵＝2，∴＝3，∴＝，DBABS△ABC9S△ADE4∴＝5.S四边形DBCE2.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D点，BC2＝BD·AB，求∠ACB.解：在△ABC与△CBD中，由BC2＝BD·AB，BC AB得BD＝BC，且∠B＝∠B，所以△ABC∽△CBD.则∠ACB＝∠CDB＝90°.考点一 平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在?ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，求BF∶FD的值．解：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，2∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.即BF∶FD＝5.2.(2013惠·州调研)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC3∶5，DE＝6，求则BF的值．解：由DE∥BC得DE AE 3BC＝AC＝5，∵DE＝6，∴BC＝10.又因为DF∥AC，所以BFBC＝BDAB＝CEAC＝25，即BF＝4.3.如图，在四边形 ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求EF＋FG的值．BC AD解：由平行线分线段成比例定理得EFBC＝AFAC，FGAD＝FCAC，故EFBC＋FGAD＝AFAC＋FCAC＝ACAC＝1.[类题通法]比例线段常用平行线产生， 利用平行线转移比例是常用的证题技巧， 当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的 .考点二 相似三角形的判定及性质[典例] (2013陕·西高考)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点 P.已知PD＝2DA＝2，求PE的值．[解]由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED.在△PDE和△PEA中，∠APE＝∠EPD，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，则PDPE＝PEPA，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝6.[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．[针对训练](2013·山质检佛)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB6，AC＝4，AD＝12，求BE的值．解：由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，所以△ABE∽△ADC，从而得ADAB＝AE22AC，解得AE＝2，故BE＝AB－AE＝42.考点三射影定理的应用[典例]如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，DF AE交AD于F，求证：AF＝EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD中，DFAF＝BDAB，①AE AB在△ABC中，EC＝BC，②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，BD AB即AB＝BC.③DF AB由①③得：AF＝BC，④由②④得：DFAF＝AEEC.[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．[针对训练]在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，求tan∠BCD的值．解：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．∴CD2＝9x2，∴CD＝3x.BD x 1Rt△CDB中，tan∠BCD＝CD＝3x＝3.[课堂练通考点]1．如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，求BC的长．AB∥EM∥DC解： ?E为AD中点，AE＝EDM为BC的中点．又EF∥BC?EF＝MC＝12cm，∴BC＝2MC＝24cm.2．如图，在四边形 ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，求S△CDE的值．解：∵EC∥AD，∴S△DCE∶S△ADE＝EC∶AD，∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE＝BC∶ED，又因为∠ECB＝∠DEC＝∠ADE，∠BEC＝∠EAD，∴△BEC∽△EAD，∴EC∶AD＝BC∶ED.∴S△DCE∶S△ADE＝S△BCE∶S△CDE，于是S△CDE＝ 3.3．(2013·东高考改编广)如图，在矩形 ABCD中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，求ED的值．解：∵tan∠BCA＝BCBA＝33，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt△BCE中，33CE＝BC·cos∠BCA＝3cos30＝°2.在△ECD中，由余弦定理得ED＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD3232233121＝＋3－2×2×3×2＝2.4.如图，在△ABC中，F为边AB上的一点，BF＝m(m，n>0)，取AFnBECF的中点D，连接AD并延长交 BC于点E.求EC的值．解：如图，作FG∥BC交AE于点G，则FGFDBEABm＋n＝n.CE＝DC＝1，FG＝AFBE m＋n两式相乘即得EC＝ n .5．在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC交于点F，若△AEF的面积为6cm2，求△ABC的面积．1解：令E＝a，EF＝b，则2ab＝6.由题意知

EB＝2a.DF＝3b.1 1∴S△ABC＝2·AB·DE＝2×3a×4b＝

112×2ab＝12×6＝72(cm)．[课下提升考能]1．如图，已知?ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.证明：因为四边形 ABCD为平行四边形，所以 AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA.AF BF从而有AG＝AD，即AF·AD＝AG·BF.2．已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.证明：(1)∵BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，EP BP∴ ＝ .FP CP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.3．如图，在△ABC中，D是过A作AH∥BE.连接ED并延长交

AC的中点，E是BC延长线上一点，AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的长．解：∵AH∥BE，∴HF＝AF.HE ABHF 1∵AB＝4AF，∴HE＝4，∵HE＝8，∴HF＝2.HD AD∵AH∥BE，∴ ＝ .DE DC∵D是AC的中点，∴HDDE＝1.∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，∴DF＝HD－HF＝4－2＝2.4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.证明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，1 1∴S△ABC＝2AB·AC＝2BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.5．如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F.若AE＝1，求AF的值．AD 4 AC解：如图，过点 A作AG∥BC，交BF的延长线于点 G.AE1AE＝1∵＝，∴3.AD4ED又∵△AGE∽△DBE，AG AE 1∴ ＝ ＝.BD ED 3∵D为BC中点，BC＝2BD，AG 1∴ ＝.BC 6AF AG 1 AF 1∵△AGF∽△CBF，∴ ＝ ＝，∴ ＝.FC BC 6 AC 76.如图所示，在平行四边形 ABCD中，E是CD的延长线上一点，1DE＝2CD，BE与AD交于点F.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为 2，求平行四边形 ABCD的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAF＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.S△DEF＝(DE2，S△DEF＝(DE2∴S△ABFS△CEBCE)AB).1又DE＝2CD＝2AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.S△DEF2＝1，S△DEF＝(DE2＝1∴＝(DES△ABFS△CEBCE)9AB)4.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴平行四边形ABCD的面积S＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、 割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PA＝AB＝5，CD＝3，求PC的长．解：设PC＝x，由割线定理知 PA·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.2.如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠BAD的值．解：由已知，显然△EBC为等腰三角形，°－∠E因此有∠ECB＝＝67°，2因此∠BCD＝180°－∠ECB－∠DCF＝81°.而由A，B，C，D四点共圆，得∠BAD＝180°－∠BCD＝99°.1．与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角．(3)有切点，作过切点的半径．(4)两圆相交，作公共弦．(5)两圆相切，作公切线．2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，

