数理统计第九章方差分析

§9﹒1单因子方差分析

Ⅰ概念及例子Ⅱ数学模型Ⅲ离差分解ⅣH0的检验Ⅴij的区间估计本文档共50页；当前第1页；编辑于星期二\2点9分一、概念及例子

方差分析是对试验结果的数据作分析的一种常用的统计方法。我们在显著性假设检验中已讨论过两总体均值是否相等的检验，这种问题可称为单因子（素）二水平的试验。在本小节中我们要讨论单因子（素）多水平的试验，我们将发现它实际上是多个总体的均值是否相等的显著性检验。在正态总体和方差相等的基本假定下，这类假设检验问题称为单因子方差分析或一元方差分析。本文档共50页；当前第2页；编辑于星期二\2点9分例9.1为了比较四种不同的肥料对小麦产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分成16块。肥料品种记为A1，A2，A3，A4，每种肥料均按比例施在四块土地上，得亩产量如下：亩产品种田块A1A2A3A41981607791901296469364270339175068107924669358705883问施肥品种对小麦亩产有无显著性影响？本文档共50页；当前第3页；编辑于星期二\2点9分例9.2某灯泡厂用四种不同的配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每一批中任取若干个作寿命试验，得如下数据（单位：小时）寿命灯泡灯丝12345678甲(A1)

1600161016501680170017201800

乙(A2)

15801640164017001750丙(A3)

14601550160016201640166017401820丁(A4)

151015201530157016001680问灯丝的不同的配料方案对灯泡寿命有无显著影响？本文档共50页；当前第4页；编辑于星期二\2点9分例9.1中的肥料品种和例9.2中的不同配料的灯丝称为因子或因素，记为A，这里都只有一个因子。各种肥料或不同配料方案称为水平。一般地，因子A有r个水平A1，A2,…,Ar

.本文档共50页；当前第5页；编辑于星期二\2点9分二、数学模型

设有r个正态总体Xi，i=1,…,r,Xi~N(i,2)，作假设H0:1=2=…=r独立地从各总体中取出一个样本，列成下表：总体样本样本均值用以上r个样本检验上述假设H0是否成立。（水平为）本文档共50页；当前第6页；编辑于星期二\2点9分在应用上，上述问题等价于：因子A有r个水平A1，A2,…,Ar，设在每一种水平下试验结果都服从正态分布，现在各种水平作若干次试验获得一些观测值，问因素A的各种水平对试验结果是否有显著影响？显然，检验可用t–检验法：所有相邻两个总体的均值是否相等。共做r–1次检验，通常采用离差分解法去解决这个问题。太繁琐！本文档共50页；当前第7页；编辑于星期二\2点9分三、离差分解将每个样本看成一个组，记组内平均为总平均组内离差平方和组间离差平方和本文档共50页；当前第8页；编辑于星期二\2点9分四、H0的检验离差平方和令其中令本文档共50页；当前第9页；编辑于星期二\2点9分则令则本文档共50页；当前第10页；编辑于星期二\2点9分本文档共50页；当前第11页；编辑于星期二\2点9分故但在H0成立时，从而可见，一般地说，有本文档共50页；当前第12页；编辑于星期二\2点9分且即本文档共50页；当前第13页；编辑于星期二\2点9分设若Q=Q1+…+Qk，其中Qi为某些正态变量的平方和，这些正态变量分别是X1，…，Xn的线性组合，其自由度为fi，则诸相互独立，且为本文档共50页；当前第14页；编辑于星期二\2点9分方差分析表来源离差平方和自由度均方离差F值组间(因子A)组内(误差e)总和本文档共50页；当前第15页；编辑于星期二\2点9分五.ik的区间估计

由于故，给定信度1，可得ik的置信区间其中本文档共50页；当前第16页；编辑于星期二\2点9分例9.3在例9.2中给定=5%，问灯丝的不同的配料方案对灯泡寿命有无显著影响？

解：已知r=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=26.计算的下列方差分析表来源离差平方和自由度均方离差F值因子A44,374.6314,791.52.17误差e149,970.8226,816.8总和194,345.425本文档共50页；当前第17页；编辑于星期二\2点9分查表知故，接受H0.

即认为灯丝的不同的配料方案对灯泡寿命无显著影响。本文档共50页；当前第18页；编辑于星期二\2点9分§9﹒2双因子(二元)方差分析一、非重复试验情形Ⅰ提出问题Ⅱ一般模型Ⅲ检验法的导出二、重复试验情形Ⅰ提出问题Ⅱ检验法的导出本文档共50页；当前第19页；编辑于星期二\2点9分1、提出问题一、非重复试验双因子方差分析

氧化锌B

促进剂AB1B2B3B4A1323535.538.5A235.536.53839.5A33637.539.543例9.4在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%定强如下表所示：本文档共50页；当前第20页；编辑于星期二\2点9分此例中有A、B二个因子，因子A有三个水平A1，A2，A3；因子B有四个水平B1，B2，B3，B4，在各种组合水平AiBj上作一次试验获得一个观测值。问因子A、B分别对试验结果有无显著性影响

