八年级数学上册两点的距离公式培优题

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】

专题19.11两点的距离公式

姓名:班级：得分：

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道.答卷前，考生务必用0.5毫米

黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.(2021春•交城县期末)已知点A(1,3),8(-2,3),则A,8两点间的距离是()

A.4个单位长度B.3个单位长度

C.2个单位长度D.1个单位长度

【分析】由题意知，直线48〃x轴，则48=|1-(-2)|.

【解析】由点A(1,3),8(-2,3)知，AB=\\-(-2)|=3,即A,8两点间的距离是3个单位长

度.

故选：B.

2.(2020秋•安徽期中)已知点A(0,-6),点B(0,3),则A,B两点间的距离是()

A.-9B.9C.-3D.3

【分析】由于A、8点都在y轴上，然后用8点的纵坐标减去A点的纵坐标可得到两点之间的距离.

【解析】YA(0,-6),点B(0,3),

8两点间的距离=3-(-6)=9.

故选：B.

3.(2019秋•张店区期末)在平面直角坐标系中，若点M(-2,3)与点N(-2,y)之间的距离是5,那

么y的值是()

A.-2B.8C.2或8D.-2或8

【分析】由点M,N点的坐标结合MN=5,可得出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得

出结论.

【解析】•••点M(-2,3)与点N(-2,>')之间的距离是5,

••.|厂3|=5,

解得：y=8或丫=-2.

故选：D.

4.(2020春•赣州期末)在平面直角坐标系中，点A(-3,2),B(3,5),C(x,)，)，若4C〃x轴，则线

段BC的最小值及此时点C的坐标分别为()

A.6,(-3,5)B.10,(3,-5)C.1,(3,4)D.3,(3,2)

【分析】根据坐标的定义可求得y值，根据线段8c最小，确定垂足为点C,进一步求得BC

的最小值和点C的坐标.

【解析】依题意可得：

p

,B

4-C

-5-4-3-2-1(12345^

；AC〃x轴，A(-3,2)

/♦y=2,

根据垂线段最短，当4c于点C时，

点B到AC的距离最短，即

BC的最小值=5-2=3,

此时点C的坐标为(3,2),

故选：D.

5.(2019秋•无锡期末)在平面直角坐标系中，点4(-48，0),点8(a,aa),则当AB取得最小值时，a

的值为()

A.-V3B.-3C.0D.V3

【分析】根据两点间的距离公式即可得到结论.

【解析】•.,点4(一4g，0),点B(a,V3a),

：.AB=J(-4百-a)2+(V3a)2=2J(a+V3)2+9,

...当AB取得最小值时，。的值为一6，

故选：A.

6.（2020秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，点P为x轴上一点，且到4（0,2）和点8（5,5）

的距离相等，则线段OP的长度为（）

A.3B.4C.4.6D.2后

【分析】设点P（x,0）,根据两点间的距离公式列方程，即可得到结论.

【解析】设点2（»0）,

根据题意得,?+22=（5-x）2+52,

解得：x—4.6,

：.0P=4.6,

故选：C.

7.（2019春•东湖区校级期末）P\（xi,yi）,Pi（电＞2）是平面直角坐标系中的任意两点,我们把|xi-X2|+|yi

-泗叫做Pi,P2两点间的''直角距离”，记作P2）.已知动点尸（x,y）,定点Q（2,1）满足d

（P,Q）=2,且x、y均为整数，则满足条件的点P有（）个

A.4B.6C.8D.10

【分析】由条件可得到-2\+\y-1\—2,分四种情况：①x-2=±2,y-1=0,②x-2=±1,y-1=±1,

③x-2=0,y-1=±2,进行讨论即可求解.

【解析】依题意有，

|x-2|+|y-1|=2,

①x-2=±2,)，-1=0,

解得曰d

®x-2=±1,y-1=±1,

解得尸;,尸;，『二

(y=2(y=0(y=2(y=0

③X-2=0,y-1=±2,

解瞰：;，(；：-r

故满足条件的点P有8个.

故选：c.

8.（2019春•古冶区期末）如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2,0）和（0,3）,则这两点

之间的距离是（）

A.V13B.V5C.13D.5

【分析】先根据A、8两点的坐标求出OA及。8的长，再根据勾股定理即可得出结论.

