2022年吉林省长春市环城中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022年吉林省长春市环城中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数在区间上是减函数，则的取值范围是A.

B．

C．

D．参考答案：C2.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某处运动，得到如下的列联表：

男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110由卡方公式算得：K2≈7.8附表：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表：得到的正确的结论是（）A．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关”B．在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”C．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关”参考答案：C【考点】独立性检验的应用．【分析】由题目所给数据，结合独立检验的规律可作出判断．【解答】解：∵观测值k2=7.8＞6.635，∴在犯错误概率不超过0.1的前提下认为“爱好该项运动与性别无关”，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选：C．3.设全集则(CuA)∩B=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.函数y=的定义域是（

）A．（3，+∞）

B．3,+∞)

C．(4,+∞)

D．4,+∞)参考答案：D5.若集合，则（

）A.B.C.D.参考答案：A6.“”是复数“为纯虚数”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：答案:B7.函数的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的()A．外心

B．内心C．重心 D．垂心参考答案：D9.已知函数,,若与的图象上分别存在点M,N关于直线对称,则实数k的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C10.．若某程序框图如图所示，则输出的n的值是

参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若(x∈R)，则________.参考答案：-1略12.若复数z满足z=i（2+z）（i为虚数单位），则z=．参考答案：﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算进行求解即可．解答：解：由z=i（2+z）=zi+2i得（1﹣i）z=2i，则z==﹣1+i，故答案为：﹣1+i点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．13.方程的实根的个数为____________.参考答案：1略14.下图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20．5，26．5］，样本数据的分组为，，，，，．已知样本中平均气温低于22．5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25．5℃的城市个数为

；参考答案：915.若函数的最小值为－1，则的取值范围为

．参考答案：16.已知集合，试用列举法表示集合=

参考答案：{2，4，5}略17.数列的通项公式，前项和为，则=_____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用；椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）可设且显得的长，当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，进而求得|PF2|的最小值，进而判断出，求得e的范围．（2）依题意求得Q点坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而表示出x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2的表达式和x1?x2+y1?y2，进而根据OA⊥OB，判断出=0求得k和a的关系，表示出圆心到直线度的距离，根据（1）中e的范围确定c的范围，进而确定S的范围，则其最大值可求．【解答】解：（1）依题意设切线长，∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a﹣c，∴，∴，从而解得，故离心率e的取值范围是；（2）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），联立方程组，得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，代入直线方程得y1y2=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，，又OA⊥OB，∴，∴x1x2+y1y2=0，∴k2=a2，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离，由图象可知，∴，∴，∴，所以．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，考查了学生数形结合的思想，转化和化归思想的运用．19.在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，AD=SD=2，BA=BS=4．（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；（Ⅱ）求二面角A﹣SB﹣C的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）用余弦定理求出BD=2，从而利用勾股定理得BD⊥AD，BD⊥SD，由此能证明BD⊥平面SAD．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SB﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵∠SAD=30°，AD=SD=2，∴∠SDA=120°，SA==6，∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，BA=BS=4．∴cos60°=，解得BD=2，∴AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∵SD2+BD2=SB2，∴BD⊥SD，∵AD∩SD=D，∴BD⊥平面SAD．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，2，0），S（﹣，0，3），=（3，0，﹣3），=（），=（﹣，2，﹣3），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，），设平面BCS的法向量=（a，b，c），则，取b=3，得=（0，3，2），设二面角A﹣SB﹣C的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角A﹣SB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查应用意识，属于中档题．20.（本题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，2，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及数学期望。参考答案：【点评】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等.高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二、以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等.来年需要注意第一种方向的考查.21.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．（Ⅰ）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（Ⅱ）若AE=6，BE=8，求EF的长．参考答案：（Ⅰ）BE平分∠ABC.∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD.∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.（Ⅱ由⑴知∠CAD=∠EBC=∠ABE.

∵∠AEF=∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴，∵AE=6，BE=8.∴EF=；略22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C相交于M，N两点，直线过定点且倾斜角为，交曲线C于A，B两点．（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求的值；（2）若，，成等比数列，求直线的倾斜角．参考答案：(1)答案见解析(2)或【分析】（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．【详解】解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．由ρcosθ=1得x=1，由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．（2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，得t2sin2α-4tc