三角恒等变换之两角和与差的正弦余弦和正切公式集体备课

必修4第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课程目标本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.了解用综合几何的方法，推导出锐角情况下的两角和或差的正余弦为切入点，而向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，可以留待学习向量之后，进一步体会向量方法的优越性；也可考虑通过一些特殊三角函数值进行猜想或验证，借助计算器等。理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能让部分学生自己完成推导过程。运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.培养学生的观察力，尤其是已知角与未知角之间的数量关系本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；暗线是发展推理和运算的能力，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；难度要求：“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.二、高考要求考试内容A了解B理解C掌握三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式√二倍角的正弦、余弦、正切公式√简单的恒等变换√三、课时安排本章教参建议8课时3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式约4课时（3个学案）两角差的余弦公式1课时两角和的正弦公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式1课时二倍角的正弦、余弦、正切公式2课时（1课时新课+1课时习题课）3.2简单的三角恒等变化约3课时小结约1课时四、教学重难点3.1.1两角差的余弦公式教学目标1.了解几何方法证明两角差的余弦公式，部分班级可考虑让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.教学重点利用两角差公式进行基本的计算和化简求值。教学难点两角差余弦公式的证明（探索、发现）可考虑信息技术.参考资料：（一）利用几何法推导是锐角，且情况下的两角差的余弦公式．两角差的余弦公式证明构造出右图其中，（二）两角和正弦公式证明方法1：如图所示,为的边上的高,为边上的高。设,,,则。从而有,,,。因此,。注意到,从而有,整理可得。方法二：如图所示，作于D,过D作于F,于G。设,,则,设,从而,,,。所以。注意到,则有。学案：1.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.2.不查表求sin75°,sin15°的值.3.(同角三角函数基本关系式)已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.4.(分类讨论)已知sinα=,α∈(0,π),cosβ=,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.5.（灵活应用）计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).6（较难，已知角与未知角的转化）.已知cosα=,cos(α+β)=,且α、β∈(0,),求cosβ的值.7.已知sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值.8.已知锐角α、β满足cosα=,tan(α-β)=,求cosβ.3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学目标：1.在学习两角差的余弦公式的基础上，推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，提高运算能力及逻辑推理能力；2.能利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简、恒等证明。教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.学案1.已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.2不查表求cos75°,tan105°的值.3设α∈(0,),若sinα=,则2sin(α+)等于()A.B.C.D.44.sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π,).求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).5.△ABC中，sinA=(0°<A<45°),cosB=(45°<B<90°)，求sinC与cosC的值.6.在△ABC中，已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB≥1,则△ABC是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形7若sin(+α)=,cos(-β)=,且0<α<<β<,求cos(α+β)的值.8.已知α,β∈(,π),sin(α+β)=,sin(β-)=,求cos(α+)的值.9化简10.化简3.1.3二倍角公式教学目标：1推导二倍角公式，尤其是二倍角的正余弦公式的多种变形；2能理解半角公式，即二倍角公式的另一种表达形式；3.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.教学重点：二倍角公式推导及简单应用教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.学案1若sinα=,α∈(,π),求sin2α，cos2α的值.2.已知sin2α=,<α<,求sin4α,cos4α,tan4α的值.3不查表,求值:sin15°+cos15°.4.(2007年高考海南卷,9)若,则cosα+sinα的值为……()A.B.C.D.5.(2007年高考重庆卷,6)下列各式中,值为的是()A.2sin15°-cos15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1