新教材2023版高中数学第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.1正弦定理课件新人教B版必修第四册

9．1.1正弦定理新知初探·自主学习课堂探究·素养提升课程标准1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理．2．能用正弦定理解决简单的实际问题．新知初探·自主学习教

材

要

点知识点一正弦定理知识点二解三角形(1)一般地，我们把三角形的________及其________分别叫做三角形的元素．(2)已知三角形的若干元素求________一般称为解三角形．所对角的正弦

三个角对边其他元素

absinCacsinBbcsinA

答案：B

答案：C

答案：A

课堂探究·素养提升题型1已知两角及一边解三角形例1

(1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b；(2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c.

方法归纳已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．跟踪训练1

在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c.

【答案】

B

方法归纳已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

(2)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝30°，若三角形有两解，则x的取值范围是(

)A．x>2 B．0<x<2C．2<x<3 D．2<x<4答案：D

例3在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

方法归纳依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．跟踪训练3

(1)已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，∠A、∠B为两内角，试判断这个三角形的形状．

(2)设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(

)A．锐角三角形

B．直角三角形C．钝角三角形

D．不确定答案：B

8

【答案】

C

(3)在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．

状元随笔利用正弦定理，把cosA＋sinC转化为一个角的函数，利用三角函数的性质求解．

答案：C

答案：A

3．要掌握正弦定理的三个应用：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．(3)判断三角形的形状．