【解析】VA（2,0）和B（0,3）,

：.OA=2,08=3,

：.AH=>JOA2+OB2=y/22+32=V13.

故选：A.

9.（2017春•罗山县期末）Pi（xi,yi）,P2（%2.>2）是平面直角坐标系中的任意两点，我们把|xi-X2|+|yi

->2|叫做Pl,尸2两点间的“直角距离”,记作d（P,尸2）.比如：点尸（2,-4）,Q（1,0）,则d（P,

2）=|2-11+1-4-0|=5,已知Q（2,1）,动点P（x,y）满足d（P,。）=3,且x、y均为整数，则

满足条件的点「有（）个.

A.4B.8C.10D.12

【分析】由条件可得到|x-2|+|y-1|=3,分四种情况：①x-2=±3,y-1=0,②x-2—±2,y-1=±1,

③x-2=±l,y-I=±2,④x-2=0,y-1=±3,进行讨论即可求解.

【解析】依题意有

|x-2|+|y-1|=3,

①x-2=±3,y-1=0,

解得忧「，咒:；

②x-2=±2,y-1=±1,

解唠:；，3：；，［：：，｛；*

③x-2=±l,y-1=±2,

解啜二‘修w,m：%

④x-2=0,y-1=±3,

解得｛EH

故满足条件的点尸有12个.

故选：D.

10.(2016春•周口期中)在平面直角坐标系中，点尸(-x,2x)到原点。的距离等于5,则x的值是()

A.±1B.1C.V5D.±V5

【分析】根据两点间的距离公式列出关于x的方程，求出x的值即可.

【解析】•••点尸(-x,2%)到原点。的距离等于5,

；./+4/=25,解得x=±V5.

故选：D.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上

11.(2021春•椒江区期末)在平面直角坐标系中，点A(4,-3)到原点的距离是5.

【分析】直接利用两点简的距离公式计算.

【解析】点A(4,-3)到原点的距离="+4?=5.

故答案为5.

12.(2021春•平罗县期末)平面直角坐标系中，已知点A(-1,3)和点8(1,2),则线段4B的长为_遍_.

【分析】根据两点间的距离公式可以求得线段AB的长，本题得以解决.

【解析】点A(-1,3)和点8(L2),

J(-l-l)2+(3-2)2=V5,

故答案为：V5.

13.(2019秋•金山区期末)已知直角坐标平面内两点A(-3,1)和8(3,-1),则A、5两点间的距离

等于2同.

【分析】根据两点间的距离公式d=2-巧)2+02-丫i)2解答即可.

【解析】•.•直角坐标平面内两点A(-3,1)和8(3,-1),

...A、B两点间的距离等于J(-3—34+(-1—1)2=2同,

故答案为2VIU.

14.(2020春•临河区期末)在平面直角坐标系中，若点M(2,4)与点NCx,4)之间的距离是3,则尤

的值是-1或5.

【分析】根据点M(2,4)与点N(x,4)之间的距离是3,可以得到|2-x|=3,从而可以求得x的值.

【解析】♦.•点例(2,4)与点N(x,4)之间的距离是3,

.♦.|2-x|=3,

解得，x=-1或x=5,

故答案为：-1或5.

15.(2020秋•中原区校级月考)在平面直角坐标系中，已知点A(-V7,0),B(夕，0),点C在坐标轴

上，且AC+8C=8,写出满足条件的所有点C的坐标(0,3).(0,-3),(4,0),(-4,0).

【分析】需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标：②当点

C位于y轴上时，根据勾股定理求点C的坐标.

【解析】①当点C位于)，轴上时，设C(0,b).

J(-V7)2+b2+J(V7)2+b2=8,解得，b=3或6=-3,

此时C(0,3),或C(0,-3).

②当点C位于x轴上时，设C(a,0).

则I一夕-a|+|a-V7|=8,即2a=8或-2a=8,

解得a=4或a=-4,

此时C(-4,0),或C(4,0).

综上所述，点C的坐标是：(0,3),(0,-3),(-4,0),(4,0).

故答案是：(0,3).(0,-3),(4,0),(-4,0).

16.(2020春•庆云县期中)在平面直角坐标系中，点A(-1,0)与点2(0,2)的距离是—花

【分析】本题可根据两点之间的距离公式得出方程：0)2+(2-0)2,化简即可得出答案.

