辽宁省抚顺市红升中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

辽宁省抚顺市红升中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是(

)A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c参考答案：A考点：对数值大小的比较．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由题意设f（x）=lnx﹣x（x＞0），求导判断函数的单调性，从而比较大小．解答：解：设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1=；故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及利用单调性比较函数值域的大小，属于基础题2.下列函数为奇函数的是(

) A.

B.

C.

D.参考答案：略3.“”是“函数为奇函数”的

（

）A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.非充分非必要条件参考答案：A略4.已知等于（

） A．

B． C． D．参考答案：A略5.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是A．144

B．216

C．288

D．432参考答案：D6.已知数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．500 B．600 C．700 D．800参考答案：B【考点】数列的应用．【分析】利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值，即可求解S15的最大值为M，最小值为m推出结果．【解答】解：数列{an}为等差数列，且a1≥1，a2≤5，a5≥8，设数列{an}的前n项和为Sn，S15的最大值为M，最小值为m，可知公差最大值时，M最大，公差最小时，m最小，可得a1=1，a2=5，此时公差d=4是最大值，M=S15=1×15+=435，a2=5，a5=8，此时d=1，m=S15=4×15=165．M+m=435+165=600．故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，判断数列和何时取得最值是解题的关键．7.函数f（x）的图象如图，f′（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2） B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2） D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）参考答案：B【考点】导数的运算；函数的图象．【分析】由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出答案．【解答】解：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，而f（3）﹣f（2）可看作过点（2，f（2））与点（3，f（3））的割线的斜率，由导数的几何意义可知0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）．故选B．8.将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

（

）

A．

B．2+

C．4+

D．

参考答案：B9.设奇函数的定义域为Ｒ，最小正周期，若，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：答案：

C10.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．【解答】解：∵等差数列{an}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=﹣8，∴a2=﹣6．故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）=，f（θ）的最大值为．参考答案：2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）,【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】由题意作出图形，再连结CO，从而可得点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin（180°﹣2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．【解答】解：如右图，连结CO，由图可知，θ∈[，），∵∠CAO=θ，∴∠COA=180°﹣2θ，∴点C的坐标为（﹣cos（180°﹣2θ），sin（180°﹣2θ））；即点C的坐标为（cos2θ，sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣cos2θ，故f（θ）=2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣cos2θ=﹣2cos2θ+2cosθ+1=﹣2（cosθ﹣）2+，故当cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为：2cosθ﹣cos2θ，θ∈[，）；．【点评】本题考查了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考查了函数的最值的求法，属于中档题．12.已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．参考答案：5【考点】平面向量的坐标运算．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．∴|+|==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.平面向量的单位向量是

参考答案：14.有11个座位，现安排2人就座，规定中间的1个座位不能坐，并且这两个人不相邻，那么不同坐法的种数是

．参考答案：7415.（几何证明选讲选做题）如图3，是圆的一条弦，延长至点，使得，过作圆的切线，为切点，的平分线交于点，则的长为

．参考答案：试题分析：由切割线定理得：，所以，因为是的平分线，所以，因为是圆的切线，所以，因为，所以，所以．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理．16.2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是乙或丁；妈妈：冠军一定不是丙和丁；孩子：冠军是甲或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是__________．参考答案：丁【分析】假设冠军分别是甲、乙、丙、丁、戊，分别判断孩子、妈妈、爸爸的判断是否正确，即可得结果.【详解】若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不合题意；若冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不合题意；若冠军是丙，三个人判断都不正确，不合题意；若冠军是丁，只有爸爸判断正确，合题意，故答案为丁.【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.17.已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且，，则椭圆C的离心率为________参考答案：【分析】连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在△和中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.【详解】设，则，，由，得，，在△中，，又在中，，得故离心率【点睛】本题考察了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）证明：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值化简即可得出结论；（2）分离参数得t≤，把2a+b=2代入不等式，根据基本不等式的性质得出的最小值，从而得出t的范围．【解答】解：（1）证明：令x+a=0得x=﹣a，令2x﹣b=0得x=，∵a＞0，b＞0，∴﹣a，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴fmin（x）=f（）=a+=1，2a+b=2；（2）∵a+2b≥tab恒成立，∴t≤恒成立，∵2a+b=2，∴a+b=1，∴=+=+=+≥=，（当且仅当a=b时取等号）∴的最小值为，∴t．19.两非零向量满足：垂直，集合是单元素集合。（1）求的夹角（2）若关于的不等式的解集为空集，求实数的值。参考答案：20.某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率；(3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）参考答案：（1）0.4；（2）；（3）选择方案（1），理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图求得快递业务量不少于单的频率之和即为所求概率；（2）分别计算从四名骑手中随机选取人的情况和至少有名骑手选择方案（）的情况，根据古典概型求得概率；（3）利用频率分布直方图估计快餐店人均日快递量的平均数，从而可求得两种方案的平均日工资，通过平均日工资的多少可知应选择方案（）.【详解】（1）设事件为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于单”依题意，连锁店的人均日快递业务量不少于单的频率分别为：，，（2）设事件为“从四名骑手中随机选取人，至少有名骑手选择方案（）”从四名新聘骑手中随机选取名骑手，有种情况其中至少有名骑手选择方案（）的情况有：种情况（3）由频率分布直方图可知：快餐店人均日快递量的平均数为：方案（）平均日工资约为：方案（）平均日工资约为：可知方案（）平均日工资低于方案（）平均日工资故骑手应选择方案（）【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体频率、平均数，古典概型的概率求解问题.关键是要熟记利用样本估计总体的方法，属于常规题型.21.（本小题满分10分）已知函数．⑴求的值；⑵若，求的值．参考答案：解：⑴⑵因为，所以，所以，所以

略22.已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l过点且与椭圆C相交于A，B两点.过点A作直线的垂线，垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由离心率列方程可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，直线BD过点（2，0）．当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=k（x-1），联立方程组，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韦达定理、直线方程，结合已知条件求出直线BD过x轴上的定点．【详解】（Ⅰ）解：由题意可得,

解得，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）直线BD恒过x轴上的定点N（2，0）．证明如下（a）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不妨设A（1，），B（1，），D（3，）．此时，直线BD的方程为：