2023人教A版高中数学诱导公式讲义

第五章三角函数

5.3诱导公式

例1利用公式求下列三角函数值：

8元

(1)cos225°：(2)sin—；

3

(3)sin1号■卜(4)tan(-2040°).

解：(1)cos225°=cos(180°+45°)

=-cos45°=-^-；

(4)tan(-2040°)=-tan2040°

=-tan(6x3600-120°)

=tan120。=tan(180。-60°)

=-tan60°=->/3.

cos(180。+a)sin(a+360。)

例2化简一--------e------------

tan(一二一180°)cos(-180°+a)

解：tan(-6Z-180°)=tan[-(180°+^)]

=-tan(180。+a)

=_tana,

cos(-180°+a)=cos[-(1800-a)]

=cos(180°-a)

=-C0S(7,

-cosasina

所以原式==-cosa.

(一tana)(—cosa)

例3证明:

⑴sinJia；

型-a)=sin兀+信一小

证明：(1)sin

27(2)

-sin--a=-cosa；

(2

/、

⑵cJOcos71

兀+—+a

27(2)

兀

=-cos一+a=sina.

2

1In

sin(2兀-a)cos(7i+a)cos(]+aIcos——a

2

例4化简

(9兀

cos(7i-a)sin(3兀-a)sin(一兀一a)sin1万+a

(-sina)(-cosa)(-sina)cos5TC+I

解：原式=

Ssa)sin(…)*(…)]sin4崂+a

cosa

例5已知sin(53°—a)=(,且-270°<a<-90°,求sin(37°+a)的值.

分析：注意到(53°—a)+(37°+a)=90。，如果设尸=53°-a,/=37°+a,那么

Z?+r=90°,由此可利用诱导公式和已知条件解决问题.

解：设£=53°-a,/=37°+a,那么/?+y=90°,从而/=90°-，.于

sin/=sin(90°-/?)=cos/?.

因为—270。vav—90。，

所以143。<夕<323。.

由sin4=(〉0,得143。</7<180。

所以cos尸=—Jl—sit?/?

2瓜

所以sin(37。+a)=sin/=

练习

1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:

13

(l)COS—7T=;(2)sin(l+4)=

(4)tan(-70°6,)=;(5)cos-y=;(6)tan1000°21'=

4TT

【答案】①.—cos—TV②.—sin1③.—sin—④.—tan706r

rr

⑤.-cosy⑥.-tan79039

【解析】

【分析】

利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.

―门、八、13〃/4〃、4〃

【详解】(1)cos—^―=cos(^,+—)=-cos—；

(2)sinQr+l)=-sinl；

/八、•zn、.

(3)sm(——)=-sm—；

55

(4)tan(-706)=-tan706；

/八6万/乃、兀

(5)cos——=cos(乃)=-cos—；

777

(6)tanl00021'=tan(1080-7939)=-tan7939；

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各

个象限的符号，属于基础题.

2.利用公式求下列三角函数值：

(1)cos(T20。)；

7

(2)sin(--^-)；

(3)tan(-11400)；

77

(4)cos(一-—7U)

(5)tan315°；

(6)sin(一?乃).

【答案】(1)3

⑵I

(3)-y/3

⑷一更

2

(5)-1

(6)一也

2

【解析】

【分析】（I）用余弦的诱导公式化简后计算；

（2）用正弦的诱导公式化简后计算；

（3）用正切的诱导公式化简后计算；

（4）用余弦的诱导公式化简后计算；

（5）用正切的诱导公式化简后计算；

（6）用正弦的诱导公式化简后计算；

【小问1详解】

cos（T20。）=cos420°=cos60°=1；

【小问2详解】

./7、.7乃.7i1

sin（——7T）=-sin——二sin—二一；

6662

【小问3详解】

tan（-1140°）=-tan1140°=-tan（360°x3+60°）=-tan60°=；

【小问4详解】

,77775万、5nn73

cost---it)=cos——万=cos(12;rd---)=cos——=-cos—=----；

666662

【小问5详解】

tan315°=tan(360°-45°)=-tan45°=-1；

【小问6详解】

.,11、.(11%,).5万.7iV2

sin(---万)=sm|-----P4万=sin——=-sm—=----.

4(4)442

3.化简:

⑴sin(-a-18())cos(-«)sin(+180)；

(2)cos3(-a)sin(2^-+a)tan3(-a-万).

