第18讲三角形与全等

第18讲三角形与全等三角形了解三角形(内角、外角、中线、高、角平分线)的概念，理解三角形的稳定性，掌握三角形的三边关系，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类．理解三角形的内角和定理、推论．理解三角形的角平分线、中线、高的概念、画法及性质．理解全等三角形的概念，掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明．中考试题中多以选择题、填空题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．三角形的有关知识及其简单的运用、三角形三边关系、三角形内外角性质，一般直接考查．以探究开放题的形式呈现问题，直接考查有关三角形全等的性质与判定等，以三角形为载体，融合于其他图形中，来命制计算题、推理论证题．全等三角形常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，渗透在综合题中，考查学生综合运用知识的能力．主要体现数形结合、化归的思想．1．(2016·湖州)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C

)A．8

B．6

C．4

D．2【解析】过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴PA＝PE，PD＝PE，∴PE＝PA＝PD，∵PA＋PD＝AD＝8，∴PA＝PD＝4，∴PE＝4.2．(2015·长沙)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(

A

)3．(2016·温州)如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.求证：△ADE≌△FCE.若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．解：(1)∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，∵E

是▱ABCD

的边CD

的中点，∴DE＝CE，在∠DAE＝∠F△ADE

和△FCE中，∵∠D＝∠ECF

，∴△ADE

≌△FCE(AAS)DE＝CE(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°，在▱ABCD

中，AD＝BC＝5，∴DE＝

AD2－AE2＝

52－32＝4，∴CD＝2DE＝8三角形的基本概念及有关性质b－2＝0，1．(2017·预测)若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋则c

的值可以为(A

)A．5

B．6

C．7

D．8【解析】∵|a－4|＋

b－2＝0，∴a－4＝0，a＝4；b－2＝0，b＝2；则

4－2＜c＜4＋2，2＜c＜6，5

符合条件；故选A.2．(原创题)如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，求∠A的度数．解析：第1题先根据非负数的性质，求出a，b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值；第2题根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，∵∠ACD＝∠B＋∠A，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－35°＝85°三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段

所组成的图形叫做三角形．三角形分为

、

、

．三角形任意两边的和

第三边．三角形的内角和等于

，三角形的一个外角等于

．答案：1.首尾顺次连结

2.钝角三角形；直角三角形；锐角三角形

3.大于

4.180°；与它不相邻的两个内角之和3．(2017·预测)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是(

D

)A．2cm，3

cm，5

cm B．7

cm，4

cm，2

cmC．3

cm，4

cm，8cm D．3

cm，3

cm，4

cm4．如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为(C

)A．24°

B．30°

C．32°D．36°【解析】设l与BC交点为Q，∴∠QBP＝∠ABP.△QPB≌△QPC,∴∠PBQ＝∠PCQ.在△ABC中，180°＝3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝3∠ABP＋60°＋24°，

∴∠ABP＝32°.判断三条线段能否组成一个三角形时，可选择较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形，否则就不能组成三角形．已知两边的长a，b，且a＞b，则第三边的取值范围是a－b＜x＜a＋b.全等三角形的判定与性质5．(2017·预测)如图，在△ABC

中，AD

平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC

于点F.求证：AB＝AC；若

AD＝2

3，∠DAC＝30°，求

AC

的长．【解析】(1)先证明△DEB≌△DFC

得∠B＝∠C

由此即可证明．(2)先证明AD⊥BC，再在Rt△ADC中，利用30°角性质设CD＝a，AC＝2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△DEB

和Rt△DFC

中，∵解：(1)∵AD

平分∠BAC，DE⊥AB

于点E，DF⊥AC

于点F，∴DE＝BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在

Rt△ADC

中，∠ADC＝90°，AD＝2

3，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设CD＝a，则AC＝2a，∵AC2＝AD2＋CD2，∴4a2＝a2＋(2

3)2，∵a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝4能够

的两个图形叫做全等图形，全等三角形

相等，

相等．三角形全等的基本事实：

对应相等的两个三角形全等(简写成“

”或“SSS”)；两边和它们的

对应相等的两个三角形全等(

简写成“

”或“SAS”)；两个角及其

对应相等的两个三角形全等(

简写成“

”或“ASA”)．三角形全等的判定：两个角和其中

对应相等的两个三角形全等(简写成“

”或“AAS”)．答案：1.完全重合；对应边；对应角

2.(1)三条边；边边边；(2)夹角；边角边；(3)夹边；角边角；一个角的对边；角角边6．(2017·预测)如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于O.(1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．解：(1)∵四边形

ABCD

是平行四边形，

∴DC∥AB，∴∠OBE

＝∠ODF.∠OBE＝∠ODF在△OBE

与△ODF

中，∵∠BOE＝∠DOF，∴△OBE≌△ODF(AAS)BE＝DF∴BO＝DO

(2)∵EF⊥AB，AB

∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，

∴AE＝GE，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°，∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，∴OF＝FG＝

1由(1)可知，OE＝

OF＝1,

∴GE＝OE＋OF＋FG＝3，∴AE＝3要判断两个三角形全等，需要结合已知条件来分析图形，灵活选择证明方法．常用思路：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边．若已知两角对应相等，则必须再找一组对应边相等．若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．真假命题的判断7．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是

假

命题．(填入“真”或“假”)解析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，如果能就是真命题．1．一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的

．2

．

(1)

对某一件事情做出正确或不正确的

的句子叫做

；命题的结构是

(已知条件)与

(由已知条件推出的事项)；正确的命题称为

，错误的命题称为

．互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的

，而第一个命题的结论是第二个命题的

，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．答案：1.定义

2.(1)判断；命题；(2)题设；结论；(3)真命题；假命题；(4)结论；题设8．下列命题中，假命题是(

D

)A．平行四边形是中心对称图形B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C．对于简单的随机抽样，可以用样本的方差去估计总体的方差

D．若x2＝y2，则x＝y改写命题的条件和结论时注意把省略的词或句子添加上去，叙述通顺和简练．如果要证明或判断一个命题是假命题，那么要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了，即举“反例”．三角形有关的证明9．(2017·预测)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝

90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B，C分别在边AD，AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.求证：BD⊥CF.【解析】(1)先用“SAS”证明△CAF≌△BAD，再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；(2)利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°，即可得结论．解：(1)BD＝CF成立．证明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ；AF＝AD，△ABD≌△ACF，∴BD＝CF

(2)由(1)得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，在△HFN与△ADN中，∵∠HFN＝∠ADN，∠HNF＝∠AND，∴∠NHF＝∠NAD＝90°，∴HD⊥HF，即BD⊥CF证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过

，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫做证明．证明的一般步骤：

(1)根据题意，

；(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出

，在“求证”中写出

；(3)在“证明”中写出

．反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的，这