2023新教材高中数学课时分层作业16正态分布新人教A版选择性必修第三册

课时分层作业(十六)正态分布一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84A[因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16．]2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤4)＝0.68，则P(ξ≥2)＝()A．0.84 B．0.68C．0.32 D．0.16B[因为随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，所以密度曲线关于直线x＝3对称，由于P(ξ≤4)＝0.68，所以P(ξ>4)＝1－0.68＝0.32，所以P(ξ<2)＝0.32，所以P(ξ≥2)＝1－0.32＝0.68．]3．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，1)内取值的概率为()A．0.1 B．0.2C．0.4 D．0.8C[∵ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，∴μ＝1，又∵P(0＜ξ＜2)＝0.8，∴P(0＜ξ＜1)＝eq\f(1,2)P(0＜ξ＜2)＝0.4．]4．某校有1200人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105，σ2)(σ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的eq\f(1,5)，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为()A．180 B．240C．360 D．480C[∵P(X＜90)＝P(X＞120)＝0.2，∴P(90≤X≤120)＝1－0.4＝0.6，∴P(90≤X≤105)＝eq\f(1,2)P(90≤X≤120)＝0.3，∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1200×0.3＝360．]5．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布N(90，64)．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82，106)内的产品估计有()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.9545．A．8186件 B．6826件C．4772件 D．2718件A[依题意，μ＝90，σ＝8，∴P(82<X＜106)≈0.6827＋eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.8186，∴质量在区间(82，106)内的产品估计有10000×0.8186＝8186件．]二、填空题6．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，则P(ξ＜2)＝________．0.5[∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2∴P(ξ＜2)＝0.5．]7．若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则P(－3＜ξ≤13)＝________．(参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.9973)0.84[∵随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4，则P(－3＜ξ≤13)＝P(μ－3σ＜ξ≤μ＋σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)(0.9973＋0.6827)＝0.84．]8．研究某市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，从中随机抽取10株，果实个数在[90，110]的株数记作随机变量X，假设X服从二项分布，则X的方差为________．2.4[∵x～N(90，σ2)，且P(x＜70)＝0.1，∴P(90＜x＜110)＝0.5－0.1＝0.4，∴X～B(10，0.4)，X的方差为10×0.4×(1－0.4)＝2.4．]三、解答题9．在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0，4)内取值的概率；(2)P(X>4)．[解](1)由X～N(2，σ2)知，对称轴x＝2，画出示意图，因为P(0<X<2)＝P(2<X<4)，所以P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4．(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)(1－0.4)＝0.3．10．某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数；(3)在这50名身高在172cm以上(含172cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[解]由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．(2)由频率分布直方图知，后3组的频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10．(3)全市100000名男生的身高X服从正态分布N(168，16)，则P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.9973．由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)≈eq\f(1－0.9973,2)＝0.00135，且0.00135×100000＝135，故全市约前135名男生的身高在180cm及以上．这50人中身高在180cm及以上的人数为50×0.01×4＝2．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(16,45)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,45)，故E(ξ)＝0×eq\f(28,45)＋1×eq\f(16,45)＋2×eq\f(1,45)＝eq\f(2,5)．11．(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是()(参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.9973)A．E(X)＝100 B．D(X)＝100C．P(X≥90)＝0.84135 D．P(X≤120)＝0.9987ABC[∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于x＝100对称，根据题意，可得P(90＜X＜110)≈0.6827，P(80＜X＜120)≈0.9545，∴P(X≥90)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.6827＝0.84135，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725，故D错误．而A，B都正确．故选ABC．]12．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545．A．2387 B．2718C．3414 D．4777C[由P(－1<X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.3414，则阴影部分的面积约为0.3414，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×eq\f(0.3414,1×1)＝3414．]13．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若该批零件共有5000个，则这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占百分比为______，若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有________个．68.27%107[∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，于是尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24mm间的零件所占的百分比大约是95.45%．∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是eq\f(99.73%－95.45%,2)＝2.14%．因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5000×2.14%＝107(个)．∴这批零件中不合格的零件大约有107个．]14．若某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(1，22)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，5)内的概率为________．0.1359[设长度误差为随机变量ξ，由正态分布N(1，22)得P(－1<ξ<3)≈0.6827，P(－3<ξ<5)≈0.9545，所以P(3<ξ<5)＝eq\f(P－3<ξ<5－P－1<ξ<3,2)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359．]15．搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中的锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了20世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N(μ，0.25)，且P(X<6)＝eq\f(1,2)，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件．(1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值；②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记ξ表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的产品件数，求E(ξ)．(2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示．设L＝eq\f(产品等级系数的平均值,产品零售价)，若以“L的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由．注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．[解](1)①根据题意，P(X<6)＝eq\f(1,2)，得μ＝6，即A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6．②∵σ2＝0.25，∴σ＝0.5，则μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5，易知一件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的概率约为0.6827，依题意知ξ服从参数为10000，0.6827的二项分布，∴E(ξ)≈10000×0.6827＝6