【解析】点A(-1,0)与点8(0,2)的距离是：，(-1-0)2+(2-0)2=遍.

故答案填：V5.

17.(2019春•新余期末)对于平面直角坐标系xOy中的点P(mb),若点产的坐标为(a+kb,ka+b)(其

中人为常数，且4W0),则称点P'为点P的’”属派生点”，例如：P(1,4)的“2属派生点”为P(1+2

X4,2X1+4),即P'(9,6).若点P在x轴的正半轴上，点P的“大属派生点”为点P',且线段尸产'

的长度为线段0P长度的5倍，则k的值为±5.

【分析】设P(m,0)由题意：P'(〃?，/欣)，根据PP'=5OP,构建方程即可解决问题.

【解析】设P(w>0)(m>0),由题意：P'("3，成)，

,:PP'=5OP,

\mk\=5tn,

V/z?>0,

・・・因=5,

：.k=±5.

故答案为：±5.

18.(2019•通州区一模)平面直角坐标系xOy中，若尸(m,/n2+4/n+3),Q(2〃，4n-8)是两个动点(出

n为实数)，则PQ长度的最小值为2遥.

【分析】。点在直线y=2x-8上，当P到直线的距离最小即为所求；

【解析】Q点在直线/：y=2x-8±,P在抛物线y=/+4x+3上

二直线与x,y标轴交点分别为3(4,0),D(0,8),

设与直线y=2x-8平行的直线为y^2x+b,

当直线为y=2x+b与抛物线y=/+4x+3有一个交点时，

即2%+/?=f+4》+3,

.*.AZr+S-6=0,

.*.△=-8+48=0,

・,•力=2,

此时交点坐标为A(-1,0),

过A作AC1.直线/,

"：AB=5,DB=4底

.•.sin/A8C=*=等,

：.AC=2yf5；

故答案为2遍；

三、解答题(本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(2020秋•兴庆区校级期中)先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点

Pl(XI,y\),Pl(X2,”)，其两点间的距离PlP2=刀2)2+(yi-丫2)2,同时，当两点所在的直线

在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|X2-X1I或|)，2-y\\.

(1)己知A(1,3),B(-3,-5),试求A,B两点间的距离；

(2)已知线段MN〃)，轴，MN=4,若点M的坐标为(2,-I),试求点N的坐标；

(3)已知一个三角形各顶点坐标为。(0,6),£(-3,2),F(3,2),你能判定此三角形的形状吗？

说明理由.

【分析】(1)直接利用两点间的距离公式计算；

(2)利用轴得到M、N的横坐标相同，设N(2,玲,利用两点间的距离为4得到|什1|=4,然后

求出r即可；

(3)利用两点间的距离公式计算出OE、DF、EF,然后根据三角形的分类进行判断.

【解析】(1)A,B两点间的距离=J(1+3尸+(3+5产=4A/5；

(2)•.•线段MN〃y轴，

；.M、N的横坐标相同，

设N(2,Z).

/.|r+l|=4,解得f=3或-5,

.♦.N点坐标为(2,3)或(2,-5)；

(3)△■DEF为等腰三角形.

理由如下：

,：D(0,6),E(-3,2),F(3,2),

：.DE=V(0+3)2+(6-2)2=5,DF=J(0—3。+(6-2尸=5,EF=7(-3-3)2+(2-2)2=6,

:.DE=DF,

.•.△DE尸为等腰三角形.

20.(2020秋♦永安市期中)阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为Pl(xi,yi),P2

(X2,)2),则该两点间距离公式为PiP2=收-&)2+Ji-丫2)2,同时，当两点在同一坐标轴上或所

在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可化简成㈤-x2|和|yi

(1)若已知两点A(3,3),8(-2,-I),试求A,B两点间的距离；

(2)已知点M,N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7,点N的纵坐标为-2,试求M,N两点

间的距离；

Ic5119

(3)已知一个三角形各顶点的坐标为A(-1,-),B(-1,7),C你能判定这三点是否共

23636

线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积.

【分析】(1)根据两点间的距离公式进行计算即可；

(2)根据点M,N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7,点N的纵坐标为-2,可以利用垂直于

x轴的距离公式进行计算即可；

(3)先求出A、B、C三点中，任意两点之间的距离，再判断三角形的形状.

