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文档简介

四川省遂宁市二中2024年高三数学第一学期期末统考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,集合,则().A. B.C. D.2.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.3.某人用随机模拟的方法估计无理数的值,做法如下:首先在平面直角坐标系中,过点作轴的垂线与曲线相交于点,过作轴的垂线与轴相交于点(如图),然后向矩形内投入粒豆子,并统计出这些豆子在曲线上方的有粒,则无理数的估计值是()A. B. C. D.4.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为()A. B. C. D.5.已知函数是上的偶函数,且当时,函数是单调递减函数,则,,的大小关系是()A. B.C. D.6.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为()A. B. C. D.8.若复数,则()A. B. C. D.209.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.10.关于函数有下述四个结论:()①是偶函数;②在区间上是单调递增函数;③在上的最大值为2;④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④11.方程的实数根叫作函数的“新驻点”,如果函数的“新驻点”为,那么满足()A. B. C. D.12.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,点在边上,且,设,,则________(用,表示)14.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分为_______.15.已知集合,,则________.16.若关于的不等式在时恒成立,则实数的取值范围是_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.18.(12分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.19.(12分)如图,四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,在锐角中,E是边PD上一点,且.(1)求证:平面ACE;(2)当PA的长为何值时,AC与平面PCD所成的角为?20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.21.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.22.(10分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,,分别为,的中点.(1)求证:.(2)若,求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

算出集合A、B及,再求补集即可.【题目详解】由,得,所以,又,所以,故或.故选:A.【题目点拨】本题考查集合的交集、补集运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.2、D【解题分析】

根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成,利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【题目详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,该多面体体积为.故选D.【题目点拨】本小题主要考查三视图还原为原图,考查柱体和锥体的体积公式,属于基础题.3、D【解题分析】

利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积,进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式,解出的表达式即可.【题目详解】在函数的解析式中,令,可得,则点,直线的方程为,矩形中位于曲线上方区域的面积为,矩形的面积为,由几何概型的概率公式得,所以,.故选:D.【题目点拨】本题考查利用随机模拟的思想估算的值,考查了几何概型概率公式的应用,同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积,考查计算能力,属于中等题.4、D【解题分析】

设圆锥底面圆的半径为,由轴截面面积为可得半径,再利用圆锥体积公式计算即可.【题目详解】设圆锥底面圆的半径为,由已知,,解得,所以圆锥的体积.故选:D【题目点拨】本题考查圆锥的体积的计算,涉及到圆锥的定义,是一道容易题.5、D【解题分析】

利用对数函数的单调性可得,再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【题目详解】因为,,故.又,故.因为当时,函数是单调递减函数,所以.因为为偶函数,故,所以.故选:D.【题目点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用,比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系,本题属于中档题.6、D【解题分析】

先求出的值域,再利用导数讨论函数在区间上的单调性,结合函数值域,由方程有两个根求参数范围即可.【题目详解】因为,故,当时,,故在区间上单调递减;当时,,故在区间上单调递增;当时,令,解得,故在区间单调递减,在区间上单调递增.又,且当趋近于零时,趋近于正无穷;对函数,当时,;根据题意,对,且,使得成立,只需,即可得,解得.故选:D.【题目点拨】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题,涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题,属综合困难题.7、B【解题分析】

由圆过原点,知中有一点与原点重合,作出图形,由,,得,从而直线倾斜角为,写出点坐标,代入抛物线方程求出参数,可得点坐标,从而得三角形面积.【题目详解】由题意圆过原点,所以原点是圆与抛物线的一个交点,不妨设为,如图,由于,,∴,∴,,∴点坐标为,代入抛物线方程得,,∴,.故选:B.【题目点拨】本题考查抛物线与圆相交问题,解题关键是发现原点是其中一个交点,从而是等腰直角三角形,于是可得点坐标,问题可解,如果仅从方程组角度研究两曲线交点,恐怕难度会大大增加,甚至没法求解.8、B【解题分析】

化简得到,再计算模长得到答案.【题目详解】,故.故选:.【题目点拨】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.9、D【解题分析】