【答案】(I)sin2acosa(2)-sin4a

【解析】

【分析】

利用诱导公式对所求式子直接进行化简，即可得到答案.

【详解】(I)原式=—sin(180°+a)cosa•sine=sin%-cos«；

(2)原式=cos3a-sin«•(-tan，(4+a))=cos3a-sintz•(—tan%)

(・、

3.sin3a.

=cos£z-sin«--------=-sm4a.

、cos'a)

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各

个象限的符号，属于基础题.

4.填表：

4万5/r万8%\TT

a5471

-TTT丁

sina

cosa

tana

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.

【详解】

74乃

a4»545»81U

-T-T一彳

亚_V2

sinaV2

2~TTV

_V2_V2

cosa也

~2F2V~2F

tana-111

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各

个象限的符号，属于基础题.

练习

5.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具，第(3)(4)(6)题精确到0.0001):

(1)cos■万;(2)sin1—?万卜3)cos(-1182°13')；

26%

(4)sin670c39'；(5)tan；(6)tan580021.

【答案】(1)-等；(2)日;(3)-0.2116;(4)-0.7587;(5)石；(6)0.8496.

【解析】

【分析】

利用诱导公式将任意角转化为锐角的三角函数，非特殊角再借助计算器求值.

【详解】(1)cos-^^=cos(l)=cos(^--)=—cos—=--^-；

66662

(2)sin(-=-sin(8^---)=sin—=—；

4442

(3)

cos(118213')=cos(3x360+10213)=cos(90+1213)=-cosl213=-0.2116；

(4)sin67039'=sin(2x360-4921')=-sin4921=-0.7587；

ZOZT2.71TCr~

(5)tan(—--)=-tan(8^-+—)=tany=V3；

(6)tan58021'=tan(3xl80+4021)=tan4021'=0.8496.

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不变,

符号看象限这一口诀的应用.

6.证明:(l)cos1|■万一a)=sinc；

7

(2)cos一7+a=sina；

2

9

(3)sin—7t-a=cosa；

2

(4)sin11……a.

2J

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析

【解析】

【分析】

对角度进行变形，利用前面学过的诱导公式进行证明推导.

71

【详解】(1)左边=cos~~a=sina=右边;

71

⑵左边=cos[_,+a=cos--asina=右边;

(3)左边=sin15一a=cosa=右边;

7T).(乃

(4)左边=sin=-cosa=右边.

2J12

【点睛】本题考查诱导公式的证明，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注

意利用诱导公式2-4进行证明诱导公式5和6.

a，

7.化简:(1)—2--4sin(6z-2^)cos(2^--a)；

tan(360°+a)

2

(2)COS(-^)-

cos—+a

12

cos(a-3〃)cos

(3)

sin2

【答案】(I)sin2a(2)cos2a+-^-(3)tana

cosa

【解析】

【分析】

利用诱导公式直接进行化简，即可得到答案.

【详解】(1)原式=史丝•,sincrcosa=sin2(z；

cosa

小、m-u2tancz21

(2)原式=cos~a-------=cos-aH------.

-sinacosa

_cos(a—7)(一sina)cos(7一a)(-sina)cosasina

【点睛】本题考查诱导公式的直接应用，考查运算求解能力，求解时注意奇变偶不

变，符号看象限的应用.

习题5.3

复习巩固

8.用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具，第(2)(3)(4)(5)题精确到

0.0001)：

(1)cos(—;

4

(2)sin(-1574°)；

(3)sin(—2160°52')；

(4)cos(-1751036,)；

(5)cosl61508'；

(6)sin(---7T).

【答案】(1)也

2

(2)-0.7193

(3)-0.0151

(4)0.6639

(5)-0.9964

(6)一立

2

【解析】

【分析】(1)由余弦的诱导公式化简后求值；

(2)由正弦的诱导公式化简后求值；

(3)由正弦的诱导公式化简后求值；

(4)由余弦的诱导公式化简后求值；

(5)由余弦的诱导公式化简后求值；

(6)由正弦的诱导公式化简后求值；

【小问1详解】

,17万、17兀..兀、7tV2

cos(----)=cos---=cos(4万+—)=cos—=——；

44442

【小问2详解】

sin(-l574°)=一sin1574°=-sin(4x360°+134°)=—sin134。=一sin460®-0.7193；

【小问3详解】

sin(-2160°52')=sin(-6x360°-52')=-sin52'，-0.0151

【小问4详解】

cos(-1751°36')=cos(-18000+48。24')=cos48°24'»0.6639

【小问5详解】

cos1615°8,=cos(l440°+175°8,)=cos175°8Z=-cos4°52f*-0.9964

【小问6详解】

..26.26.,2兀、.2万.nv3

sin(--__7i)=-sin—■%=-sin(8o万H-----)=-sin-一=-sin—=--一•.

