与角平分线有关的辅助线

关于与角平分线有关的辅助线第1页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三对应边相等、对应角相等全等形角平分线SSS、SAS、ASA、AAS；HL全等三角形性质定义应用判定全等三角形知识体系第2页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三

既然全等三角形的对应边和对应角都相等。那么今后在证明线段（边）和角相等的问题中，全等就将被作为一个基本方法来使用（但请注意不是唯一的方法），

学以致用第3页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三生活中的对称轴对称等腰三角形

等边三角形轴对称图形用坐标表示轴对称利用轴对称变换作图：作轴对称图形轴对称知识体系线段的垂直平分线第4页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三如图，△ABC≌△DEF，（1）若∠BAC=70°，∠F=80°，则∠B=

（2）若AB=6，DF=4,则EF的长度可取下列各数中的哪个值？（）（A）1（B）2（C）9（D）11

（3）若△ABC的面积为24，则△DEF的面积为（４）若AG是△ABC的一条中线，DH是△DEF的一条中线，且AG=5，则DH=30°C2470°80°5BACDEF64GH第5页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例：已知，AC、BD相交于O，BO=DO，CO=AO，过O任作一直线EF分别交BC、AD于E、F，求证：OE=OF。OFEDCBA

BO=DO，∠BOC=∠DOA（对顶角相等）CO=AO∴△BOC≌△DOA（SAS）∴∠B=∠D

（全等三角形的对应角相等）

OB=OD，∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF（ASA）∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）证明：在△BOE与△DOF中∠B=∠D在△BOC与△DOA中例题讲解须两次全等。第6页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三

如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC,BD=CD,求证：∠B=∠C

证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E﹑F∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°在Ｒｔ△BDE和Ｒｔ△CDF中

BD＝CD

DE＝DF∴Ｒｔ△BDE≌Ｒｔ△CDF∴∠B=∠C

FE例题讲解第7页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC中点，DE平分∠ADC，求证（1）AE平分∠DAB，（2）AB＋CD＝AD，（3）AE⊥DE。证明：作EF⊥AD垂足为F

∵DE平分∠ADCEF⊥AD，∠C＝90°∴EF＝EC

∵E是BC中点∴

EC＝EB

∴EF＝EB

∵EF⊥AD，∠B＝90°∴AE平分∠

DAB活学活用第8页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例4.如图，AB∥CD,，AE平分∠DAB，DE平分∠ADC。求证：AB＋CD＝AD,E是BC中点.

证明：在DA上截取DF＝DC，连结EF第9页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三辅助线做法一：向角的两边作垂线段（利用角平分线性质），自角平分线一点，，是一种常见的。概括归纳第10页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三归纳：当题目的条件出现于某个角的平分线时，可在这个角的两边截取相等的线段，利用角的轴对称性构造全等三角形，也是一种常用的辅助线。第11页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例3.如图所示，在四边形ABCD中，AB﹥AD，AC平分∠BAD；∠B﹑∠ADC互补求证：CD＝BC证明：作CE⊥AD，交AD延长线于E作CF⊥AB，垂足为F∵AC平分∠BAC，CE⊥AD，CF⊥AB∴CE＝CF，∠CED＝∠CFB＝90°∵∠B与∠ADC互补∴∠B＋∠ADC＝180°∵∠CDE＋∠ADC＝180°∴∠CDE＝∠B在△CED和△CFB中∠CED＝∠CFB∠CDE＝∠BCE＝CF∴△CED≌△CFB∴CD＝BC第12页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例5.如图所示，在四边形ABCD中AB﹥AD，AC平分∠BAD，∠B与∠D互补。求证：CD＝BC。证明：在AB上截取AE＝AD，连结CE∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠BAC在△ADC和△AEC中AD＝AE∠DAC＝∠BACAC＝AC∴△ADC≌△AEC∴CD＝CE，∠D＝∠AEC∵∠B与∠D互补∴∠B＋∠D＝180°∵∠AEC＋∠CEB＝180°∴∠CEB＝∠B∴CE＝CB∴CD＝BC第13页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例6.如图，点P是△ABC的角平分线AD上任一点，且

AB﹥AC。求证：PB－PC﹤AB－AC第14页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例7.如图所示，AB∥CD，E是BC中点，DE平分∠ADC

求证：AE平分∠BAD。第15页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三BCADFE例8：如图，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交BD的延长线为E。求证：BD＝2CE第16页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例9：已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。求证：∠2=∠1+∠BABCED213第17页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三归纳:利用角的轴对称性作角平分线的垂线，构造一对全等三角形（等腰三角形），又是与角平分线有关的一种添加辅助线的方法。第18页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第19页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三小结1.全等三角形和轴对称的基础知识

2.与角平分线有关的辅助线（常见有三种）。

:

（1）基于角平分线的性质作辅助线。（2）基于以角平分线为对称轴而作的辅助线。（3）基于等腰三角形的“三线合一”性质而作的辅线。第20页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三

三.用坐标表示轴对称小结：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.(x,－y)(－x,y)第21页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三4、轴对称的性质：

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。第22页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三1、什么叫线段垂直平分线？

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2、线段垂直平分线有什么性质？线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等（纯粹性）。你能画图说明吗？线段的垂