用诱导公式和二倍角公式计算.【题目详解】.故选:D.【题目点拨】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.10、C【解题分析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析,由此得出正确结论的编号.【题目详解】的定义域为.由于,所以为偶函数,故①正确.由于,,所以在区间上不是单调递增函数,所以②错误.当时,,且存在,使.所以当时,;由于为偶函数,所以时,所以的最大值为,所以③错误.依题意,,当时,,所以令,解得,令,解得.所以在区间,有两个零点.由于为偶函数,所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述,正确的结论序号为①④.故选:C【题目点拨】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.11、D【解题分析】

由题设中所给的定义,方程的实数根叫做函数的“新驻点”,根据零点存在定理即可求出的大致范围【题目详解】解:由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”,对于函数,由于,,设,该函数在为增函数,,,在上有零点,故函数的“新驻点”为,那么故选:.【题目点拨】本题是一个新定义的题,理解定义,分别建立方程解出存在范围是解题的关键,本题考查了推理判断的能力,属于基础题..12、B【解题分析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出,进而求出渐近线的方程.【题目详解】设左焦点为,一条渐近线的方程为,由左焦点到渐近线的距离为2,可得,所以渐近线方程为,即为,故选:B【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线的方程,考查了点到直线的距离公式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

结合图形及向量的线性运算将转化为用向量表示,即可得到结果.【题目详解】在中,因为,所以,又因为,所以.故答案为:【题目点拨】本题主要考查三角形中向量的线性运算,关键是利用已知向量为基底,将未知向量通过几何条件向基底转化.14、1【解题分析】

写出茎叶图对应的所有的数,去掉最高分,最低分,再求平均分.【题目详解】解:所有的数为:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数,去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数,平均分为,故答案为1.【题目点拨】本题考查茎叶图及平均数的计算,属于基础题.15、【解题分析】

利用交集定义直接求解.【题目详解】解:集合奇数,偶数,.故答案为:.【题目点拨】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.16、【解题分析】

利用对数函数的单调性,将不等式去掉对数符号,再依据分离参数法,转化成求构造函数最值问题,进而求得的取值范围。【题目详解】由得,两边同除以,得到,,,设,,由函数在上递减,所以,故实数的取值范围是。【题目点拨】本题主要考查对数函数的单调性,以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)的递减区间为和【解题分析】

(1)化简函数,代入,计算即可;(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间,再结合即可求出.【题目详解】(1),从而.(2)令.解得.即函数的所有减区间为,考虑到,取,可得,,故的递减区间为和.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的恒等变形,正弦函数的图象与性质,属于中档题.18、(1)故函数在上单调递增,在上单调递减;(2).【解题分析】试题分析:(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得对任意,恒成立,构造函数,则有对任意,恒成立,然后通过求函数的最值可得所求.试题解析:(I)由题意得,,∴.当时,,函数在上单调递增;当时,令,解得;令,解得.故函数在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(II)由题意知.,当时,函数单调递增.不妨设,又函数单调递减,所以原问题等价于:当时,对任意,不等式恒成立,即对任意,恒成立.记,由题意得在上单调递减.所以对任意,恒成立.令,,则在上恒成立.故,而在上单调递增,所以函数在上的最大值为.由,解得.故实数的最小值为.19、(1)证明见解析;(2)当时,AC与平面PCD所成的角为.【解题分析】

(1)连接交于,由相似三角形可得,结合得出,故而平面;(2)过作,可证平面,根据计算,得出的大小,再计算的长.【题目详解】(1)证明:连接BD交AC于点O,连接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F为垂足,连接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC与平面PCD所成的角,,,,,,时,AC与平面PCD所成的角为.【题目点拨】本题考查了线面平行的判定,线面垂直的判定与线面角的计算,属于中档题.20、(1).(2).【解题分析】

(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数,由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.(2)当温度大于等于25℃时,需求量为500,求出Y=900元;当温度在[20,25)℃时,需求量为300,求出Y=300元;当温度低于20℃时,需求量为200,求出Y=﹣100元,从而当温度大于等于20时,Y>0,由此能估计估计Y大于零的概率.【题目详解】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶,如果最高气温低于20,需求量为200瓶,∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p.(2)当温度大于等于25℃时,需求量为500,Y=450×2=900元,当温度在[20,25)℃时,需求量为300,Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,当温度低于20℃时,需求量为200,Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,当温度大于等于20时,Y>0,由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20℃的天数有:90﹣(2+16)=72,∴估计Y大于零的概率P.【题目点拨】本题考查概率的求法,考查利润的所有可能取值的求法,考查函数、古典概型等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.21、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解题分析】

(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(

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