【解析】(1)；点A(3,3),B(-2,-1),

：.AB=V(-2-3)2+(-l-3)2=V41,

即A,8两点间的距离是〃1；

(2)•.•点M,N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7,点N的纵坐标为-2,

-2-7|=9,

即M,N两点间的距离是9：

(3)这三点不共线，

该三角形为直角三角形.

1c5119

理由：•..一个三角形各顶点的坐标为A(-1,-),B(一1-),C(-,—),

23636

AB=J(-1+|)2+(J-1)2=等,AC=J(-l-1)2+(|-^)2=警，BC=

,CV5r4V5rV85,,

'：AB2+AC2^(Z一)x2+(——)2=(——)2=Bd,

333

.•.△ABC是直角三角形，

.e1,„1V547510

•*S&ABC=2,48，AC=2x3x~~=9•

21.(2020•张家界模拟)先阅读下列一段文字，在回答后面的问题.

已知在平面内两点Pl(XI,)>1)、Pl(X2,”)，其两点间的距离公式。止2=>/。2—Xi)?+(丫2-'1)2,同

时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为应-刈或

I*-yil-

(1)已知A(2,4)、8(-3,-8),试求A、8两点间的距离；

(2)已知A、B在平行于)，轴的直线上，点A的纵坐标为5,点3的纵坐标为-1,试求A、B两点间的

距离.

(3)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6)、8(-3,2)、C(3,2),你能判定此三角形的形状吗？

说明理由.

【分析】(1)根据两点间的距离公式匕22=-匕)2+=2-来求A、8两点间的距离；

(2)根据两点间的距离公式|"-刘来求A、8两点间的距离.

(3)先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的

长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状.

【解析】(1)VA(2,4),5(-3,-8),

：.\AB\=J(一3-2尸+(—8—4,=]3,即A、B两点间的距离是13；

(2)•••/!、8在平行于y轴的直线上，点4的纵坐标为5,点8的纵坐标为-1,

,,.|AB|=|-1-5|=6,即A、B两点间的距离是6；

(3)△ABC是等腰三角形，理由如下：

•..一个三角形各顶点坐标为A(0,6)、8(-3,2)、C(3,2),

；.A8=5,BC=6,AC=5,

：.AB=AC,

...△ABC是等腰三角形.

22.(2019春•丰台区期末)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A,B,我们把A,8两点横坐标差的

绝对值与它们纵坐标差的绝对值的和叫做A,8两点间的折线距离，记作d(A,B).

即：如果A(xi,yi),B(X21)2).那么d(A,B)=|xi-X2|+|yi-

(1)已知A(2,1),B(-3,0),求出d(A,B)的值；

(2)己知C(2,0),D(0,a),且d(C,D)<3,求。的取值范围；

(3)已知M(0,2),N(0,-3),动点尸(x,y),若P,M两点间的折线距离与P,N两点间的折线

距离的差的绝对值是3,直接写出y的值并画出所有符合条件的点P组成的图形.

【分析】(1)根据题意给出的公式即可求出答案.

(2)根据题意给出的公式列出不等式后即可求出a的取值范围.

(3)根据题意给出的等量关系列出等式即可求出点P的坐标.

【解析】(1)由题意可知：d(A,B)—\2-(-3)|+|1-0|=5+l=6；

(2)：d(A,C)=2+|a|W3,

-1WaW1；

(3)dCP,M)=|x|+|y-2|,d(P,N)=|x|+|y+3|,

由题意可知:||y-2|-|)H-3||=3,

当y<-3时，

等式的左边=5,此时不满足题意；

当-3<y<2H寸，

等式的左边=|2y+l|,

即|2y+l|=3,

解得：y=l或丫=-2,

当y>2时，

等式的左边=5,不符合题意，

综上所述，点尸(x,1)或(x,-2),

如图所示.

23.(2019春•十堰期末)先阅读下列一段文字，再解答问题：

已知在平面内有两点Pl(XI,y\),Pl(X2,y2)＞其两点间的距离公式为P/2=J(X2—%1)2+(丁2—%)2；

同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|X2-

刈或I*-yi|.

(1)己知点A(2,4),8(-2,1),则-8=5；

(2)已知点C,力在平行于)，轴的直线上，点C的纵坐标为4,点。的纵