333332

9.求证：

(1)sin(360-«)=—sincr；

(2)cos(360=cosa；

(3)tan(360—=-tantz.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【解析】

【分析】

运用360°+。与。与a的诱导公式进行证明即可.

【详解】证明：(1)左边=sin[360°+(—£)]=sin(—a)=—sina=右边；

(2)左边=cos[360°+(-cz)]=cos(-«)=cos«

(3)左边=tan[360°+(-a)]=tan(-a)=一tane=右边.

【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于基础题.

10.化简：

(1)l+sin(a-2%)sin(»+a)-2cos2(-a)；

(2)sin(-1071)sin99°+sin(-171)sin(-261)

【答案】(1)-cos2a；(2)0

【解析】

【分析】

运用诱导公式、同角的三角函数关系式进行求解即可.

【详解】解：(1)原式

=1+[~sin(2万-a)]•sin(〃+a)—2cos2a=1—sina•sina—2cos2a=-cos2a.

(2)原式=(-sin1071)sin99"+(-sinl71)(-sin26「)

=-[sin(2x360°+35f)]-sin(90°+9°)+[-sin(180°-9°)]-[-sin(270°-9°)]

=-sin351-cos9-sin9cos9°=sin9-cos9-sin90cos9=0-

【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了同角三角函数关系式的应用，考查了

数学运算能力.

34

11.在单位圆中，已知角。的终边与单位圆的交点为产分别求角

555

77

）+a,-a,二的正弦、余弦函数值.

2

43

【答案】sin（7+。）=一g,cos（乃+a）=g；

.（71\3）4

U）512）5

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义，结合诱导公式进行求解即可.

【详解】解：•••角a的终边与单位圆的交点为P（一

.434

sina=—,cosa=——,tana=——.

553

..43

/.sin(7+a)=-sina=——,cos(^+a)=—cosez=—,

.43

sin(-a)=-sina=-g,cos(-a)=cosa=--,

.(7t3(7).4

sin一+a=cosa-一一,cos一+a=-sina=——.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了诱导公式的应用，考查了数学运算能

综合运用

3

5

【答案】B

【解析】

万

【分析】根据sin(7茎+£)=§3,利用三角函数的诱导公式求解.

7TT7171

【详因为sin(-—Fa)=sin87r+(—~+or)=sin(——+(2),

=sin-(--a)=-sin(y-a)=-cosa=^,

3

所以cosa=一《，

故选：B

13.已知sin(万+。)=一，，计算：

2

(1)sin(5乃一a)；

(2)sin(—+iz)；

3万

(3)COS(«-y)

71

(4)tan(--a).

【答案】(1)y；(2)±；(3)—5；(4)±5/3.

【解析】

【分析】直接利用三角函数的诱导公式求解.

【详解】因为sin("+。)=一sina=-，，

2

j也

所以sina=不，coscr=±—

22

(1)sin(5;r-a)=sin(万一a)=sina=g；

(2)sin(工+a)=cosa=±Vl-sin2a-±^­；

1

/c、z3冗、.71.

(3)cos(a-----)=cos(—+a)x=—sma2-

22

sin(--cr)

/、/乃、cosa

(4)tan(­=±6.

cos(^-«)Sina

14.在/IBC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.

(I)cos(A+=cosC•

(2)sin(A+5)=sinC；

,A+B.C

(3)sin-=---s-i-n-—；

22

A+3C

(4)cos-------=cos—

22

【答案】（1）不成立，理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）不成立，理由见

解析；（4）不成立，理由见解析

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理，结合诱导公式逐一判断即可.

【详解】解：(1)不成立，cos(A+5)=cos(^--C)=-cosC,

/.cos(A+B)=cosC不成立;

(2)成立，sin(A+B)=sin(乃—C)=sinC,sin(A+8)=sinC成立;

.A+8.71CC.A+B.C、

(3)不成r乂「sin---=sin=cos5,・•・sin2=siny不成乂；

(22

A^B71C,CA+BC

(4)不成立一cos-------=cos=sin—,/.cos-=---C-O-S-5不