问不同的促进剂，不同份量的氧化锌分别对定强有无显著性影响？本文档共50页；当前第21页；编辑于星期二\2点9分2、一般模型设有A、B二个因子，A有r个水平A1，…,Ar；因子B有s个水平B1，…，Bs，在A、B的每一种组合水平AiBj上作一次试验，得结果Xij，(i=1,…,r；j=1,…,s),所有Xij都相互独立，且假定Xij~N(ij，2)，其中而作假设本文档共50页；当前第22页；编辑于星期二\2点9分

如果H01成立，则ij与i无关，这表明因子A对试验结果无显著影响；同理，如果H02成立，则ij与j无关，这表明因子B对试验结果无显著影响。另外，在式(9.7)中，i称为因子A在水平Ai的效应，它表示水平Ai在总体平均数上引起的偏差；同理，j称为因子B在水平Bj的效应，它表示水平Bj在总体平均数上引起的偏差.本文档共50页；当前第23页；编辑于星期二\2点9分3、检验法的导出导出检验H01与H02的方法与一元方差分析类似，可采用离差分解法。令本文档共50页；当前第24页；编辑于星期二\2点9分则总离差本文档共50页；当前第25页；编辑于星期二\2点9分记因子A引起的离差为记因子B引起的离差为误差为本文档共50页；当前第26页；编辑于星期二\2点9分则（离差分解为）从直观上看，SA是由因子A的效应和2引起的随机波动;SB是由因子B的效应和2引起的随机波动；Se则是由2引起的随机误差。故可用比较SA与Se的值来检验H01是否成立；而用比较SB与Se的值来检验H02是否成立。这个所谓的“值”，当然指得是数学期望。本文档共50页；当前第27页；编辑于星期二\2点9分令其中则有本文档共50页；当前第28页；编辑于星期二\2点9分故令记本文档共50页；当前第29页；编辑于星期二\2点9分则分别称为因子A、B引起的均方离差，当H01真时当H02真时称为均方误差。当H01、H02真时故本文档共50页；当前第30页；编辑于星期二\2点9分由于故由的分解定理（柯赫伦）知，当H01、H02真时，本文档共50页；当前第31页；编辑于星期二\2点9分且SA、SB、Se相互独立。由F分布r.v.的构造知本文档共50页；当前第32页；编辑于星期二\2点9分非重复试验双因子方差分析检验法1、提出假设H01：I=0;H02:j

=02、引进统计量4、查表、计算得统计量的观测值及分位数的值5、比较大小的结论。3、由显著性水平写出拒绝域形式本文档共50页；当前第33页；编辑于星期二\2点9分非重复试验双因子方差分析表来源离差平方和自由度均方离差F值因子A总和因子B误差e本文档共50页；当前第34页；编辑于星期二\2点9分二、重复试验双因子方差分析1、一般模型设有A、B二个因子，各有r个水平A1，…,Ar；和s个水平B1，…，Bs，现在A、B的每一种组合水平AiBj上重复试验c(c>1)次，得试验值Xijk，(i=1,…,r；j=1,…,s;k=1,…,c),将它们列表如下：本文档共50页；当前第35页；编辑于星期二\2点9分

因子B因子AB1B2···BS假定Xijk~N(ij，2)，且所有的Xijk都相互独立，则ij可表为本文档共50页；当前第36页；编辑于星期二\2点9分从而可得(9.20)式，且可验证(9.21)式中四个等式成立。其中满足事实上，令，则本文档共50页；当前第37页；编辑于星期二\2点9分作假设

i或j称为因子A或因子B在水平Ai或Bj上的效应;ij称为因子A和B在组合水平Ai×Bj上的交互作用，即因子A、B组合起来在水平Ai

×Bj上的作用，而不是因子A或B单独影响试验的结果。2、检验法的导出本文档共50页；当前第38页；编辑于星期二\2点9分若H01成立，则表明因子A对试验结果无显著影响；否则，相反。若H02成立，则表明因子B对试验结果无显著影响；否则，相反。若H03成立，则表明因子A、B对试验结果无显著的交互作用；否则，相反。

为了导出检验这三个假设的方法，一般也采用离差分解法。本文档共50页；当前第39页；编辑于星期二\2点9分令则总离差本文档共50页；当前第40页；编辑于星期二\2点9分其中事实上本文档共50页；当前第41页；编辑于星期二\2点9分称SA为因子A引起的离差，称SB为因子B引起的离差，SI为因子A、B交互作用引起的离差，Se为误差。可表为其中代入SA、SB、SI和Se可得其期望值：本文档共50页；当前第42页；编辑于星期二\2点9分令令本文档共50页；当前第43页；编辑于星期二\2点9分一般有则而当H0k为真时(k=1,2,3)，它们均为等式。本文档共50页；当前第44页；编辑于星期二\2点9分当H0k为真前提下(k=1,2,3)，可用（柯赫伦）分解定理得出SA、SB、SI和Se的分布。事实上，（8.22