湖北省武汉市新洲第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

湖北省武汉市新洲第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则A.0

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：函数对任意，都有,,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，，因此答案为B.考点：1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.2.如图，是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是(

)

A．

B.

C．

D.

参考答案：B略3.已知函数的值域为R,则k的取值范围是（

）A．O<k<l

B．

C．

D．参考答案：C4.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为（

）Ａ．

B．

Ｃ．

D．参考答案：A5.已知变量满足约束条件，则的最小值为

(

)A．

B．

C．

8

D．参考答案：C略6.双曲线的左右焦点分别为F1、F2，渐近线为，点P在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（

）A. B.2 C. D.参考答案：B分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.详解：设双曲线渐近线的方程为，的方程为，则设点坐标为，则直线的斜率，直线的斜率，由，则，即（1）由，则，解得（2），联立（1）（2），整理得：，由双曲线的离心率，所以双曲线的离心率为2，故选B.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果.7.阅读图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值是（）．

．

．

．参考答案：A第一次输入，满足，，第二次满足，，第三次满足，，，第四次不满足，此时，输出，选A.8.在x克a%的盐水中,加入y克b%的盐水,浓度变为c%,若,则x与y的函数关系式是()参考答案：C14.已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、.若i,j,k,l∈且i≠j,k≠l，则·的最小值是

.参考答案：-510.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）A．(－∞,2]

B．(－∞,1]

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等比数列的公比，前项和为，则

．参考答案：1512.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn﹣=0（n∈N*），则{an}的通项公式为an=

．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．解答： 解：当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an，化为an+1=3an．a1﹣a2=0，解得a2=2．∴当n≥2时，数列{an}为等比数列，∴．∴{an}的通项公式为an=．故答案为：an=．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，属于基础题．13.某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元.

参考答案：1014.已知，则

.参考答案：-4略15.设，满足约束条件，则的最小值为

.参考答案：－516.（不等式选做题）若不等式对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围为

.参考答案：略17.在极坐标系中,直线与曲线相交于两点,为极点,则的大小为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则=．因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，因此，ξ的分布列如下：ξ0123p∴．19.（2017?乐山二模）已知椭圆C：的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点，且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为，得a2=2c2，设p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），由，列出方程组求出c=1，从而a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线AB为：y=kx﹣，代入椭圆，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件，能求出在y轴上存在定点M（0，1），以AB为直径的圆恒过这个定点．【解答】解：（1）∵椭圆C：的离心率为，∴=，解得a2=2c2，设p（m，n），又F1（﹣c，0），F2（c，0），∵椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且，∴，解得c=1，∴a=，b=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线AB为：y=kx﹣，代入椭圆，整理，得：（2k2+1）x2﹣﹣﹣=0，△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，设存在定点M（m，0），使=0，则（x1，y1﹣m）?（x2，y2﹣m）==0，整理，得+=0，即﹣16（k2+1）﹣12k2（m+）+9（2k2+1）（m2+）=0，要满足题意，则有，解得m=1，∴在y轴上存在定点M（0，1），使得以AB为直径的圆恒过这个定点（0，1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线方程、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．20.(本小题满分12分)设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．

（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时

的最大值．参考答案：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）.………………4分

故的最小正周期为

………………6分由（Ⅰ）知,当时，………11分因此在上的最大值为

.……………12分21.（13分）函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA，（x∈R）在x=处取得最大值，且A∈[0，π]．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．参考答案：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2sinxcosxcosA﹣2cos2xsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A），∵f（x）在x=处取得最大值，∴2×﹣A=2kπ+，k∈Z，∴A=﹣2kπ+，k∈Z，∵A∈[0，π]，∴A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），∵x∈[﹣，]，∴（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为，﹣122.已知函数．（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）若对恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当时，设为自然对数的底若正实数满足，证明：参考答案：Ⅰ见解析ⅡⅢ证明见解析【分析】Ⅰ求导后讨论的取值范围进行分析即可Ⅱ参变量分离后有恒成立,再设函数求导分析最大值即可.Ⅲ先证：存在,使得,利用导数的几何意义列构造函数,代入所证明的表达式中的自变量化简分析即可.【详解】Ⅰ函数的定义域为,当时,,函数在上单调递增；当时,令解得,令解得,故此时函数在上单调递增,