高中数学平面向量的基本概念及线性运算

高中数学平面向量的基本概念及线性运算第一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第一节平面向量的基本概念及线性运算第五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六1．向量的有关概念(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

______(或模)．(2)零向量：__________的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于__________的向量．(4)平行向量：方向____________的非零向量．平行向量又叫_____________．规定：0与任一向量_______．(5)相等向量：长度_______且方向_______的向量．(6)相反向量：长度_______且方向_______的向量．大小方向长度长度为01个单位相同或相反共线向量平行相等相同相等相反第六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a＋b＝_______；(a＋b)＋c＝__________．(2)减法与_______互为逆运算；服从三角形法则．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：①长度：|λa|＝________；②方向：当_______时，λa与a的方向相同；当_________时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝_____．b＋aa＋(b＋c)加法|λ||a|λ>0λ＜00第七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________．4．平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是_________________________________．(λμ)aλa＋μaλa＋λb有且只有一个实数λ，使得b＝λa第八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六2．a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件吗？【提示】

当a≠0，b＝0时，a∥bDa＝λb，但a＝λba∥b，∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分条件，不是充要条件．第十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【答案】

D第十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六2．下列给出的命题正确的是(

)A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量有且仅有一个C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量D．相等的向量必是共线向量第十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【解析】

零向量方向任意，而不是没有方向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是共线向量，故D正确．【答案】

D第十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【答案】

B第十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【解析】

由题意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，【答案】

D第十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【答案】

D第十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【思路点拨】

以概念为判断依据，或通过举反例来说明其不正确．【答案】

D

第十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六1．(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．“向量”和“有向线段”是两个不同的概念，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．第十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命题的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4第二十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【解析】

①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义知．③不正确．若b＝0时，b与a、c都平行，但a、c不一定平行．④不正确．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a，b同向．【答案】

C第二十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【答案】

(1)A

(2)A第二十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第二十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六第三十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六(1)(2013·南昌模拟)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(

)A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向(2)(2013·青岛模拟)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件第三十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【解析】

(1)∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb， ∴k＝λ＝－1，故选D.(2)由a＋b＝0知道a与b互为相反向量，从而a∥b，充分性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1时，a＋b≠0，∴必要性不成立．【答案】

(1)D

(2)A第三十二页，共四十七页，编辑于2023年，星期六一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．第三十三页，共四十七页，编辑于2023年，星期六1.向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；3．利用向量平行证明直线平行，必须说明这两条直线不重合．第三十四页，共四十七页，编辑于2023年，星期六从近两年高考试题来看，平面向量的概念，线性运算及向量共线是高考命题的重点，常与平面向量基本定理、平面向量的数量积交汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程中，不要忽视零向量的特殊性．第三十五页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【错解】

错解一a、b共线，必然是有且只有一个实数λ，使b＝λa，故选A.【答案】

A第三十六页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【答案】

B错解三当a与b同向时，式子中第一个等号不成立；当a与b反向时，式子中第二个等号不成立，当两个向量不共线时，两个等号都不成立，故两个等号不可能同时成立，故选C.【答案】

C第三十七页，共四十七页，编辑于2023年，星期六错因分析：(1)错解一，忽视了a≠0这一条件．(2)错解二，忽视了0与0的区别．(3)错解三，忽视了零向量的特殊性，当a＝0或b＝0时，两个等号同时成立．第三十八页，共四十七页，编辑于2023年，星期六防范措施：(1)共线向量定理中，b＝λa要求a≠0，否则λ值可能不存在．(2)向量的加减及数乘运算的结果，仍然是一个向量，而不是一个数．(3)应熟练掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件．第三十九页，共四十七页，编辑于2023年，星期六【正解】

∵向量a与b不共线，∴a，b，a＋b与a－b均不为零向量．若a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，

λ无解，故假设不成立，即a＋b与a－b不平行，故选D.【答案】

D第四十页，共四十七页，编辑于2023年，星期六1．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量(

)A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】

由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.第四十一页，共四十七页，编辑于2023年，星期六∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此时a与b反向共线，因此A错误．当a⊥b时，a与b不反向也不共线，因此B错误．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ＝－1，使b＝－a，满足a与b反向共线，故C正确．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λ