所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013

·州模拟荆

)如图，

PA是⊙O

的切线，切点为

A，过

PA的中点

M作割线交⊙

O于点B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，求∠MPB的值．解：由切割线定理得， MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即MB＝MP，MP MC又∠BMP＝∠PMC.故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°.2．(2013长·沙一模)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于点A，点B，且PB＝7，C是圆上一点，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，求AB的值．解：由PA为圆O的切线可得，∠PAB＝∠ACB，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013天·津高考改编)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．解：因为AE是圆的切线，且AE＝6，BD＝5，由切割线定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四边形 AEBC是平行四边形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.CACFCA2168又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CB＝CA，CF＝CB＝6＝3.2．(2013·东高考改编广 )如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的长．解：连接OC，则OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，则∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD＝BC，AD＝AB，将AB＝6，ED＝2代入①式，得 CD＝ 12＝2 3，∴BC＝2 3.3．(2014岳·阳模拟)如图所示，⊙O的两条切线 PA和PB相交于点P，与⊙O相切于A，B两点，C是⊙O上的一点，若∠P＝70°，求∠ACB的值．解：如图所示，连接 OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.故∠AOB＝110°，1∴∠ACB＝2∠AOB＝55°.[类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二圆内接四边形的性质及判定[典例](2013郑·州模拟)如图，AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的长．[解] (1)证明：连接 DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD与Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F四点共圆．C，D，E，F四点共圆?GE·GF＝GC·GD(2)?GH2＝GE·GF，GH切⊙O于点H?GH2＝GC·GD又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.[类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形

ABCP

中，线段

AP与

BC

的延长线交于点

D，已知

AB＝AC

且A，B，C，P四点共圆．PC PD(1)求证：AC＝BD；(2)若AC＝4，求AP·AD的值．解：(1)证明：因为点 A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因为∠DPCPC PD＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因为∠D＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以AB＝BD，PC PD又因为AB＝AC，所以AC＝BD.(2)因为AB＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°.由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以APAC2AC＝AD，所以AP·AD＝AC＝16.考点三 与圆有关的比例线段[典例] (2013辽·宁模拟)如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．[解] (1)证明：连接 DE，因为四边形 ACED是圆的内接四边形，所以∠ BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，BE DE所以BA＝CA，而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分线，所以AD＝DE，从而BE＝2AD.(2)由已知得 AB＝2AC＝2，设AD＝t(0<t<2)，根据割线定理得，BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，11解得t＝2，即AD＝2.[类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·州模拟郑)如图，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.2求证：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)GF＝EF2.AG CE证明：(1)连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF＝∠AGD＝90°.∵G为弧BD的中点，∴∠DAG＝∠GAB＝∠ECF.CE EF∴△CEF∽△AGD，∴AG＝GD，∴AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DAG＝∠GAB＝∠FDG，又∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF.2

2

2EF GD GF EF由(1)知CE2＝AG2，∴AG＝CE2.[课堂练通考点

]1．(2013·州模拟惠)如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转 60°得到OD，求PD的长．解：∵PA切⊙O于点A，B为PO的中点，∴∠AOB＝60°，∴∠POD

＝120°.在△POD

中，由余弦定理，得

PD2＝PO2＋DO2－12PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－2)＝7，故

PD＝

7.2．(2014江·南十校联考)如图，在圆的内接四边形 ABCD

中，∠ABC90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，求BC的长．解：连接AC.因为∠ABC＝90°，所以AC为圆的直径．又∠ACD＝∠ABD30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝2.3．(2013·州模拟广)如图，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP＝4，PB＝2，求PC的长．解：如图，延长 CP交⊙O于点D，因为 PC⊥OP，所以 P是弦CD的中点，由相交弦定理知 PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2 2.4．(2013新·课标卷Ⅰ)如图，直线 AB为圆的切线，切点为角平分线BE交圆于点 E，DB垂直BE交圆于点 D.

B，点

C在圆上，∠

ABC

的(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为 1，BC＝

3，延长

CE交

AB

于点

F，求△BCF

外接圆的半径．解：(1)证明：如图，连接

DE，交

BC

于点

G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，则∠DCE＝90°，由勾股定理可得 DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，3故DG是BC的中垂线，所以 BG＝2.设DE的中点为 O，连接BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，3所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于 2.[课下提升考能]1．(2013·宁高考辽)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.π由AB为⊙O的直径，得 AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝2；π又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.2．(2013·苏高考江)如图，AB和BC分别与圆 O相切于点 D，C，AC经过圆心 O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆 O相切于点 D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB.BC AC所以OD＝AD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．如图所示，直线AB过圆心O，交圆O于A，B两点，直线AF交圆O于点F(不与B重合)，直线l与圆O相切于点C，交直线AB于点E，且与AF垂直，交AF的延长线于点G，连接AC.求证：(1)∠BAC＝∠CAG；(2)AC2＝AE·AF.证明：(1)连接BC，因为 AB是直径，所以∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠AGC＝90°.因为GC切圆O于点