湖南省邵阳市楚才中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省邵阳市楚才中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意实数满足：，，，，考察下列结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列。其中正确命题的个数为（

） A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：D2.函数的所有零点之和等于

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：C3.下列函数图象中不正确的是

（

）参考答案：D因为根据函数的定义可知，对于任意的自变量x，都有一个唯一的值与其相对应，那么可知选项A符合，选项B符合，选项C，利用关于x轴对称变换得到符合，选项D，应该是偶函数，所以不成立，故选D4.设集合，，则=(

)A．[－1,0)

B．(－∞,－1)

C．(－∞,－1]

D．(－∞,0)∪[2,+∞)参考答案：C由题意知，或，，故选C.5.我校秋季田径运动会举行期间需要若干学生志愿者.若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场地，则甲、乙两人必须分在同组的概率是

（

）

A.

B． C．

D．参考答案：A6.“”是“”的

（

） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略7.函数的零点个数为（）A．0

B．1

C．2

D．3

参考答案：B8.曲线关于直线对称的曲线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C9.在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：（为原点）中，，，为锐角，则公比等于（

）

A．

B．

C．

D．或参考答案：C略10.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为D，若满足如下两条件：①在D内是单调函数；②存在,使得在上的值域为,那么就称函数为“启中函数”，若函数=是“启中函数”，则的取值范围是__________．参考答案：略12.等差数列中，公差且，，恰好是一个等比数列的前三项，那么此等比数列的公比等于

．参考答案：413.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．参考答案：（2，2+）【考点】对数函数的值域与最值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=2+有两个解．故所求的k的取值范围为（2，2+），故答案为（2，2+）．【点评】本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.设[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x|x2﹣2[x]=3}，B={x|＜2x＜8}，则A∩B=

．参考答案：{﹣1，}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】利用题中的新定义求出集合A中的方程，确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．【解答】解：由集合A中的等式x2﹣2[x]=3变形得：x2=2[x]+3，由题意可知x2为整数，而x2﹣2x﹣3=0的解为：x=﹣1或3，则[﹣1]=﹣1，[3]=3，所以x2=2[x]+3=﹣2+3=1或x2=2×3+1=7，解得x=±1或x=±，经检验：x=1，x=﹣不合题意舍去，所以x=﹣1或，∴集合A={﹣1，}，由B中不等式变形得：2﹣3＜2x＜23，即﹣3＜x＜3，∴B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={﹣1，}，故答案为：{﹣1，}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．15.己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺

寸（单位cm），可得这个几何体的体积是----_________．参考答案：略16.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.②若AsinB>BsinA，则B＞A③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.参考答案：①④⑤17.给定两个长度为1的平面向量和，他们的夹角为，如图，点在以为圆心的弧上变动，若，则的最大值为_________。

参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)已知，其中是自然常数，（Ⅰ）当时,研究的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：；（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ），

…………1分∴当时，，此时单调递减当时，，此时单调递增

………………3分

∴的极小值为

（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴，……5分令，，

……………6分当时，，在上单调递增∴

………9分∴在（1）的条件下，……………10分（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

①当时，，所以，所以在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.

……12分

②当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件.

……14分③当时，，所以，所以在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.

……15分综上，存在实数，使得当时有最小值3

.……16分19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据题意和正弦定理求出a的值；（Ⅱ）由二倍角的余弦公式变形求出sin2A，由A的范围和平方关系求出cosA，由余弦定理列出方程求出b的值，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，由正弦定理，得．…（Ⅱ）由得，，由得，，则，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，化简得，b2﹣2b﹣15=0，解得b=5或b=﹣3（舍负）．所以．

…20.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为、b、c，且，（1）求cosB的值；（2）若且，求和c的值。参考答案：（Ⅱ）由，得，

又

∴

……

①

由余弦定理，得：又

∴

∴

……②

由①②解得：故和的值均为

略21.已知.（1）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围；（2）若是函数f(x)的两个零点，求证：.参考答案：（1）设，则时，不等式恒成立时，恒成立．，时，，在区间上为增函数．另由，知．1

若，则此时，在区间内有唯一零点，设为，则时，在区间上为减函数，．因此，不符合要求．2

若，则时，，此时，在上为增函数．时，．因此，符合要求．由①、②，得的取值范围为．（2）是函数的两个零点，，．不妨设，易知，联立上述两式，消，得又由（1）知，对，当时，恒成立．当时，恒成立．当时，．，；当时，同理可得：，．22.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（1）若∠DAC=30°，求角B的大小；（2）若BD=2DC，且AD=3，求DC的长．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理求出sin∠ADC的值，进而求出∠ADC的度数，即可求出∠B的度数；（2）设DC=x，表示出BD，BC，以及AC，利用同角三角函数间的基本关系及余弦